Выпуклые и компактные подмножества функциональных и локально выпуклых пространств Резниченко, Евгений Александрович

Введение к работе

Актуальность проблемы. В исследованиях по функциональному анализу часто возникают имеющие топологическую структуру объекты, для изучения которых необходимо виать пх чисто топологические свойства. Объекты такого рода играют важную роль з общей топологии п топологической алгебре. К ним относятся компакты Корсона, Гулько, Талаграна, Эбер-лейиа и выпуклые компакты. Сюда же, безусловно, можно причислить и класс компактов Радона-Никодима (RN-компактов), т.е. компактов, лежащих в пространствах со слабой* топологией, сопряженных к банаховым асплундовым пространствам. Класс RN-компактов ввел и систематически исследовал Намио-ка¹*. Этот класс содержит все разреженные компакты и компакты Эберлейна; сам он содержится в классе фрагментируе-мых компактов ^. Отметим, что фрагментпруемым компактом является также и любой компакт Гулько — это доказала Рн-барска²). В диссертации исследуются топологические свойства перечисленных классов компактов и соотношения между ними.

Корсону принадлежит задача характериоации банаховых пространств, линделефовых в слабой топологии. Данная оадача носит чисто топологический характер — это обусловлено тем обстоятельством, что банахово пространство со слабой топологией линейно гомеоморфно замкнутому линейному подпространству пространства непрерывных вещественных функций в топологии поточечной сходимости Ср(Х) для некоторого компакта X. Одним го "наиболее широких классов компактов X, для которых С_Р{Х) линделефово, является класс компактов Корсона^3,4); однако иовестен пример не корсоновского компак-

^J> Namiob I. Mathematika. 1957. V. 34. P. 258-251.

²> Ribarsb N. К. Mathematika. 1987. V. 34. P. 243-257.

³> Гулько С. П. Докл. AS СССР. 1979. Т. 237, ЛДЗ. С. 505--

⁴>" Alster К., Pol R. Рипі. Math. 1980. V. 107. P. 135-143.

та X, для которого С_Р(Х) лпнделефово⁶). В настоящее время разными авторами пшроко исследуются условия яормадьно-сти, паракомпактности, линделефовости и т.д. пространств вида С_Р(Х). Оказывается, для таких пространств эти свойства часто совладают⁸), а для компактных X линделефовость С_Р(Х) равносильна нормальности; последний результат принадлежит автору' и полагается в диссертации. Кроме того, поучаются свойства типа нормальности выпуклых подмножеств локально выпуклых пространств.

Весьма .важный объект функционального аналиоа — выпуклые подпространства локально выпуклых пространств (ЛВП), в частности, выпуклые компактные подмножества ЛВП; в дальнейшем такие подмножества мы будем именовать выпуклыми компактами. В поучении выпуклых компактов особую роль играет множество крайних точек. Корсон доказал, что если у выпуклого компакта К множество крайних точек (К) является С-аналитическим пространством, то вес К равен сетевому весу (К)⁷). В частности, компакт К метриоуем тогда и только тогда, когда (К) — аналитическое пространство. Вслед оа этим результатом Корсона разными авторами был получед ряд критериев метризуемости выпуклого компакта К в терминах топологических свойств (К)*~^пК В диссертации продолжаются исследования связи топологических свойств выпуклых

⁵> Pol R. Siudia Math. 1979. V. 64. Р. 280-285.

^б) Асанов М. О. Сову сменках топологах и теория множеств. №2. Ижевск, 1979. С. 456.

⁷> Corson Н. Н. Trans. Amer. Math. Soc. 1970. V. 151, No. 2. P. 589-596.

^s) Debs G. Ann. it L'instiibt Fourier. 1980. XXX, No. 2. P. 29-44.

⁹> HaydonR. Quarterly J. Math. 2nd series. 1976. V. 27, No. 107. P. 379-385.

¹⁰> Jayne J. E. Math. Ann. 1978. V. 234. P. 109-115. ⁿ> McGibbon B. J. Fund. Anal 1972. V. 11. P. 385-392.

компактов и их крайних точек.

Цель работы состоит в исследовании топологических свойств компактов Эберлейна, Талаграна, Корсона, Радона-Ни-кодима и фрагмеятируемых компактов, а также функциональных пространств в топологии поточечной сходимости и выпуклых подпространств локально выпуклых пространств, в частности, выпуклых кошіактов и их крайних точек.

Методы исследований. В работе испольоуготся методы Ср-теорап, функционального анализа, теории кардинальных инвариантов и метод разложения топологических пространств в обратные спектры.

Научная новиопа. Все основные результаты работы являются новыми и получены автором самостоятельно. Они заключаются в следующем:

1. Исследуются топологические свойства обраоов при не
прерывных отображениях компактов Радона-Нпкодпма.

2. Охарактеризованы компакты Эберлейна в терминах
фрагмеятируюпщх метрик на них и свойств типа наследствен
ной металинделефовостп.

1. Построен пример компакта Талаграна, некоторая точка которого не является а^--точкой.

2. Доказаны следуюпре соотношения между кардинальными инвариантами произвольного выпуклого компакта К и множества его крайних точек:

/() А{) = nw{) = w() = w() ЩЄ> К)

w{K) = hl{K) A{) = hl(K) Nag{). Если К — симплекс или — линделефово пространство, то

w(K)=w{).

Кроме того, для любого X 6 С

iK«.*)^ex(*»*)

и тем более

5. Установлено совпадение нормальности и коллективной нормальности для пространств вида С,(Х) и для широкого класса яокально-вьшуклых линейных пространств в слабой топологии.

6. В предположении аксиомы Мартина и отрицания континуум-гипотезы исследуются компакты X, для которых пространство Ср(Х) линделефово.

Практическая н теоретическая ценность. Диссертационная работа носит теоретический характер. Ее результаты могут найти применение в топологической алгебре и функциональном анализе, а именно, в С_г -теории и в теории локально выпуклых пространств в слабой топологии.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на научных семинарах и конференциях по общей топологии и топологической алгебре в Московском и Латвийском государственных университетах, на общемосковском топологическом семинаре им. П. С. Александрова, на Бакинской международной топологической конференции (1987г.) и на школе по топоаогической алгебре в Тирасполе (1988г.).

Публикации. Основные реоультаты диссертации опубликованы вработах [1-4].

Структура диссертации. Работа состоит из введения, раодела "Терминология и обозначения'', трех глав и списка цитированной литературы. Первая и вторая главы содержат по три параграфа, третья — два. Объем диссертации — 114 страниц машинописного текста. Библиография содержит 43 названия.