Содержание к диссертации
Введение
1 Методы решения многомерных задач нестационарной динамики твердого деформируемого изотропного тела 11
1.1 Численные методы 11
1.1.1 Лагранжевы методы 14
1.1.2 Лагранжевы методы с перестройкой сетки 15
1.1.3 Бессеточные методы 17
1.1.4 Методы, использующие идеологию частиц 18
1.1.5 Алгоритмы отслеживания контактных и свободных границ тел на эйлеровой сетке 20
1.1.6 Алгоритм адаптивного изменения сетки 21
1.2 Модели свойств вещества 22
1.2.1 Уравнения состояния вещества 23
1.2.2 Модели упруго-пластического деформирования . 26
1.2.3 Модели разрушения 29
1.3 Параллельные вычисления на многопроцессорных ЭВМ с распределенной памятью 33
1.3.1 Многопроцессорные ЭВМ и параллельные вычисления 34
2 Метод конечно-размерных частиц в ячейке для решения задач нестационарной динамики твердого деформируемого изотропного тела с большими деформациями 40
2.1 Общая схема процедуры расчета 41
2.2 Предварительный этап 44
2.3 Основной этап 49
2.4 Дробление и объединение частиц 52
2.5 Алгоритм определения ориентации контактных и свободных границ тел 54
2.6 Граничные условия 55
2.6.1 Граничные условия на границах эйлеровой сетки . 56
2.6.2 Граничные условия на внутренних поверхностях раздела 57
2.7 Интегрирование по времени 59
2.8 Параллелизм расчетного алгоритма 60
3 Решение модельных задач 62
3.1 Распад произвольного разрыва в газе 62
3.2 Описание динамических экспериментов 63
3.3 Упругий режим соударения металлических пластин 65
3.4 Удар с рикошетом 67
3.5 Вращение металлического куба 69
3.6 Профилирование параллельного режима расчета 69
4 Моделирование высокоскоростного удара - 74
4.1 Плавление цинка в волне разгрузки 74
4.2 Дивергеитная волна в стекле 79
4.3 Пробивание пластины стержнем и диском: влияние учета реологических моделей 92
Заключение 98
Литература 100
- Алгоритмы отслеживания контактных и свободных границ тел на эйлеровой сетке
- Параллельные вычисления на многопроцессорных ЭВМ с распределенной памятью
- Алгоритм определения ориентации контактных и свободных границ тел
- Упругий режим соударения металлических пластин
Введение к работе
Настоящая диссертация посвящается крупномасштабному численному моделированию процессов при высоких плотностях энергии с учетом реологических моделей вещества на современных высокопроизводительных параллельных ЭВМ.
Актуальность. К числу актуальных задач, возникающих при проведении научных исследований и опытно-конструкторских разработок в области физики высоких плотностей энергии следует отнести высокоскоростное соударение тел с преградами, воздействие на конденсированное вещество мощных потоков лазерного и рентгеновского излучения, заряженных и нейтральных частиц, проблемы динамики ударных и детонационных волн и т.д. В таких задачах поле течения характеризуется большими градиентами давления, плотности, температуры и в веществе реализуется широкий спектр высокоэнергетических состояний от твердого тела до плотной горячей жидкости, плотной плазмы, испаренного вещества и малоплотных квазигазовых состояний. Математическое моделирование является важным этапом планирования экспериментов, обработки и анализа получаемых результатов. Большинство существующих кодов, применяемых в данных исследованиях, используют гидродинамическое приближение и не описывают процессы, в которых эффекты у пру го-пластического деформирования и разрушения вносят существенный вклад. Поэтому для корректного описа- ния процессов, протекающих в этих задачах, необходим учет реологических свойств веществ, что и определяет актуальность данной работы.
Целью работы является исследование процесса ударного взаимодействия деформируемых твердых тел в широком диапазоне скоростей при помощи разработанного алгоритма конечноразмерных частиц в ячейке, учитывающим реалистичные термодинамические и реологические модели вещества.
Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения с основными результатами работы.
Во введении описана структура диссертации.
Первая глава содержит обзор современных численных методов решения задач динамики твердого деформируемого изотропного тела в много-компонентых системах, применимых для моделирования задач физики экстремальных состояний. В обзор включены лишь те методы, на основании которых были разработаны комплексы прикладных программ, позволяющих решать широкий круг задач. Кроме этого, в первой главе приводится обзор существующих моделей свойств веществ, как термодинамических, так и реологических, используемых при моделировании. В заключении первой главы проводится обзор текущего состояния современных многопроцессорных вычислительных систем и методов параллельного программирования.
Во второй главе приводится подробное описание метода конечноразмерных частиц в ячейке для расчета многокомпонентных нестационарных течений в трехмерной постановке. Подробно рассмотрены расчетная схема, алгоритмы определения положения и ориентации контактных границ с последующей постановкой граничных условий, описывается специфика реализации метода для многопроцессорных ЭВМ с распределенной памятью.
В третьей главе приводятся модельные задачи, которые решались для всесторонней проверки качественной и количественной физической корректности разработанного алгоритма. Приводятся одномерный тест о распаде разрыва, одномерные задачи описания динамических экспериментов, двумерная задача расщепления упругих волн в веществе,задача удара с рикошетом и трехмерная задача о вращении кубического объекта. Проведен анализ решений.
Четвертая глава содержит результаты моделирования задач удара при различных скоростях. Описывается постановка задач, особенности, возникающие при ее решении. Обсуждаются результаты численного моделирования. В двух задачах приводится сравнение с экспериментальными данными, в третьей задаче сравнение проводится с приближенным решением. Показана применимость широкодиапазонного табличного уравнения состояния для определения фазовых границ вещества. Приведено описание напряженного состояния при распространении дивергентной волны в вещество. Описано влияние учета реологических моделей вещества на результаты численного моделирования высокоскоростного пробивания.
В заключении подведены основные итоги работы.
Практическая ценность. Разработанные в работе алгоритмы, методы и программные коды являются современным и эффективным инструментом для исследования практически важных задач физики экстремальных состояний вещества. Практическая ценность работы определяется использованием полученных результатов при проведении фундаментальных ис- следований в области высоких плотностей энергии и для решения прикладных задач в ИПХФ РАН, ИТЭС ОИВТ РАН и Институте тяжелых ионов (GSI, Германия).
Научная новизна. На основе метода индивидуальных частиц разрабо тан трехмерный алгоритм решения задач динамики твердого деформиру емого изотропного тела для режима параллельных вычислений. Проведен анализ экспериментов по плавлению материала в волне разгрузки, распро- щ странению дивергентной волны в веществе, а также изучено влияние реоло- гических моделей на результаты математического моделирования процесса высокоскоростного пробивания.
На защиту выносятся следующие положения:
1. Численный алгоритм для моделирования процессов при высоких плотностях энергии с учетом реальных термодинамических и реоло гических свойств вещества в трехмерной постановке на многопроцес сорных вычислительных системах с распределенной памятью;
2. Результаты численного моделирования процесса плавления цинка в % волне разгрузки, в которых показана возможность определения поло жения границы области плавления при высоких давлениях на осно вании экспериментальных данных по профилям контактной поверх ности;
3. Результаты моделирования процесса распространения дивергентной волны в абсолютно упругом материале, в которых показана коррект ность применения псевдоаккустического приближения для оценки напряженных состояний на оси образца, оценена расходимость те- чения за фронтом сдвиговой волны, исследовано влияние неупругой прослойки в образце на двухволновую структуру фронтов волн;
4. Результаты численного моделирования процесса высокоскоростного удара, в которых показано необходимость учета эффектов упруго-пластического деформирования и разрушения для физически корректного описания процесса и совпадения с экспериментальными данными.
Апробация работы. Результаты исследований докладывались и обсуждались на IV Школе-семинаре «Физика взрыва и применение взрыва в физическом эксперименте» (Новосибирск, 2003), Международной конференции «Уравнения состояния вещества» (Приэльбрусье, 2004), XIII Симпозиуме по горению и взрыву (Черноголовка, 2005), Международной конференции «Воздействие интенсивных потоков энергии на вещество» (Приэльбрусье, 2005), Международном семинаре «Супервычисления и математическое моделирование» (Саров, 2005), Научно-координационном совещании-симпозиуме «Проблемы физики ультракоротких процессов в силыюнеравновесных средах» (Новый Афон, 2004), Международной конференции «Shock Compression of Condensed Matter» (Балтимор, 2005), Международной конференции «The Hypervelocity Impact Symposium» (Lake Tahoe, 2005), а также на научных семинарах ИПХФ РАН, ИММ РАН и ИТЭС ОИВТ РАН.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 16 научных работ [1-16].
Благодарности
Автор выражает признательность Грязнову Виктору Константиновичу и Ломоносову Игорю Владимировичу за предоставленную возможность написать диссертацию. Канелю Г.И., Разоренову СВ., Острику А.В., Киму В.В., Султанову В.Г., Шутову А.В. и коллективу отдела Экстремальных состояний вещества ИПХФ РАН в целом — за многочисленные обсуждения результатов диссертации, помощь при её подготовке и доброжелательное отношение. Музе — за вдохновение. Родственникам — за веру и поддержку.
Алгоритмы отслеживания контактных и свободных границ тел на эйлеровой сетке
Контактные алгоритмы могут быть условно разделены на два типа: отслеживающие и улавливающие. Первые явно выделяют границу раздела посредством поверхностных узлов (маркеров), вторые - неявно, посредством непрерывных маркер-функций.
Первое семейство представляют алгоритмы метода частиц Хар-лоу [52] и метода маркеров и ячеек [61,62]. В этих алгоритмах частицы осуществляют перенос параметров среды, а маркеры служат для идентификации контактных границ. Для упруго-пластических тел варианты метода маркеров и ячеек реализованы в работах [63,64]. Описание контактных границ такими методами создает определенные проблемы в случаях исчезновения границ, при попытках корректного описания движения маркеров на границах и в областях разрежения. Эти проблемы могут быть решены разными способами, но это ведет к увеличению числа операций порою до неприемлемых значений.
Второй тип алгоритмов позволяет существенно упростить расчет сложных граничных условий и физических явлений на границах, их определение в случае меняющейся топологии. Определение типа среды проводится по значениям функций, сохраняющихся вдоль лагранжевых траекторий, являющихся непрерывными лагранжевыми маркерами и подчиняющихся эйлерову уравнению переноса. Варианты алгоритмов данного типа описаны в работах [65-73]. Одной из трудностей данных методов является диффузия границ раздела вследствие погрешностей численного решения уравнения переноса.
Достаточно полный обзор контактных алгоритмов приведен в [74]. Для описания более сложной геометрии и повышения качества расчетов, в последнее время наряду с описанными выше алгоритмами используются методы адаптивного изменения сетки, которые уменьшают ошибки аппроксимации сеточных методов в зонах больших градиентов путем локального уменьшения шага сетки, оптимизации формы ячеек, изменения сеток по форме границ подобластей и решения. В широко используемом алгоритме AMR (сокр. от англ. «Adaptive Mesh Refinement», адаптивное изменение сетки) [75-77] применяется иерархически-вложенная многоуровневая система регулярных прямоугольных сеток, которая перестраивается через определенное число шагов в соответствии с текущим решением. Метод адаптирован для расчетов на параллельных вычислительных системах, разработаны эффективные методы декомпозиции и динамической балансировки [78]. Предложены объектно-ориентированные подходы к реализации метода [79]. В свободном и условно свободном доступе в сети Internet опубликованы примеры реализаций метода AMR в виде исходного кода программ и библиотек на FORTRAN и C++ [80], а так же несколько программных комплексов для моделирования многомерных задач динамики несжимаемой жидкости [81,82]. Алгоритм использует сложные нерегулярные структуры данных, сложен в реализации, что становится основной преградой для его массового практического использования. Поскольку система уравнений движения деформируемого изотропного тела замыкается соотношениями, описывающими свойства конкретного материала, корректность и эффективность процесса моделирования во много зависит от правильности выбранных моделей свойств веществ. Для успешного использования моделей свойств веществ на них нужно наложить следующие ограничения: 1. Корректность описания свойств вещества в области их изменения, встречающейся в задаче 2. Относительно небольшое количество подгоночных параметров 3. Универсальность модели 4. Время затрачиваемое на вычисление параметров вещества по модели должно быть существенно меньше времени расчета одного шага по времени в численном алгоритме Соотношение (1.2) в системе уравнений динамики твердого деформируемого изотропного тела, связывающее шаровую часть тензора напряжений с плотностью и внутренней энергией - уравнение состояния (УРС). В настоящее время существует множество различных УРС, корректно описывающих термодинамические свойства вещества в различных участках фазовой диаграммы. Современное состояние проблемы УРС изложено в обзоре [83] и монографии [58]. Задачи физики высоких плотностей энергии накладывают на используемый УРС дополнительные ограничения, поскольку вещество в типичной задаче изменяет свою фазу от твердой до газообразной. УРС может быть выражен одним или несколькими аналитическими выражениями или же при помощи таблиц. Преимущество аналитических уравнений состояния состоит в том, что они довольно просто встраиваются в численный код и отнимают относительно немного времени при расчете. Однако, аналитические УРС, как правило, не содержат информацию о фазовых границах плавления и испарения, и имеют ограниченную область применимости.
Параллельные вычисления на многопроцессорных ЭВМ с распределенной памятью
Бурное развитие вычислительной техники в последние два десятилетия привело к возникновению широкого спектра высокопроизводительных вычислительных систем, характерной чертой которых является использование конвейерной и параллельной обработки данных. Основными тенденциями в этой области являются: рост производительности отдельных процессорных элементов и превалирующая роль систем с массивным параллелизмом, содержащих от единиц до несколько тысяч процессоров. Одной из особенностей развития суперкомпьютеров в настоящее время является появление относительно недорогих систем, построенных на серийных компонентах и открывающих доступ к высокопроизводительным вычислениям для большого круга исследователей. Разработка и производство высокопроизводительных вычислительных систем является чрезвычайно динамичной областью. По статистике [113], каждые полгода из списка пятисот наиболее производительных вычислительных систем в среднем выходят 160 компьютеров, системы, занимающие в нем сотую позицию, вытесняются из списка через 2-3 года, среднее время эксплуатации вычислительной системы равняется 4-5 годам. Согласно [114], развитие высокопроизводительных вычислительных систем подчиняется закону Мура, т.е. в среднем производительность увеличивается на два порядка каждые десять лет.
Основными областями применения параллельных вычислительных систем являются крупномасштабная обработка данных и вычислительные задачи повышенной сложности, например, астрофизические задачи, моделирование климата Земли, квантово-механические расчеты больших молекул, задачи молекулярной биологии и др. Выполнение таких расчетов на персональных компьютерах и рабочих станциях невозможно, поэтому в настоящее время значительное внимание уделяется исследовательским программам в области разработки вычислительных систем с большим параллелизмом. Примерами таких программ могут служить: В процессе реализации этих программ построены системы, содержащие десятки тысяч процессоров с производительностью в несколько сот TFlops.
В настоящее время рейтинг самых мощных суперкомпьютеров ТОР500 [115] возглавляет система BlueGene/L, состоящая из 65536 процессоров PowerPC 440 0.7 GHz, с общей максимальной производительностью 136800 GFlops. Самый мощный российский суперкопьютер МВС 15000ВМ, находящийся в Межведомственном супер компьютерном центре РАН, состоящий из 487 двухпроцессорных узлов на базе процессоров PowerPC 970FX 2.2 GHz с памятью 4 G на узел, объединенных сетями Myrinet и 2xGbit ethernet, занимает в рейтинге ТОР500 56 место.
Следует отметить, что наибольшее распространение в данный момент получилась кластерная архитектура создания суперкомпьютеров. К концу 1990 года кластерная схема проектирования суперкомпьютеров была ещё не очень распространена и являлась предметом исследований в академических организациях, где создавались такие суперкомпьютеры. Поэтому в ноябре 1996 года в списке пятисот самых мощных суперкомпьютеров системы с кластерной архитектурой составляли только 0.2%. Но в настоящее время процент кластеров в списке ТОР500 составляет 60.8% (см. рисунок 1.1). Основными достоинствами кластерной архитектуры являются сравнительно низкая стоимость и хорошая масштабируемость. Сфера применения кластеров постоянно растет, и в настоящее время они применяются не только для научных исследований, но и в финансовой и производственной областях.
На протяжении 20 лет параллельное программирование является одним из приоритетных направлений исследований в области вычислительной техники. За это время было разработано множество подходов и языковых средств для программирования параллельных систем [116]. Тем не менее до сих пор программисты чаще пользуются низкоуровневыми расширениями традиционных языков, таких как HPF («High Performance FORTRAN») [117], и библиотеками для обмена сообщениями: PVM («Parallel Virtual Machine») [118], BSP («Bulk Synchronous Parallelize») [119] и MPI («Message Passing Interface») [120].
MPI или Интерфейс передачи сообщений - стандарт, реализующий идеологию обмена сообщениями [120], является стандартом «de facto» среди средств обеспечения межпроцессорных коммуникаций в области параллельных вычислений. Стандарт разработан и развивается участниками международного сообщества MPIF [121] («Message Passing Interface Forum»), в которое входят более 40 организаций. Первая версия стандарта появилась в июне 1994. В настоящее время выпущено расширение стандарта MPI-2. Реализации данного стандарта, как коммерческие, так и свободно распространяемые, доступны для всех известных в настоящее время платформ, что определяет его популярность среди разработчиков параллельного программного обеспечения.
Алгоритм определения ориентации контактных и свободных границ тел
Объединение частиц одного типа, центры которых расположены в одной ячейке, происходит попарно с удовлетворением условий сохранения центра масс, объема, массы, импульса и полной энергии (см. рисунок 2.5), а также условия того, что при интерполяции параметров исходных частиц и получившейся после объединения частиц в узлы эйлеровой сетки, в узлах получались бы одинаковые значения. Параметры частицы получившейся после объединения определяются из следующих соотношений:
Отношение размеров новой частицы принимается равных соотношению размеров ячейки эйлеровой сетки, для кубической ячейки dx = dy = dz =
Внутри расчетной области для постановки граничных условий проскальзывания материалов друг относительно друга вдоль контактных границ, а также на свободной поверхности при расчете течений сред с неша-ровым тензором напряжений, необходимо иметь информацию о пространственной ориентации границ. Следующая процедура принята в описываемом методе. Единичный вектор нормали N, задающий ориентацию границы, определяется для каждого узла эйлеровой сетки, имеющего маркер
Объединение частиц (приводится для двумерного случая). Исходные частицы с номерами 1 и 2, центры которых обозначены черными кружками. Граница частицы полученной в результате их объединения показана пунктиром; ее центр — черным квадратом. контактной или свободной границы. В первом случае вектор равен нормированной сумме векторов, ориентированных из рассматриваемого узла в направлении тех из 26-ти (8-ми в двумерном случае) близлежащих узлов, содержащих маркер какого-либо одного тела. Во втором случае выбираются векторы ориентированные на «вакуумные» узлы.
После предварительного этапа в узлах эйлеровой сетки определены компоненты вектора скорости, давление, значение компонент девиаторной части тензора напряжений, тип узла и, если узел лежит на свободной границе или на границе раздела двух тел - вектор нормали к поверхности. Граничные условия на эйлеровой сетке можно разделить на две группы: условия па внешних границах расчетной области и условия на внутренних свободных или контактных границах. На границах расчетной области области используется общепринятый способ задания граничных условий: вдоль границы вводится дополнительный слой фиктивных ячеек, в узлах которых задаются значения типа узлов, компонент вектора скорости, компонент девиаторной части тензора напряжения и давления [122]. В случае неотражающей жесткой границы или плоскости симметрии в фиктивных узлах задаются антисимметричные условия отражения нормальной компоненты вектора скорости и нормального напряжения и симметричные условия отражения остальных величин. Для нижней границы в направлении х фиктивные ячейки имеют индексы і = —1, ячейки на границе области - г = 0 и т.д., тогда задание граничных условий выгладит следующим образом: Для условия оттока вещества из области расчета используется линейная экстраполяция параметров в фиктивные узлы: В обоих случаях в фиктивные узлы передаются идентификаторы типа узла из узлов на границе расчетной области. В процессе перемещения частицы могут выходить за пределы расчетной области. Если на границе ставится условие оттока вещества, никаких дополнительных операций не требуется - после этапа дробления часть частицы просто отсечется и не будет участвовать в расчете. В случае, когда граница является жесткой стенкой или плоскостью симметрии, требуются дополнительные операции. На рисунке 2.6а показан двумерный случай, когда частица т вышла за нижнюю границу расчетной области (координатная линия j — 0).
Область жесткой стенки выделена штриховкой. В результате перемещения частицы т за границу расчетного поля, во время процедуры дробления она будет разбита на две частицы ті и тг (рисунок 2.66). После этого, с использованием параметров частицы тг, симметрично плоскости j = 0 создается частица ЇТІЗ (рисунок 2.6в), которая идентична частице тг, за исключением компоненты вектора скорости нормальной к границе и напряжения нормального к границе. После этого частица тг удаляется, как вышедшая за границу расчетного поля, а к частицам ті и т% применяется процедура объединения (рисунок 2.6г).
Упругий режим соударения металлических пластин
Стандартной задачей для проверки корректности работы газодинамических алгоритмов является задача о распаде произвольного разрыва в идеальном газе. Наличие аналитического решения позволяется оценить качество алгоритма и порядок точности численного решения.
Если из алгоритма исключить расчет девиаторной части тензора напряжений, решаемая система уравнений сведется к системе уравнений нестационарной газовой динамики. Убрать девиаторную часть тензора напряжений можно разными способами, простейший из которых - задать модуль сдвига материала равным 0. Предел текучести в данном случае может быть задано произвольно.
Тестовая задача распада произвольного разрыва решалась в следующей постановке. В начальный момент времени в области пространства 100 мм х 200 мм расположен неподвижный газ с параметрами ро = 1.6 Ю"4 г/см3, е0 = 0.9375 кДж/г, р0 = 1 . 10"4 ГПа. Область 0 мм х 100 мм заполнена так же неподвижным газом с удвоенным значением плотности и, соответственно, давления: р0 = 3.2 10 4г/см3, Ро = 2 1(Г4ГПа.
На рисунке 3.1 показано решение на момент времени 60 мкс для профилей плотности, внутренней энергии, давления и массовой скорости. Штриховая линия иллюстрирует начальное положение контактного разрыва для профилей плотности и давления. Из анализа рисунка следует хорошее совпадение численного и аналитического решения во всей расчетной области с точностью, характерной для частичных численных методов. Характерная область размытия ударной волны составляет от 4 до 6 ячеек, контактный разрыв разрешен точно. Отметим, что полная энергия сохраняется с точностью до 0.001%.
Традиционно основной информацией, служащей для определения коэффициентов в реологических моделях [112] для задач высокоскоростного деформирования и разрушения, являются данные по измерению профилей скорости свободной поверхности в экспериментах по соударению пластин [126]. С этой целью для используемых в расчетах веществ было проведено одномерное моделирование таких экспериментов, выполненных в отделе ЭКСТР ИПХФ РАН. Схема эксперимента представлена на рисунке 3.2.
Результаты типичных расчетов приведены на рисунках 3.3,а,б,в. В начальные моменты времени 0.2 — 0.3 мкс на свободную поверхность образца выходит возмущение, соответствующее упругому предвестнику. В расчете получено хорошее согласие по времени выхода и амплитуде упругого предвестника. В моменты времени 0.6 — 1 мкс на свободную поверхность выходит откольный импульс, который характеризует откольпую прочность материала. Расчетные результаты показывают хорошее согласие с экспериментальными данными по моменту выхода и амплитуде откольного импульса.
С использованием данной методики для ряда практически важных материалов были подобраны коэффициенты реологических моделей 2.29), (2.32).
Для количественной оценки корректности расчета эволюции тензора напряжений во времени был проведен расчет задачи соударения двух металлических пластин в упругом режиме.
Постановка данного тестового расчета показана на рисунке 3.4. Алюминиевые пластины соударяются под углом /3 = 5 со скоростью w = 900/, поскольку при напряжениях, которые возникают в алюминии при соударении на таких скоростях инициируется процесс пластического течения материала, предел текучести алюминия для данной модельной задачи выбирается «бесконечным», т.е. превосходящим реальный предел текучести на несколько порядков. При этом в характерной точке контакта С, которая движется со скоростью wc, в материал начинают распространяться возмущения со скоростями с/ = J—г5— и cs — J где К - объемная сжимаемость, G - модуль сдвига материала. Итоговые фронты волн возмущения являются суперпозицией данных возмущений. По причине различия ско Результат моделирования динамических экспериментов, (а),(б) -соударение алюминиевой пластины с алюминиевым образцом на скорости 660 м/с, (в) - соударение алюминиевой пластины с магниевым образцом на скорости 700 м/с. ростей Q и cs, фронты волн возмущения расщепляются, что можно видеть на рисунке 3.5.
В качестве количественной оценки корректности учета эффектов упругого поведения материала может быть выбран один из углов, образуемых фронтами волн возмущения с поверхностью неподвижной пластины.
