Содержание к диссертации
Введение
Глава 1 Предыстория качественной теории дифференциальных уравнений 18
1.1. Письмо Даламбера 18
1.2. Работы Штурма 1836 года 20
1.3. Теория Штурма - Лиувилля 29
1.4. Диссертация Н. Е. Жуковского 36
1.5. Задачи автоматического регулирования: А.Леоте 38
1.6. Задачи небесной механики: Ж. Лагранж, К. Якоби, Д. Хилл 43
Глава 2 Разработка качественной теории дифференциальных уравнений А. Пуанкаре и A.M. Ляпуновым в конце XIX столетия. Раннее восприятие их идей во Франции и Италии 49
2.1. Обзор работ Пуанкаре по качественной теории дифференциальных уравнений 49
2.2. Обзор трудов Ляпунова A.M. по теории устойчивости 71
2.3. Творчество П. Пенлеве и его восприятие идей А. Пуанкаре 94
2.4 Вклад Ж. Адамара в развитие качественной теории дифференциальных уравнений 102
2.5. Развитие идей Пуанкаре и Ляпунова в области качественной теории дифференциальных уравнений и теории устойчивости в Италии (Т. Леви-Чивита) 113
Глава 3 Развитие идей Пуанкаре в области качественного изучения поведения интегральных кривых дифференциальных уравнений на плоскости в трудах И. Бендиксона 120
Заключительная часть 138
Список использованной литературы 144
- Работы Штурма 1836 года
- Задачи небесной механики: Ж. Лагранж, К. Якоби, Д. Хилл
- Творчество П. Пенлеве и его восприятие идей А. Пуанкаре
- Развитие идей Пуанкаре в области качественного изучения поведения интегральных кривых дифференциальных уравнений на плоскости в трудах И. Бендиксона
Введение к работе
Актуальность темы диссертации. Одним из важных разделов теории дифференциальных уравнений является их качественная теория. В то же время ее история хотя и затрагивалась в исследованиях, касающихся творчества отдельных ученых (Пуанкаре, Ляпунов и др.) или развития теории устойчивости, а также в обзорах типа немецкой «Энциклопедии математических наук» или «Математики в СССР за 40 лет», не становилась объектом систематического историко-математического анализа. Единственное исключение составляет раздел «Качественная теория дифференциальных уравнений» в книге «Математика XIX века. Чебышевское направление в теории функции. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Вариационное исчисление. Теория конечных разностей», изданной в 1987 году под редакции А.Н. Колмогорова и А.П. Юшкевича, но и в нем затронуты лишь основные центральные моменты развития теории в XIX столетии. Анализ исследований Ж. Лагранжа, Н.Д. Брашмана, ряда важных сочинений А.Пуанкаре по небесной механике, исследований Д. Хилла, а также работ П. Пенлеве, Ж. Адамара, И. Бендиксона, развивающих идеи Пуанкаре и Ляпунова, там практически отсутствует.
Значимость качественной проблематики для теории дифференциальных уравнений и отсутствие систематического анализа процессов возникновения и дальнейшего развития теории на протяжении XIX столетия определяют актуальность избранной темы исследования.
Целью диссертации является изучение истории качественной
теориидифференциальных уравнений в период, охватывающий ее предысторию изавершающийся исследованиями И. Бендиксона конца XIX столетия.
Методы исследования. Для достижения поставленной цели применяется сочетание историко-научного анализа трудов математиков конца XVIII - начала XX столетия в
контексте математики того времени (антикваристкий подход) с анализом результатов математиков прошлого с позиции современной математики (презентистский подход).
Научная новизна исследования определяется тем, что история качественной теории дифференциальных уравнений не была прежде предметом систематического историко-научного анализа - в данной работе такое исследование осуществляется впервые. В этой связи в работе впервые изучена статья Н.Д. Брашмана «Общие рассуждения о математическом анализе и пример исследования дифференциальных уравнений по новому способу Штурма», который выступил одним из пионеров в понимании значимости нового качественного направления в исследовании уравнений, а также впервые подвергнуты историко-математическому анализу труды Ж. Лагранжа, К. Якоби и Д. Хилла, относящиеся к области небесной механики. Кроме того, в работе впервые в историко-математической литературе исследованы труды Пенлеве, Адамара, Леви-Чивита и Бендиксона, в которых качественная теория дифференциальных уравнений, разработанная Пуанкаре и Ляпуновым, получила дальнейшее развитие. В частности:
Показано влияние идей и методов Пуанкаре по качественному изучению дифференциальных уравнении на работы П.Пенлеве, выполненные им в период с 1888 по 1905 гг. ,
Обращено внимание на идейную связь, общность и различие новых качественных методов изучения дифференциальных уравнения у Адамара, Пуанкаре, Ляпунова,
Подчеркнута важность и преемственность идей Адамара в развитии теории Динамических систем в XX столетии вплоть до работ Д.В. Аносова,
Отмечен вклад в развитие качественной теории дифференциальных уравнений итальянским математиком и механиком Туллио Леви-Чивита. Обращено внимание на сходство и различие методов Ляпунова и Леви-Чивита при решении ими задач
теории устойчивости движения.
5) Проведен подробный анализ мемуара Бендиксона «О кривых определяемых дифференциальными уравнениями», в котором были получены первые существенные обобщение результатов Пуанкаре. Особое внимание в этом анализе уделено той части мемуары, в которой проводится изучение сложных особых точек дифференциальных уравнений - области исследований, незатронутой ранее в трудах Пуанкаре и нерассмотренной в историко-математической литературе, получившей развитие лишь в средине XX в. (А.Ф. Андреев)
Практическая значимость. Материалы диссертации могут быть использованы:
в исследованиях по общим вопросам истории математики XVIII - XX вв.;
в дальнейших историко-математических исследованиях по теории дифференциальных уравнений;
в лекциях курса и семинарских занятиях по теории дифференциальных уравнений и ее истории.
Апробация работы. Диссертация в целом и ее отдельные части были представлены на научных конференциях аспирантов и соискателей по истории естествознания и техники при ИИЕТ РАН (2000-2003), а также на научно исследовательском семинаре по истории математики и механики МГУ им. М.В. Ломоносова (2004-2010 гг.).
Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, изложенных на 143 страницах, а также списка литературы вопроса, содержащего 190 наименований.
Работы Штурма 1836 года
Результаты Даламбера - первый известный нам случай применения качественного подхода к изучению решения дифференциального уравнения. Первой теорией основанной на систематическом его использовании, стала теория, получившая в литературе наименование теории Штурма - Лиувилля. Ее начало мы находим в двух обширных мемуарах [185,186] Штурма, опубликованных в 1836 г. Швейцарский математик Шарль Франсуа Штурм () (1803-1855) получил ранее известность своей работой о сжатии жидкостей, написанной вместе с Д. Колладоном и удостоенной в 1827 г. премии Парижской Академии наук, а также знаменитым результатом о распределении действительных корней многочлена [187]. В 1836 г. он был избран членом Парижской Академии наук. В 1839 г. получил кафедру в Политехнической школе, которую сохранял за собой до своей кончины в 1855г.
Краевые задачи линейных дифференциальных уравнений Штурм начал изучать в конце 20-х годов, и основные результаты опубликовал в 1836 г. в двух мемуарах, упомянутых выше. Суть качественной проблематики в изучении дифференциальных уравнений охарактеризована Штурмом во введении к первому мемуару следующими словами: "Мы умеем интегрировать линейные дифференциальные уравнения второго порядка в очень небольшом числе частных случаев; в некоторых мы не можем получить даже первый интеграл; и даже, когда имеется выражение функции, удовлетворяющей такому уравнению, либо в конечной форме, либо в виде ряда, либо в виде определенного или неопределенного интеграла, чаще всего трудно понять по этому выражению ход и характеристические свойства этой функции. Там, например, не видно, обращается ли она в нуль или бесконечность на заданном интервале, меняет ли знак, имеет ли минимальные или максимальные значения. В то же время знание этих свойств заключает в себе знание наиболее замечательных обстоятельств, которые преподносят многие физические и динамические явления. Если важно иметь возможность определить значение неизвестной функции для какого-либо значения переменной, от которой она зависит, то ещё важнее обсудить ход этой функции, или, другими словами, формы и изгибы кривой, для которой значения функции дают ординату, а в качестве абсциссы берется независимая переменная. Так вот, к этой функции можно придти, рассматривая только сами дифференциальные уравнения, и нет необходимости в их интегрировании. Принцип, на котором основываются теоремы, которые я развиваю, никогда, если я не ошибаюсь, не применялся в анализе и, как мне кажется, не распространяется на другие дифференциальные уравнения" [185,с.З].
Второе утверждение, также часто упоминаемое в литературе (см., например, [94,с.35]), носит название теоремы о разделении нулей линейного дифференциального уравнения второго порядка с переменными коэффициентами и формулируется следующим образом:
Если х{ и х2 суть два последовательных нуля решения )\{х) уравнения (1.2.3), то всякое другое линейное независимое решение у2 {х) того же уравнения имеет в точности один нуль между хх и х2.
Другим важным следствием теоремы сравнения Штурма является следующие утверждение: если в каждой точке интервала (а, b) выполняется условие Q\x) 0, то все решения уравнения: Z + Q(x)y = 0 (1.2.5) являются неколеблющимися, имеющими не более одного нуля на данном интервале. Это утверждение можно рассматривать как обобщение результата в случае постоянного коэффициента Q , согласно которому уравнение имеет неколеблющиеся в любом интервале решения, если Q 0, и только колеблющиеся в достаточно большом интервале. если Q 0. С другой стороны, если 0(х) О, то из теоремы о разделении нулей вытекает следующий результат: если в интервале (а,Ь) одно решение линейного уравнения (1.2.5) имеет более двух нулей, то вес решения - колеблющиеся.
Из всего сказанного можно сделать вывод: все решения уравнения (1.2.5) имеют одинаковый характер колебания.
Изучение колебательного характера решений однородного линейного дифференциального уравнения второго порядка дает нам представление о качественном поведении решений, которое не всегда удается рассмотреть из аналитического представления решений. Такое представление можно получить, применяя теорему сравнения и используя в качестве одного из уравнений сравнения уравнение с постоянным коэффициентом при у .
Интересный пример применения теоремы Штурма дает исследование асимптотического поведения нулей уравнения (1.2.5) в случае, когда Q[x), оставаясь положительными, стремится к нулю при х — оо. Этот случай был изучен Кнезером в 80-х годах прошлого столетия, использовавшим в качестве уравнения сравнения уравнение Эйлера (для л- 0) [93,с.255-256]: у"+ у = 0 (1.2.8) х и сформулировавшим свои результаты в виде теоремы, носящей его имя. Рассмотрим уравнение (1.3.8). Его решения имеют вид хк, где к есть корень уравнения к(к -l)+ а1 = О. Решая это уравнение, получим
Задачи небесной механики: Ж. Лагранж, К. Якоби, Д. Хилл
Говоря о предыстории качественной теории дифференциальных уравнений, следует подчеркнуть, что основным стимулом к ее разработке в трудах Пуанкаре были задачи небесной механики. Об этом Пуанкаре неоднократно упоминает в своем мемуаре "О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями". Так, например, третья часть данного мемуара начинается следующими словами [81,с. 105]: "Всякий, читавший первые две части этого мемуара, не мог не поразиться сходством, существующим между рассмотренными в них вопросами и важнейшей астрономической проблемой об устойчивости солнечной системы...". Исторически первый пример применения качественного метода исследования в области небесной механики, как указывалоссь в разделе 1.2, принадлежит Лагранжу. К. Якоби обобщил этот метод, исследуя на устойчивость систему, состоящую из п материальных точек. Суть задачи состоит в следующем.- Рассматривается уравнение:
В этом неравенстве а 0 , т.к. U положительна. Если бы теперь 2h было положительным, то [a + 2h ) тоже было бы положительным и, таким образом, R при возрастании t возрастало бы бесконечно, т.е. солнечная система была бы неустойчива по Лагранжу. Следовательно, 2ti должно быть отрицательным. Но его числовое значение не должно превышать наибольшего значения, которое принимает U между 0 и t, т.к. иначе коэффициентами. Фундаментальной проблемой Хилла было определение периодических решений дифференциальных уравнений для движения Луны, которое аппроксимировало бы действительно наблюдаемое движение. В 1877 г. Хилл опубликовал мемуар о движении лунного перигелия [137], показав при этом, что дифференциальное уравнение второго порядка имеет периодическое решение и что движение лунного перигелия является периодическим. Кроме того, им была построена теория устойчивости планетной системы. Разработанный Хиллом в мемуаре [138] (1878 г.) метод кривых нулевой скорости является одним из наиболее действенных качественных методов исследования ограниченной задачи трех тел. Сущность этого метода состоит в следующем: рассматривая выражение для интеграла Якоби где t - время, х и v - оси прямоугольной системы координат, вращающейся в плоскости эклиптики со скоростью, равной средней угловой скорости Солнца п , г -радиус-вектор Луны, JLI - суммарная масса Земли и Луны, с - константа, Хилл отмечает следующее: "Отметим теперь несколько особенностей движения, выведенных из интеграла Якоби. Этот интеграл дает квадрат скорости относительно движущихся осей координат; а так как квадрат всегда неотрицателен, то полагае его равны нулю, получим уравнение поверхности, которая отделяет ту часть пространства, в которой скорость действительна, от той, в которой она мнимая" [138, с. 18]. Хилл получил уравнение этой поверхности. Она определяется уравнением шестнадцатой степени, в котором у и z входят только в четных степенях. Поэтому поверхность симметрична по отношению к плоскостям ху и xz. Хилл получил затем уравнение линии пересечения эгой поверхности с плоскостью ху и нашел корни этого уравнения, т.е. точки, в которых поверхность пересекается с осями x,y,z. Это уравнение третьей степени дает возможность оценить те границы, в пределах которых будут колебаться значения корней уравнения (1.6.8) в зависимости от значения постоянной с и провести Хиллу качественный анализ формы данной поверхности. Этот анализ позволяет Хиллу сделать следующие выводы: "Из этого исследования возможно получить довольно ясное представление о форме этой поверхности. Когда постоянная превышает некоторый предел, поверхность состоит из трех отдельных областей. Первая, будучи довольно малой относительно двух других, является замкнутой, окружает Землю и отчасти походит на эллипсоид. Вторая область также замкнута, но окружает Солнце и имеет приблизительно форму эллипсоида вращения. Третья область не замкнута" [138,с.21].
Далее Хилл проводит качественный анализ формы этих областей при изменении постоянных с и у, где у = ,, и а есть среднее расстояние от Солнца до Земли. Хилл па применил эту теорию к случаю движения Луны и показал, что Луна находится в первой области, и, следовательно, должна всегда оставаться в ней, и ее расстояние от Земли никогда не превысит 106,694 экваториальных радиусов Земли. Метод Хилла использования кривых нулевой скорости для установления граничных областей является одной из наиболее удачных качественных идей в исследовании ограниченной задачи трех тел. Кроме этого, следует отметить, что исследования Хилла в области небесной механики послужили отправным пунктом для Пуанкаре в создании общих качественных методов нахождения и изучения целых классов периодических решений.
Творчество П. Пенлеве и его восприятие идей А. Пуанкаре
Значимость новой проблематики, открытой мемуаром А. Пуанкаре и последовавшими за ним работами A.M. Ляпунова, была по-разному оценена их современниками, в частности, французскими математиками. Показательна здесь позиция Пенлеве - одной из ведущих фигур в теории дифференциальных уравнений конца XIX -начала XX века. Его собственные результаты, в частности, изложенные в знаменитых "Стокгольмских лекциях" 1895 г. относятся к аналитической теории дифференциальных уравнений. Резюмируя их в "Анализе" своих работ 1900 г., Пенлеве, отмечая вскрывшуюся в исследованиях XIX века недостаточность класса элементарных функций для представления решений дифференциальных уравнений, писал: "Естественное развитие этих исследований скоро привело геометров к охвату в своих изысканиях комплексных значений переменных наряду с действительными значениями. Теория рядов Тейлора, теория эллиптических функций, обширная доктрина Коши показали плодотворность этого обобщения. Оказалось, что между двумя истинами действительной области самый простой и самый короткий путь часто проходит через комплексную плоскость.
Именно это прямое исследование дифференциального уравнения (во всем поле действительных и комплексных чисел) я поставил своей целью, в частности я постарался выделить среди дифференциальных уравнений те, которые полностью интегрируются с точки зрения теории функций" [133,р.9б].
В то же время для исследований Пенлеве характерен один важный момент, отличающий его подход от подхода предшествующих ему французских исследователей -О. Коши и его последователей и роднящий его с Л. Фуксом: изучение свойств решений дифференциальных уравнений во всей комплексной плоскости.
"Я преследовал, в действительности, - говорит Пенлеве, - вполне определенную цель: в то время как классические доктрины определяют интеграл только в окрестности начальной точки, я поставил перед собой задачу, исходя из этих начальных условий, продолжить исследование интеграла во всей комплексной плоскости" [133,р.96] Во введении 1897 г. к изданию своих "Стокгольмских лекций" Пенлеве, указывая на преемственность своих идей по отношению к идеям Копій, Брио, Буке и др., одновременно подчеркивал новизну своего подхода: "Предметом этого курса будет изложение недавних результатов в аналитической теории дифференциальных уравнений. Основы этой теории были заложены Коши в его "исчислении пределов" [133,р.9б]. Он напоминает результат Коши для системы в окрестное ги точки, где ft являются голоморфными, и результаты Брио и Буке, Пикара, Пуанкаре и др. в случае, когда все ft не являются голоморфными. "Но когда х удаляется от х0 , изменяясь каким-то образом, как ведет себя решение у1(х),...,ут(х) Это фундаментальная проблема, которая до последних лет затрагивалась только для очень частного класса уравнений: а именно для линейных уравнений и уравнений, которые к ним сводятся ...
Наиболее общим дифференциальным системам, исследованию аналитических функций у1(х),...,ут(х), определенных такой системой, их особенностям и т.д. посвящены эти лекции" [133,р.97]. Несмотря на то, что главный интерес Пенлеве лежит в области аналитической теории дифференциальных уравнений, он, тем не менее, не только обратил внимание на новые качественные методы, но даже выполнил несколько работ, касающихся качественного исследования движения. Пенлеве уточняет в связи с этим: "В области исследований, открытых Пуанкаре, о качественных свойствах интегралов я получил несколько новых результатов. Я обсудил, в частности, траектории материальной системы в окрестности положения равновесия. Я показал неустойчивость положения равновесия в обширных случаях, которые не поддавались методам Ляпунова, Кнезера, Адамара,..."[133,р.97] Но эти работы составляют лишь небольшую часть его исследований, преобладающая часть которых относится к аналитической теории. В историческом обзоре теории дифференциальных уравнений, который сделал Пенлеве в своей вступительной лекции в Стокгольме в октябре 1895 г., он даже не затронул геометрическую теорию Пуанкаре, посвятив его исключительно аналитической теории.
Судя по всему, для Пенлеве качественные исследования в теории обыкновенных дифференциальных уравнений носят подчиненный характер. Большинство его результатов, касающихся поведения решений в действительной области, являются приложениями к действительной области результатов, полученных для комплексной области.
Так, можно прочитать в Анализе его работ: "До сих пор мы охватывали все поле (действительное и комплексное) переменной. Когда мы ограничиваемся действительной областью, общие результаты, которые я получил, способствуют количественному изучению интеграла" [133,р.98]. Он изучает, таким образом, уравнения динамики и, в частности, задачу трех и п тел. Именно в связи с этим Пенлеве добавляет в конце вступительной лекции: "Я занимался до сих пор интегрированием в каком-то смысле, совершенных дифференциальных уравнений. Но многие естественные задачи ведут к столь сложным уравнениям, что такое интегрирование невозможно, по крайней мере, в нынешнем состоянии науки. Поэтому нужно преследовать менее амбициозные цели и удовлетвориться специальными способами аппроксимации, приспособленными к частным начальным условиям, которые имеются в реальной жизни. Это то, что пришлось сделать для задачи трех тел и п тел" [133,р.98]. В связи с этим он цитирует методы Гильдена и Линштедта, так же, как и мемуар Пуанкаре 1889 г., не отмечая новизну методов последнего по отношению к двум предыдущим. Таким образом, только временные трудности, считает Пенлеве, препятствуют в некоторых случаях достичь полного аналитического интегрирования, вне которого есть только "способы аппроксимации".
В конце "Стокгольмских лекций" Пенлеве приходит к введению "степеней совершенства" решений с количественной точки зрения и к допущению того, что "совершенство" количественное не является в действительности совершенством решения, поскольку не дает с необходимостью все важнейшие качественные свойства. Но Пенлеве не делает из этого выводов Пуанкаре о необходимости особых, прямых исследований качественных свойств решений. Он верит в превосходство "аналитического", в превосходство метода рядов. Так, он заключает фразой: "Тем не менее, верно, что интегрирование в форме (1) не проинтегрированной еще задачи динамики, будет всегда представлять важный прогресс и нет сомнений, что такое интегрирование повлечет, вообще говоря, полезные следствия , даже с точки зрения качественной".
Необходимо, однако, отметить, что в работах Пенлеве в период с 1888 по 1905 гг. впервые для нелинейных уравнений систематически проводилась идея изучения их решений как функций комплексного переменного во всей области их определения непосредственно по самому виду дифференциального уравнения, аналогичная идее Пуанкаре изучения качественного поведения интегральных кривых в действительной области. В начале 80-х годов 19-го столетия Л. Фукс выделил класс дифференциальных уравнений первого порядка, интегралы которых обладают неподвижными критическими точками. В своей работе [131], вышедшей в 1884 г., он, в частности, доказал, что среди известных уравнений первого порядка
Развитие идей Пуанкаре в области качественного изучения поведения интегральных кривых дифференциальных уравнений на плоскости в трудах И. Бендиксона
Одним из первых, кто получил существенные обобщения результатов Пуанкаре по изучению качественной картины поведения интегральных кривых на плоскости, был И. Бендиксон.
121 Ивар Отто Бендиксон (1861 - 1935) принадлежал к кругу замечательных математиков, с чьими именами связаны первые этапы становления Стокгольмской высшей школы (официальное название Стокгольмского университета с 1880 по 1950 гг.).
Окончив ее, Бендиксон становится вскоре доцентом математики этой школы (10.06.1890). С 5.03.1891 по 31.05.1892 он работает ассистентом профессора кафедры "Высший математический анализ", с 1892 по 1899 гг. занимается преподавательской деятельностью в Королевском технологическом институте в Стокгольме и в Стокгольмском университете. С 1899 по 1900 гг. работает в должности профессора чистой математики Королевского технологического института. С 16.06.1905 г. он профессор кафедры высшего математического анализа Стокгольмского университета, ас 1911 по 1927 гг. занимает должность ректора этого университета.
Ранние математические работы Бендиксона относятся к теории множеств. Сохранилось его письмо к Кантору, опубликованное в журнале "Acta mathematica" [95]. Ряд работ Бендиксона посвящен теории алгебраических уравнений, в частности развитию некоторых идей Абеля. Абель, как известно, доказал невозможность решения в радикалах алгебраических уравнений, степень которых выше четырех (теорема Руффини - Абеля). Задачу выделения класса уравнений, допускающих решение в радикалах, удалось решить Галуа, применившего для этой цели теорию групп. Бендиксон показал, что к результатам Галуа можно придти, развив методы Абеля. Интересно, что сам Абель высказывал идею построения такой теории незадолго до своей кончины
Работа, о которой идет речь, была опубликована в журнале "Acta mathematica" в 1901 г. и носит то же наименование, что и главный труд Пуанкаре по качественной теории дифференциальных уравнений. На русский язык была переведена только первая часть мемуара, опубликованная в журнале "Успехи математических наук" в 1941 г. Изложению мемуара предшествует вступление, где дается краткая характеристика затрагиваемых проблем.
Мемуар Бендиксона охватьшает три больших темы исследований: формулировка и доказательство общих теорем, характеризующих качественное поведение интегральных кривых дифференциальных уравнений на плоскости, изучение сложных особых точек дифференциальных уравнений, поведение интегральных кривых в бесконечности. Введение к этому мемуару начинается следующими словами: "В своих статьях "Sur ies courbes definies par d equations differentielles" Пуанкаре исследовал дифференциальные уравнения с новой точки зрения. Ограничиваясь качественной стороной вопроса, он доказал ряд очень важных теорем, с помощью которых можно полностью определить свойства действительных интегральных кривых дифференциальных уравнений вида
При изучении особых точек Пуанкаре опирался на ранее полученные им разложения интегралов дифференциального уравнения в ряд. В этой статье я прежде всего покажу, что наиболее важные из теорем, доказанных Пуанкаре, можно распространить на тот случай, когда относительно функций X и Y предполагается лишь, что они непрерывны вместе со своими первыми производными по х и у . В первой главе мы докажем основные теоремы, которые получаются в этом общем случае. В частности, укажу на понятие интегральной кривой, проходящей через особую точку, а также на понятие узловой области, - понятия очень важные для изучения интегральных кривых в окрестности особой точки» [20,с. 191-193].
Первая глава мемуара начинается с доказательства двух основных теорем: теоремы существования и единственности решения для системы дифференциальных уравнений
При доказательстве этой теоремы Бендиксон ссылается на Линделефа и дает затем ее формулировку в более наглядной форме:
"Пусть {х0,у0) и (хрУї) две точки плоскости, расположенные на одной и той же характеристике; окружим точку (х19.Уі) окружностью С, сколь угодно малого радиуса 8Х. Всегда можно окружить точку \х0,у0) окружностью Сх столь малого радиуса 3 , чтобы характеристика, проходящая через произвольную точку круга С, не пересекала С".
Следует отметить, что в основе доказательства Бендиксоном последующих шести теорем первой части мемуара лежит понятие о предельной точке траектории, а полученные ранее основные результаты Пуанкаре о ходе характеристик на плоскости являются в сущности следствием двух упомянутых выше теорем. Таковы, например, теоремы II и III первой части мемуара.
Теорема II. Если х = x(t),y = y(t) уравнения характеристики, остающейся все время при возрастании / от /0 до х внутри А и при этом не приближающейся ни к какой особой точке, то возможны только два случая. Либо характеристика сама является замкнутой кривой, либо она неограниченно приближается к некоторой замкнутой характеристике.
Теорема III. Внутри всякой замкнутой характеристики К, не примыкающей к особой точке, существует по крайней мере одна особая точка.
Доказав эту теорему, Бендиксон переходит затем к изучению свойств интегральных кривых в окрестности особой точки, ограничиваясь при этом тем случаем, когда особая точка р является изолированной особой точкой. Обозначая затем через С конечную область плоскости (х, у), окружающей эту точку, он доказывает теорему, которая дает полное описание строения предельных множеств и соответствующего поведения траекторий:
Теорема IV. Пусть L характеристика, которая при t t0 остается все время внутри С; тогда могут представиться только следующие четыре случая Доказанная теорема приводит Бендиксона к следующему важному заключению: если L замкнутая характеристика, примыкающая к особой точке, как при t — +оо, так и при t - -оо, то через каждую точку плоскости х,у, расположенную внутри L, проходит замкнутая характеристика, примыкающая к р, как при t -» +со, так и при t - -оо. Этот вывод, в свою очередь, приводит Бендиксона к введению нового важного понятия качественной теории — замкнутой узловой области. Замкнутой узловой областью, принадлежащей точке р , называется такая область плоскости х,у , где все характеристики являются замкнутыми кривыми, примыкающими к р, как при t -» +00, так и при t — —со.
Другим важным понятием, вводимым Бендиксоном, является понятие интегральной кривой, проходящей через особую точку. Это понятие может быть сформулировано следующим образом: характеристика {Ь,Ц) проходит через особую точку р, если одна из полухарактеристик L и L примыкает к р при возрастающем t, а другая - при убывающем, причем L рассматривается как продолжение L.
В пункте 16 первой части мемуара вводится понятие узловой области и открытой узловой области, принадлежащей точке р, а затем доказывается следующее утверждение: существует лишь конечное число характеристик, пересекающих замкнутый контур С, окружающий точку р и примыкающих к р таким образом, что они могут быть продолжены по отношению к С.
В пункте 17 первой части мемуара Бендиксон приступает к характеристике изолированных особых точек. "Мы будем различать в дальнейшем два класса изолированных особых точек. Может случиться, что сколь бы малого радиуса ни был круг, окружающий особую точку, внутри этого круга всегда найдется бесчисленное множество замкнутых характеристик, окружающих р . В этом случае мы будем говорить, что особая точка является центром.
