Введение к работе
Актуальность темы. Важное место среди гамиль-тоновых систем занимают геодезические потоки так называемых лиувиллевых метрик на двумерных многообразиях.
Риманова метрика называется лиувиллевой, если в некоторых координатах она приводится к виду
ds = (h(x -f у) — f(x — y))dxdy.
Один из самых ранних результатов о свойствах таких метрик — это замечательная теорема Дини1 о том, что если существует диффеоморфизм конфигурационных многообразий, переводящий геодезические одной метрики в геодезические другой, то обе метрики являются лиувиллевыми.
Рассмотрим линейный элемент в локальных координатах х, у в области U:
ds2 = \(x,ij)(dx2 + dy2).
Рассмотрим кокасателыюе расслоение T*U — симплектическое многообразие со стандартной сим-шгектической структурой.
Геодезический поток метрики ds2 = \(x,y)(dx2 + dy2) — это гамильтонова система v = sgradH в ко-
1Dini U. Sopra un problema che si preseata nella theoria generale delle rappresetazioni geografice di una superficie su di un'altra// Ann. di Math. Ser. 2, T. 3, 1869, 269-293.
касательном расслоении T*U с гамильтонианом
я= РІ + РІ Х(х,у)'
Общеизвестно, что проекция решения системы V на конфигурационное многообразие — это решения уравнений геодезических данной метрики.
Дарбу2 доказана теорема о том, что метрика является лиувиллевои тогда и только тогда, когда ее геодезический поток обладает дополнительным интегралом, квадратичным по импульсам и независимым с интегралом энергии.
В классической литературе обсуждался и вопрос о том, сколькими способами данный линейный элемент можно привести к лиувиллевому виду.
Развивая результаты, полученные С. Ли и Дарбу, французский математик Раффи3 получил окончательный ответ на этот вопрос. Им доказана теорема о том, что линейный элемент приводится к лиувиллевому виду с помощью пар функций h, f и X, Y тогда и только тогда, когда выполнено следующее равенство:
2(Х - Y)(h" - /") + 3X'(h' - /')-
2Darboux G. Lecons sur la theorie generale des surfaces et les applications geometriqucs du calcul infenitesimal. Paris, Gautier, Villar, 1891.
3RafTy M. L. Determination des elements lineaires double-ment harmoniques. // J. de Math.,4 ser., 10(1894).
-2Y\h! + f) + {X" - Y"){h - /) = 0.
Это уравнение Раффи удалось применить к некоторым специальным видам метрик и получить описание их классов изомстрии. Однако это уравнение не дает ответа на вопрос в случае произвольной метрики, в частности, глобально определенной лиувил-левой метрики на торе и сфере.
Таким образом, различные свойства лиувиллевых метрик, главным образом локальные, активно изучались классиками прошлого и нынешнего веков, ими был получен ряд классических по своей красоте результатов.
Новый подход к изучению глобальных свойств лиувиллевых метрик на 2-многообразиях был предложен А. Т. Фоменко.
Рассматривается геодезический поток лиувилле-вой метрики — гладкая динамическая система в ко-касателыюм расслоении к многообразию. Эта система является интегрируемой гамильтоновой системой (наличие дополнительного квадратичного но импульсам интеграла было отмечено Дарбу в [2]). Таким образом, для геодезичесих потоков лиувиллевых метрик на 2-многообразиях применимы результаты теории классификации ИГС, изучаемой в рабо-
тах А. Т. Фоменко и его учеников. 4 5 G 7
Здесь важно отметить, что В. В. Козловым8 и В. Н. Колокольцовым9 было доказано несуществование аналитического по ипульсам интеграла у геодезического потока римановой метрики на поверхностях рода д > 1.
Определение. Две гладкие динамические системы называются непрерывно или топологически траєкторно эквивалентными , если существует гомеоморфизм одного многообразия на другое, который пе-
4Fomenko А. Т. In: The Geometry of Hamiltonian systems. Proceedings of a workshop held June 5-16,1989. Berkeley, N.Y.: Springer Verlag, 1991,p.l31-339
5Болсинов А. В., Матвеев С. В., Фоменко А. Т. Топологическая классификация интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы. Список систем малой сложности.// УМН, 1990, Т.45, кып.2, с.49-77
6Болсинов А. В., Фоменко А. Т. Траєкторная эквивалентность интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы. Теорема классификации. I// Мат. Сб., 1994, Т.185, N4, с.27-80
7Боясинов А. В., Фоменко А. Т. Траєкторная эквивалентность интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы. Теорема классификации. II// Мат. Сб., 1994, Т.185, N5, с.28-78
8Козлов В. В. Топологические препятствия к интегрируемости натуральных механических систем// ДАН СССР. 1979. Т. 249, N6, с.1299-1302
9Колокольцов В. Н. Геодезические потоки на двумерных многообразиях с дополнительным полиномиальным по скоростям первым интегралом.// Изв. АН СССР, Сер. матем., 1982. Т. 46, N5. С. 994- 1010
реводит траектории первой системы в траектории второй системы с сохранением их естественной ориентации, при этом не требуется, чтобы сохранялось время вдоль траекторий.
А. Т. Фоменко и А. В. Болсшговым была поставлена задача о траекторией классификации геодезических потоков лиувиллевых метрик на двумерных многообразиях. Заметим, что эта задача является в некотором смысле двойственной к выполненной (уже более ста лет назад) геодезической классификации Дини, см. выше.
Основной результат пастоящей диссертации — это классификация геодезических потоков лиувиллевых метрик на двумерном торе с точностью до непрерывной траекторной эквивалентности. (Далее всюду для краткости будем говорить просто о траекторной эквивалентности).
Как следствия траекторной классификации получены и условия Дини для геодезической эквивалентности рассматриваемых пространств, условия эквивалентности двух лиувиллевых метрик на торе (в смысле существования замены координат, переводящих одну метрику в другую) и критерий замкнутости геодезической лиувиллевой метрики на торе, выпущенной из данной точки тора с заданным начальным углом наклона.
Цель работы. Провести классификацию геодезических потоков лиувиллевых метрик на двумерном
торе с точностью до гомеоморфизмов, сохраняющих траектории.
Методы исследования. При доказательстве основных теорем использовались различные методы дифференциальной геометрии и теории интегрируемых гамильтоновых систем.
Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми и заключаются в следующем.
-
Проведена топологическая классификация геодезических потоков лиувиллевых метрик на двумерном торе.
-
Найден инвариант, классифицирующий геодезические потоки лиувиллевых метрик на торе с точностью до траєкторної! эквивалентности.
3. Получены различные следствия траекторной
классификации, в частности, о свойствах геодезиче
ских рассматриваемых метрик.
Практическая и теоретическая ценность.
Диссертация имеет теоретический характер. Результаты диссертации могут быть полезными специалистам, работающим в областях дифференциальной геометрии и гамильтоновой механики.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались автором на международном рабочем совещании "Вещественная алгебраическая геометрия, симплектическая геометрия и гамильтоновы системы" (С.-Петербург, 1992), на семинаре в Тюбинген ском Университете (Германия), на научном
семинаре "Современные геометрические методы" кафедры дифференциальной геометрии и приложений, а так же на семинаре кафедры функционального анализа механико-математического факультета МГУ.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 4 работах автора, список которых приведен в конце автореферата.
Структура диссертации.Диссертация состоит из введения и двух глав, включающих в себя 9 параграфов. В тексте диссертации приведено 14 рисунков, поясняющих или наглядно иллюстрирующих некоторые результаты. Список литературы содержит 42 наименования. Общий объем диссертации — 88 страниц.
