Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Акустический эффект взаимодействия релятивистских электронов с твердыми мишенями 11
1.1 Механизмы возбуждения акустических колебаний в твердой мишени пучками заряженных частиц 11
1.2 Динамические задачи термоупругости в изотропных средах 21
1.3 Предельный случай теории термоупругости соответствующий колебаниям в тонких пластинах 26
1.4. Методы решения динамических задач теории упругости и термоупругости 30
1.5. Выводы к главе 1 34
Глава 2. Задача возбуждения акустических волн в тонкой бесконечной пластине осесимметричным импульсным пучком релятивистских электронов 36
2.1 Постановка динамической задачи о возбуждении колебаний осесимметричным источником в бесконечной тонкой пластине 36
2.2 Решение радиационно-акустической задачи для тонкой безграничной пластине в виде аналитических выражений для потенциала колебательной скорости 41
2.3 Численные расчеты волны в пластине для параметров источника, соответствующих реальному распределению ускоренного электронного пучка 46
2.4 Выводы к главе 2 55
Глава 3. Задача об акустических колебаниях возбуждаемых импульсным пучком релятивистских электронов в ограниченной пластине, вырезанной в виде эллипса 56
3.1 Постановка задачи о термоупругих колебаниях эллиптической пластины со свободной границей 56
3.2 Общее построение решения задачи в аналитическом виде 59
3.3. Программный комплекс для численного расчета функций Матье и модифицированных функций Матье 72
3.4. Численные расчеты собственных частот контурных колебаний эллиптической пластинки 88
3.5 Выводы к главе 3 90
Заключение 91
Литература 92
- Предельный случай теории термоупругости соответствующий колебаниям в тонких пластинах
- Решение радиационно-акустической задачи для тонкой безграничной пластине в виде аналитических выражений для потенциала колебательной скорости
- Численные расчеты волны в пластине для параметров источника, соответствующих реальному распределению ускоренного электронного пучка
- Программный комплекс для численного расчета функций Матье и модифицированных функций Матье
Введение к работе
Интенсивные исследования свойств материалов и путей их модификации с целью максимального удовлетворения растущих требований современных промышленных технологий требуют постоянного развития научных методов и средств. Воздействие на вещество пучками быстрых частиц и (или) потоками электромагнитного излучения является универсальным способом, как исследования его свойств, так и их модификации. Прохождение быстрых заряженных частиц в плотных средах сопровождается широким спектром электромагнитных процессов, обеспечивающих передачу энергии падающих частиц атомам среды. В результате обмена энергии в среде возникают тепловые поля, вызывающие ее деформацию. Тепловая энергия может различными путями частично преобразовываться в энергию звуковых волн [8,9,11,14]. При умеренных плотностях выделившейся энергии, когда не происходит фазовых превращений в веществе, генерация звука происходит вследствие нагревания и теплового расширения среды в области взаимодействия с проникающим излучением [12,23,24,32,87,96]. При импульсном воздействии на вещество пучком заряженных частиц или излучения возникают термоупругие напряжения, которые становятся источником акустических волн, распространяющихся из области взаимодействия [88,92,106,107,110]. Этот акустический эффект отражает в себе как свойства и пространственное распределение потока падающих на вещество частиц, так и термодинамические свойства самого вещества, и поэтому может стать основой нового метода их исследования. А это значит, что всестороннее исследование акустического эффекта взаимодействия импульсных пучков заряженных частиц с твердым телом в различной геометрии опыта является актуальным.
Целью работы является теоретическое исследование акустического эффекта импульсного радиационного воздействия на твердое вещество и сравнение полученных результатов с имеющимися данными эксперимента.
Для достижения этой цели были сформулированы и решены следующие задачи:
Решена осесимметричная динамическая задача термоупругости для случая равномерного распределения тепловых источников по толщине пластины без учета теплопроводности материала пластины.
В рамках математического программного пакета MathCad проведены численные расчеты формы акустического сигнала для конкретного распределения плотности частиц падающего на безграничную пластину пучка релятивистских электронов, соответствующего реальному эксперименту, поставленного на выходе линейного ускорителя электронов. Получено хорошее согласие результатов расчета с данными эксперимента.
Исследована задача о контурных колебаниях эллиптической пластинки, возбуждаемых импульсным радиационным воздействием. Получено аналитическое решение задачи о собственных контурных колебаниях эллиптической пластинки.
В среде программирования пакета MathCad создан программный комплекс для расчета функций Матье и модифицированных функций Матье, расширивший возможности пакета и позволивший получить решение задачи о колебаниях эллиптической пластины в виде разложения в ряд по этим специальным функциям.
Проведены численные расчеты спектра собственных колебаний эллиптической пластинки.
Методы исследований:
Методы решения уравнений математической физики.
Методы теории термоупругости.
Численные методы.
ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
В главе 1 «Акустический эффект взаимодействия релятивистских электронов с твердыми мишенями» рассматриваются вопросы исследования процессов взаимодействия релятивистских заряженных частиц с конденсированными средами, сопровождающихся акустическим эффектом, определяются основные задачи и методы их решения. Обсуждаются механизмы возбуждения акустических колебаний в твердой мишени пучками заряженных частиц, рассматривается проблематика современной радиационной акустики, ее связи со смежными областями физики и, в частности, с проблемами термоупругости. Термоупругий механизм рассматривается как основной для возбуждения акустических колебаний в среде при импульсном радиационном воздействии. Подробно рассматривается предельный случай теории термоупругости соответствующий колебаниям в тонких пластинах. Обсуждаются современные методы решения динамических задач теории упругости и термоупругости: метод конечных интегральных преобразований и метод решения в рядах по собственным формам и их применимость к задачам, рассматриваемым в диссертации.
Предельный случай теории термоупругости соответствующий колебаниям в тонких пластинах
Областью сверхвысоких энергий в космических лучах принято считать энергии выше 1012 эВ. Большой интерес представляет нейтринное излучение, что обусловлено прежде всего колоссальной проникающей способностью нейтрино. Появляются реальные возможности заглянуть в глубь звездных недр. Это особенно относится к исследованиям при энергиях Е 1012 эВ, при которых нейтрино могут принести информацию о процессах высокой энергии, происходивших в эпоху с большими красными смещениями, об уникальных физических объектах - скрытых источниках.
Появление в спектре космических лучей частиц сверхвысоких энергий исключительно редкое событие. Последнее заставляет создавать для их регистрации установки огромных размеров - площадью в несколько десятков квадратных километров. Впервые идея о возможности регистрации космических нейтрино была выдвинута академиком М.А. Марковым (СССР) в 1960 году. Новый этап в развитии нейтринной астрономии высокой энергии начался в связи с обсуждением проекта глубоководного эксперимента DUMAND (Deep Underwater Muon And Neutrino Detection). Первоначально в рамках проекта предполагали создать пространственную решетку фотоприемников, погруженных на глубину около 5 км в океане. Объем решетки около кубического километра. Слой воды над установкой служит защитой (экраном) от фона мюонов космических лучей. Г. Аскарьян, И. Долгошеин (СССР) и независимо Р. Боуэн (США) предложили акустический метод регистрации нейтрино сверхвысоких энергий (Е 1017 эВ) с помощью пространственной решетки гидрофонов. Суть метода состоит в следующем. Ядерно-электромагнитный каскад, порожденный взаимодействием нейтрино с веществом (водой), сопровождается быстрым (практически мгновенным) нагреванием узкого канала оси ливня каскада. Это вызывает расширение объема жидкости и приводит к возникновению акустического импульса давления (терморадиационный механизм генерации звука). Импульс давления регистрируется решеткой гидрофонов. Акустический детектор-решетка может оказаться экономически более оправданным, так как требует значительно меньшего количества элементов - гидрофонов, нежели оптический, содержащий огромное число фотоприемников. Дело в том, что звук в океане (воде) распространяется на большие расстояния, а свет быстро затухает.
Речь идет о геофизическом применении пучков нейтрино, которые можно будет создавать с помощью сверхмощных ускорителей будущих поколений. Авторы проекта GENIUS (Geological Exploration Neutrino Induced Underwater Sound) назвали такой ускоритель геотроном. Пучок нейтрино, сформированный на ускорителе, нацеливается в заданном направлении и проходит значительное расстояние в Земле. По мере распространения пучок генерирует акустическое излучение, поскольку образует огромный терморадиационный акустический излучатель. Оценки показывают, что пучок нейтрино, созданный протонным кольцевым ускорителем (геотроном) на энергии 10 ТэВ = 1013 эВ на дистанции L = 1000 км от геотрона на глубине 10 км в Земле, должен иметь диаметр около 20 м и генерировать акустические импульсы с амплитудой 10"5 Па в полосе частот около 90 Гц с центральной частотой 100 Гц. Такие импульсы могут быть зарегистрированы решеткой акустических приемников на поверхности Земли -геофонов или гидрофонов в воде. Фиксируя изменения акустического сигнала вдоль трассы пучка можно получить информацию о типе пород и полезных ископаемых на довольно больших глубинах в Земле.
Термоупругость — раздел механики, развившийся за последние десятилетия. Она исследует взаимодействие поля деформаций и поля температуры и, таким образом, связывает на основе термодинамики необратимых процессов две отдельные ранее независимые дисциплины — теорию упругости и теорию теплопроводности [37,42,45,56,90,108,109]. Напомним, что два основных раздела теории упругости — эластостатика и эластокинетика — основываются на различных термодинамических предположениях. Задачи эластостатики рассматриваются как изотермические, а задачи эластокинетики — как адиабатические[62,63]. В свою очередь теория теплопроводности развивалась на основе предположения о независимости температурного поля от поля деформаций [4,25,31,46,49]. Термоупругость синтезирует упомянутые дисциплины, объединяя их в одно гармоническое целое [54,58,59,103].
В настоящее время термопругость вполне оформилась как научная дисциплина. Четко сформулированы ее исходные предположения, выведены основные соотношения и дифференциальные уравнения. Разработан ряд методов решения дифференциальных уравнений термоупругости, получены основные энергетические и вариационные теоремы [51,67,69,91,93,95]. Общие теоремы и методы термоупругости в качестве частных случаев содержат, естественно, теоремы и методы теории упругости и теории теплопроводности [73,74,78,94]. Следует оговориться, что решения, получаемые в рамках термоупругости, в количественном отношении не слишком сильно отличаются от решений теории упругости и теории теплопроводности. Однако принципиальными являются качественные отличия. Термоупругая трактовка становится основной в тех задачах, в которых целью исследования является термоупругая диссипация. Термоупругость рассматривает упругое твёрдое тело как термодинамическую систему, взаимодействие которой с окружающей средой проявляется лишь в механической работе внешних сил и в теплообмене. Термодинамическая система характеризуется конечным числом независимых переменных -макроскопических величин, называемых термодинамическими параметрами. Одним из независимых макроскопических параметров термодинамической системы, отличающим её от механической, является температура как мера интенсивности теплового движения. Связь деформации и температуры устанавливается с помощью термодинамики [48,68,83,84].
Решение радиационно-акустической задачи для тонкой безграничной пластине в виде аналитических выражений для потенциала колебательной скорости
Итак, в данной главе представлен обзор существующих методов исследования акустического эффекта взаимодействия релятивистских электронов с твердым телом. Импульсное воздействие излучения на вещество сопровождается акустическим эффектом, основным механизмом которого является термоупругий механизм, связанный с нестационарным местным нагревом вещества за счет ионизационных потерь энергии излучения [14].
В условиях нестационарного теплообмена в твердом теле, когда скорость изменения температуры во времени велика, при исследовании тепловых смещений в элементах конструкции следует учитывать динамические эффекты, обусловленные движением частиц твёрдого тела при быстром тепловом расширении, т.е. рассматривать задачу термоупругости в динамической постановке [37].
Для задач связанных с продольными деформациями тонких пластинок [40] (толщина которых мала по сравнению с размерами в двух других направлениях), т.е. с деформациями, происходящими в плоскости пластинки и не сопровождающимися её изгибом, может быть записана система уравнений описывающая продольные смещения пластинок ії(?,і)и поле температур Г(?,ґ)[48]. Обсуждаются современные методы решения динамических задач теории упругости и термоупругости: метод конечных интегральных преобразований и метод решения в рядах по собственным формам и их применимость к задачам, рассматриваемым в диссертации. Последний метод выбран для решения поставленной в данной диссертационной работе задачи о колебаниях эллиптической пластинки, возбуждаемых при импульсном радиационном воздействии.
В данной главе рассмотрена динамическая задача возбуждения термоупругой волны при взаимодействии импульсного пучка электронов с тонкой пластиной. Решена осесимметричная задача для случая равномерного распределения тепловых источников по толщине пластины без учета теплопроводности материала пластины. Проведены расчеты формы акустического сигнала, результаты расчета сравниваются с данными эксперимента.
В условиях нестационарного теплообмена, когда скорость изменения температуры во времени велика, при исследовании тепловых смещений в элементах конструкции следует учитывать динамические эффекты, обусловленные движением частиц твёрдого тела при быстром тепловом расширении, т.е. рассматривать задачу термоупругости в динамической постановке.
Динамическая задача термоупругости без учета взаимодействия полей деформации и температуры (несвязанная задача термоупругости), сводится к решению системы уравнений (1.2.16) и (1.2.17) [37]. Задача о возникновении продольных смещений в пластине описывается векторным уравнением (1.3.7), где все векторные операторы понимаются как двухмерные [41].
Рассмотрим задачу возникновения продольных тепловых деформаций в пластинке, возникших при резко нестационарном тепловом воздействии в пластинке в случае, когда на бесконечную пластину падает аксиально-симметричный импульсный пучок релятивистских электронов длительностью timp, имеющий поперечное распределение в виде усеченного распределения Гаусса (коллимированный пучок электронов) где jo-плотность распределения потока падающих частиц при г = 0, гс-радиус коллиматора, t,mp- длительность посылки ускорителя. В результате нагрева участка пластины, происходящего за счет потерь энергии падающих электронов, в пластине возбуждаются акустические колебания. Распределение температуры в пластине в зоне взаимодействия по толщине пластины равномерно, а вдоль плоскости пластины будет определяться поперечным распределением плотности падающего пучка и длительностью его воздействия.
Так как неравномерный нагрев твёрдой среды не приводит к возникновению в ней конвекции, как это обычно имеет место в жидкостях, то перенос тепла осуществляется здесь одной только теплопроводностью. Плотность потока тепла в данном случае, как показано в [2,46], практически всегда может быть записана в виде т.е. пропорциональна градиенту температуры (Л.-коэффициент теплопроводности).
В нашем случае теплопередача за счет теплопроводности происходит гораздо медленнее, чем распространяются акустические смещения, поэтому теплопроводностью можно пренебречь и считать, что плотность источников тепла q возникает в пластине за счет внешнего источника, которым в данном случае является пучок падающих электронов [6,10].
Численные расчеты волны в пластине для параметров источника, соответствующих реальному распределению ускоренного электронного пучка
Эксперимент был выполнен на импульсном линейном ускорителе электронов LU-40 MeV Харьковского Физико-технического института. Схема эксперимента представлена на рис.2.3.1. На выходе ускорителя была помещена мишень в виде алюминиевой пластины толщиной 1мм, на которую бросали пучок электронов с энергией 20 MeV. Акустические волны, возбуждаемые при этом в пластине регистрировались пьезоэлектрическим керамическим элементом PZT-19, акустически согласованным с пластиной как волноводом [60]. Акустическое согласование означает, что волна напряжений, бегущая вдоль по пластине проходит через элемент без отражения и электрический сигнал, снимаемый с него, однозначно передает форму бегущей через элемент акустической волны.
Длительность импульсного пучка электронов (длительность посылки ускорителя) могла устанавливаться в пределах 0.1 3 us. В эксперименте была измерена зависимость формы акустического сигнала от длительности посылки. Результаты измерений представлены в виде осциллограмм на Рис.2.3.2. Как видно из рисунка амплитуда акустического сигнала растет при увеличении длительности импульса тока ускорителя до величины порядка L/sj. Форма акустического сигнала при этом также изменяется: сигнал удлиняется при увеличении длительности импульса тока электронного пучка.
Для регистрации сигнала акустического элемента использован усилитель с низким входным сопротивлением. В этом случае пьезоэлемент работал как датчик тока. Электрический ток, снимаемый с электрического выхода пьезоэлектрического датчика пропорционален разности между колебательной скоростью на акустическом входе и на акустическом выходе пьезоэлектрического элемента (см. рис.2.3.1.) I(t) — Ui(t)-U2(t). Поскольку для волны, пробегающей через пьезодатчик, U2(t)=Ui(t-L/c), где L-длина пьезоэлемента, с- скорость звуковой волны, то электрический сигнал (ток) пропорционален величине Ui(t)-Ui(t-L/c)=AUi(t), т.е. (при малой L) практически пропорционален производной колебательной скорости. Это учитывалось при сравнении результатов измерения акустических сигналов с соответствующими теоретическими расчётами.
Расчёты акустической волны, возбуждаемой импульсным пучком релятивистских электронов, были выполнены в рамках термоупругого механизма возбуждения. В расчетах использовалось усеченное распределение Гаусса, соответствующее радиально-симметричному распределению плотности электронов коллимированного пучка на мишени.
Амплитуда акустического сигнала в заданной точке определяется суперпозицией волн приходящих в эту точку из различных точек области протяженного источника. В случае мгновенного источника в точке наблюдения амплитуда сигнала в каждый момент времени будет определяться суммой амплитуд волн, приходящих из равноудаленных точек источника, т.е. расположенных на дуге окружности. Если источник действует некоторое время, то в любой данный момент времени в точку наблюдения одновременно придут волны из точек принадлежащих семейству окружностей соответствующих разным моментам излучения. При этом амплитуда сигнала будет результатом интегрирования амплитуд точечных источников расположенных на окружности по радиусу этой излучающей окружности и по времени излучения.
В эксперименте акустический сигнал возбуждался в алюминиевой пластине пучком электронов с энергией 25 Мэв в одиночной посылке ускорителя длительностью 1,4 микросекунды. Пучок имел поперечное распределение близкое к гауссовому с полушириной z = 0.5 см. Акустический датчик имел продольный размер (в направлении распространения волны) L = 0.2 см. Особенностью такого датчика [8] является следующая зависимость снимаемого с него электрического сигнала от времени: где L - продольный размер датчика, с - скорость звука в материале датчика (в алюминии с=0.5см/мксек, в материале пьезоэлемента с-0.3см/мксек), V- колебательная скорость в волне, к - коэффициент пропорциональности. Видно, что для достаточно короткого датчика электрический сигнал оказывается близким по форме к производной колебательной скорости по времени. На рисунке Рис.2 представлена осциллограмма сигнала зарегистрированного в эксперименте (Рис.2.3.3а) и сигнал датчика (Рис.2.3.36), рассчитанный по формулам:
Из рисунка видно, что расчетная кривая хорошо описывает форму реального сигнала акустического сигнала, что подтверждает правильность построенной модели. Предлагаемая модель позволяет исследовать зависимость формы акустического сигнала для различных значений параметров поперечного распределения пучка заряженных частиц и его длительности и прогнозировать результаты эксперимента. Результаты расчетов, проведенных для заданного значения параметра поперечного распределения падающего пучка z и различных значений длительности посылки ускорителя tmp представлены на рисунке Рис.2.3.4. Из рисунка видно, что при увеличении длительности посылки акустический сигнал растет по амплитуде до тех пор, пока выполняется условие timp zlc. При дальнейшем увеличении длительности посылки рост амплитуды акустического импульса прекращается и происходит лишь деформация его формы, что легко объясняется сложением амплитуд волн, рождаемых в конкретной точке зоны взаимодействия и возникших в других точках ранее и пришедших в данную точку к данному моменту времени.
Программный комплекс для численного расчета функций Матье и модифицированных функций Матье
С использованием аналитических выражений для частот собственных колебаний эллиптической пластины, полученных выше в данной главе, были проведены численные расчеты, результаты которых представлены в таблице Таб.1. Расчеты проведены для алюминиевой эллиптической пластинки с параметрами а = 5 cm, b = 3 cm. Для сравнения, там же приведены результаты расчета частот собственных колебаний круглой пластинки радиусом г=а, с использованием известных формул полученных в работе [25]. Дисперсионное уравнение для круглой пластины имеет вид
Как видно из сравнения таблиц l.a. и 1 .Ь., при значении параметра эллиптичности b близком к значению параметра а (а значит и к значению радиуса круглой пластинки г) результаты расчетов для эллипса оказываются близкими к результатам, получаемым по формулам работы [25], что подтверждает правильность полученных в диссертации выражений для собственных колебаний эллиптической пластинки, являющихся основой для численных расчетов контурных колебаний, возбуждаемых в ней при импульсном радиационном воздействии на нее. Полученные в расчетах значения частот собственных колебаний пластинки можно быть использованы для решения динамической задачи возбуждения акустических колебаний в пластине с заданным источником колебаний в виде разложения в ряд по функциям Матье.
Итак, в главе 3 представлена модель для расчета формы акустической волны, возбуждаемой в тонкой пластине импульсным воздействием пучком ускоренных электронов; для случая ограниченной пластины со свободной границей имеющую форму эллипса. Получены аналитические выражения решений поставленной задачи в виде компонент вектора смещения. Проведены численные расчеты спектра собственных колебаний эллиптической пластинки. В среде программирования пакета MathCad создан программный комплекс для расчета функций Матье и модифицированных функций Матье, расширивший возможности пакета и позволивший получить решение задачи о колебаниях эллиптической пластины в виде разложения в ряд по этим специальным функциям.
Решение поставленной задачи представляется важным, например, с точки зрения возможного использования рассматриваемого эффекта для индикации параметров мощных импульсных пучков ускоренных заряженных частиц, рентгеновского и гамма излучения, или в исследовании свойств самой мишени.
Все расчеты проведены в рамках термоупругого механизма возбуждения акустических колебаний, связанного с трансформацией в материале мишени ионизационных потерь энергии падающих частиц в тепло. 1. Решена осесимметричная динамическая задача термоупругости для случая равномерного распределения тепловых источников по толщине пластины без учета теплопроводности материала пластины. 2. В рамках математического программного пакета MathCad проведены численные расчеты формы акустического сигнала для конкретного распределения плотности частиц падающего на безграничную пластину пучка релятивистских электронов. Получено хорошее согласие результатов расчета с данными реального эксперимента. 3. Исследована задача о контурных колебаниях эллиптической пластинки, возбуждаемых импульсным радиационным воздействием. Получено аналитическое решение задачи о собственных контурных колебаниях эллиптической пластинки. 4. В среде программирования пакета MathCad создан программный комплекс для расчета функций Матье и модифицированных функций Матье, расширивший возможности пакета и позволивший получить решение задачи о колебаниях эллиптической пластины в виде разложения в ряд по этим специальным функциям. 5. Проведены численные расчеты спектра собственных колебаний эллиптической пластинки.
