Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Спинтроника и наномагнетизм 13
1.1 Основные принципы спинтроники 13
1.2 Электронный транспорт в магнитных наноструктурах 13
1.3 Гигантское магнитосопротивление 15
1.4 Резисторная модель 18
1.5 Полуклассическая и квантово-механическая теории спин-зависимого транспорта 20
1.6 Туннельное магнитосопротивление 20
1.6.1 Спиновый вращающий момент 23
1.7 Основные принципы наномагнетизма 26
1.8 Характерные длины в магнетизме 29
1.9 Магнитный вихрь 30
1.10 Смещение магнитного вихря из центра 31
1.11 Модель одиночного вихря 32
1.12 Двухвихревое приближение 33
1.13 Влияние размеров магнитной структуры на основное вихревое состояние 35
1.14 Микромагнетизм и уравнение Ландау-Лифшица-Гильберта
1.14.1 Обменная энергия 37
1.14.2 Магнитостатическая энергия 38
1.14.3 Энергия магнитокристаллической анизотропии 39
1.14.4 Уравнение динамики магнитного момента 39
1.14.5 Динамика намагниченности под действием cпинового вращающего момента
1.15 Микромагнитное моделирование 42
1.16 Спин-трансферные наноосцилляторы 44
1.17 Движение вихря под действием спин-поляризованного тока и уравнение Тиля 46
1.18 Синхронизация СТНО 47
Глава 2. Синхронизация вихревых спинтрансферных наноосцилляторов 49
2.1 Введение 49
2.2 Синхронизация двух дипольно связанных вихревых СТНО с одинаковыми диаметрами
2.2.1 Постановка задачи 51
2.2.2 Результаты 51
2.3 Синхронизация двух дипольно связанных СТНО с разными диаметрами 58
2.3.1 Постановка задачи 58
2.3.2 Результаты 59
Глава 3. Синхронизация двух дипольно связанных СТНО с разными топологическими параметрами 65
3.1 Теоретическая модель и микромагнитное моделирование 65
3.2 Экспериментальные результаты синхронизации дипольно связанных СТНО 79
Глава 4. Обобщенная модель динамики магнитного вихря 85
4.1 Введение 85
4.2 Лагранжиан, Гамильтониан и фазово-пространственный Лагранжиан 87
4.3 Площадь на единичной сфере 90
4.4 Лагранжиан магнитной системы 92
4.5 Сокращенная схема для магнитного наноосциллятора 93
4.6 Случай магнитного вихря 98
4.7 Проверка модели действия-фазы на примере кругового цилиндра 100
4.8 Вычисление коэффициентов для уравнения динамики вихря в случае эллиптической наноточки 104
Заключение 111
Список сокращений и условных обозначений 113
Список литературы 115
Список рисунков 126
Список таблиц 135
- Полуклассическая и квантово-механическая теории спин-зависимого транспорта
- Влияние размеров магнитной структуры на основное вихревое состояние
- Синхронизация двух дипольно связанных вихревых СТНО с одинаковыми диаметрами
- Экспериментальные результаты синхронизации дипольно связанных СТНО
Полуклассическая и квантово-механическая теории спин-зависимого транспорта
До недавнего времени считалось, что единственным способом переключения магнитной структуры является действие магнитного поля. Соответственно, под переключением с помощью тока понималась такая ситуация, когда от текущего по проводникам тока возникает вихревое магнитное поле, действие которого на магнитный элемент способно последний перемагнитить. Однако в 1996 году Дж. Слончевским и Л. Берже независимо друг от друга было предсказано [4; 5], а затем обнаружено экспериментально [39; 40], что между током и намагниченностью существует прямое локальное взаимодействие, которое также способно привести к процессам перемагничивания. Cobalt / Copper / Cobalt
Принцип работы эффекта переноса спина для типичного случая трехслойной структуры Co(FM1) / Cu / Co(FM2). Ток электронов, текущий от левого конца к правому приобретает через слой FM1 (предположим, что данный слой тонкий и работает как поляризатор) средний спиновый момент, направленный вдоль намагниченности слоя FM2. Для того чтобы суммарный угловой момент сохранился, поперечный спиновый угловой момент сокращается, тем самым создавая вращающий момент, стремящийся направить намагниченность вдоль слоя FM1 [41].
Рассмотрим трехслойную структуру с двумя слоями Co, разделенными медью (Рис. 1.5). Пусть ток течет слева направо. Вне структуры количество заряженных частиц со спином «вверх» такое же, как и со спином «вниз», однако, внутри левого ферромагнетика из-за спин-зависимого рассеяния электроны поляризуются. В результате ток, выходящий из первого слоя (слой поляризатор), имеет суммарную спиновую поляризацию, направленную параллельно на 25 магниченности этого слоя. Далее спин-поляризованные проводящие электроны проходят через немагнитный слой Cu и достигают границы между медью и правым слоем кобальта. На этой границе электроны частично отражаются, а частично проходят внутрь второго ферромагнетика. Спины прошедших электронов прецессируют некогерентно вокруг локального обменного поля, которое направлено вдоль намагниченности правого магнитного слоя.
В итоге, на небольшом расстоянии порядка одного нанометра направление спиновой поляризации входящих электронов переориентируется в направлении локальной намагниченности. Такое изменение спиновой поляризации создает угловой момент, который передается локальной намагниченности. В результате, на намагниченность правого магнитного слоя действует спиновый вращающий момент, который равен: TST = — (М х (М х mref)) + rybj(NL х mref), (1.14) Ms где mref = Mref/Msref, (Msref - намагниченность насыщения опорного слоя), а aj и bj — коэффициенты, пропорциональные току и имеющие размерность поля. Обычно при плотности тока порядка 107 А/см2, aj = 100 Э, а bj 0.1aj.
Открытие эффекта переноса спина привело к нескольким важным открытиям, включая, например, энергонезависимую магнитную память. Принцип действия ячейки магниторезистивной памяти произвольного доступа, основанной на эффекте переноса спина (STT-MRAM), показан на Рис. 1.6
Электроны, движущиеся от толстого поляризующего слоя к тонкому свободному слою благоприятствуют параллельной ориентации намагниченности. Если начальное состояние антипараллельно, тогда при плотности тока выше некоторого критического J , свободный слой переключится. Когда электроны движутся от свободного слоя к поляризатору, можно показать, что эффективный спиновый момент, инжектированный в свободном слое, противоположно направлен намагниченности в поляризаторе, тем самым ”записывает” антипараллельную конфигурацию при плотности тока выше критического J .
С момента первого наблюдения эффекта переноса спина в трехслойных структурах Co/Cu/Co была достигнута STT запись во многих разных конфигурациях, включая обменно-связанные закрепленные слои и в синтетических антиферромагнетиках (САФ) [8]. Этот эффект также работает в магнитных M F2 thin
Принцип работы магниторезистивной памяти произвольного доступа, основанной на эффекте переноса спина (STT-MRAM). Запись происходит благодаря эффекту переноса спина, а бит информации представляется как взаимная ориентация намагниченности в обоих слоях[41]. туннельных переходах, в частности, в туннельных барьерах на основе оксида магния MgO [42]. Также эффект переноса спина под некоторыми условиями может создать прецессию намагниченности, а в нашем случае данный эффект компенсирует затухание ядра вихря и вызывает его гиротропное вращение.
Магнитное упорядочивание в материалах в основном возникает благодаря действию обменного взаимодействия между моментами. Присутствие других взаимодействий, таких как анизотропия, магнитостическое и магнитоэластиче-ское приводят к формированию магнитных доменов, т.е. областям, где магнитные моменты могут иметь почти одинаковое направление
Под действием внешнего магнитного поля H, границы между доменами, т.е. доменными стенками смещаются, а следовательно, данное смещение меня 27 ет намагниченность ферромагнитного материала. Действительно, приложенное поле выравнивает направление магнитных моментов, и таким образом в материале возникает макроскопическая намагниченность. Как только достигнуто поле насыщения, все доменные стенки исчезают и намагниченность рассматривается как один домен.
Размеры геометрических величин изучаемых систем в данной работе таковы, что магнитные свойства этих систем сильно зависят от того, что они становятся сравнимы с характеристическими длинами магнитных явлений. Например, длина Lex и критический диаметр моно-домена наномагнита Dcr.
Магнитные домены имеют важное значение для понимания поведения ферромагнитных материалов. Однако объекты, рассматриваемые в данной работе, имеют наномасштаб и могут рассматриваться как моно-домены, хотя магнитные состояния, описываемые в данной диссертации являются более сложными, а именно являются магнитными вихрями. Магнитный вихрь, строго говоря, не является моно-доменом, потому что намагниченность неоднородна, но магнитные моменты по-прежнему тесно связаны.
Магнетизм включает в себя не только изучение магнитных свойств магнитной материи, но и ее взаимодействие со внешними магнитными полями. Материалы, которые имеют ненулевой магнитный момент, обычно содержат атомы переходных металлов d(3d, 4 і, 5 і), лантанидов (4/) или актинидов (5/).
Влияние размеров магнитной структуры на основное вихревое состояние
Изучение процессов синхронизации является важной задачей нелинейной динамики не только из-за широкой области применения в физике, биологии, химии и даже в социальных науках, но также из-за многочисленных фундаментальных проблем и понимания коллективной динамики больших ансамблей.
В последнее время большое внимание было уделено фазовой синхронизации связных спин-трансферных наноосцилляторов [13; 67; 69; 71; 77—81]. Ожидается, что СТНО станут многообещающими устройствами для субмикронных синтезаторов благодаря их высокой перестройке частоты [11; 14]. Однако важной проблемой таких устройств, которая мешает их дальнейшей практической реализации является низкая выходная мощность и низкая частотная избирательность. Возможным решением данной проблемы является синхронизация нескольких СТНО.
Интерес к синхронизации СТНО изначально возник из необходимости увеличения когерентности магнитных осцилляций для соответствия требованиям телекоммуникационных приложений, также для приложений связанных с ассоциативной памятью [82; 83]. На данный момент было проведено несколько важных исследований в области синхронизации СТНО с использованием различных физических механизмов связей: последовательное электрическое соединение нескольких СТНО [13; 66; 67; 84], распространение спиновых волн [14; 85], а также синхронизацию магнитных вихрей через антивихрь [86]. Еще одним важным механизмом связи между спин-трансферными наноосциллятора-ми является магнитостатическое взаимодействие, которому посвящена данная диссертация.
Теоретическое описание динамики связных вихревых СТНО является более сложным, чем описание синхронизации хорошо известных осцилляторов Ван дер Поля или ротаторов (Джозефсоновский переход, вращающийся маятник), которые имеют фиксированную орбиту вращения, т.е. одну степень свободы и поэтому могут быть описаны уравнением Адлера [87].
Помимо практических интересов, магнитный вихрь и его динамические моды [43], а именно гиротропное движение ядра вихря, является модельной системой для изучения физики спинового вращающего момента, действующего на сильно неоднородную магнитную конфигурацию [88; 89]. Коллективные гиротропные моды коренным образом улучшат спектральные характеристики осцилляторной системы [90]. Аналогично, вихревые системы могут быть использованы для изучения влияния магнитостатического взаимодействия на коллективную динамику вихрей. Коллективная динамика магнитостатически связанных вихрей была изучена экспериментально и теоретически для случая малых амплитуд колебаний, возбужденных внешним радиочастотным полем [72; 73] и спин-поляризованным током [91]. Однако данные исследования не могут быть применены к случаю больших амплитуд. Приближение малых амплитуд позволяют линеаризовать энергию магнитостатического взаимодействия, что сильно упрощает математическую модель.
В данной главе будут рассмотрены теоретические задачи по синхронизации магнитодипольно связанных СТНО, соединенных параллельно. Результаты были получены в коллаборации с группой коллег из Unite Mixte CNRS/Thales.
В отличие от других работ, в разделе 2.2 был предложен оригинальный метод для описания коллективной динамики вихрей без приближения малых амплитуд. Наша модель предоставляет выражение для энергии связи с параметрами переходного процесса, которые могут быть определены прямо из микромагнитных расчетов или эксперимента. Модель, предложенная в разделе 2.2, также используется в разделе 2.3 для изучения динамики вихрей в наностолби-ках с разными диаметрами, в результате чего можно получить диаграмму зон синхронизации, наконец; эта же модель была использована для изучения коллективной динамики вихрей с разными топологическими конфигурациями 3, что позволяет оптимизировать магнитодипольное взаимодействие между двумя вихревыми СТНО. В этих трех разделах (2.2, 2.3 и 3) подход, основанный на уравнении Тиля, комбинирован с микромагнитными расчетами и простым макродипольным приближением. 2.2 Синхронизация двух дипольно связанных вихревых СТНО с одинаковыми диаметрами
В данном разделе исследуется динамика двух дипольно связанных идентичных вихревых СТНО под действием спин-поляризованного тока. Цель задачи — определить зависимость энергии взаимодействия от расстояния между осцилляторами.
Исследуемая структура представляет из себя два трехслойных наностол-бика. Система состоит из магнитного свободного слоя, немагнитной прослойки, а также слоя поляризатора с вертикальной поляризацией pz. В микромагнитных расчетах в целях уменьшении времени счета рассматривалась динамика только одного свободного слоя.
Толщина свободного слоя составляет h = 10 нм, а диаметры 200 нм (см. Рис. 2.1). Магнитные параметры материала были выбраны также, как у пермаллоя (NigiFeig): намагниченность насыщения Ms = 800 Гс, константа обмена А = 1.3 х 10-6 эрг/см, параметр затухания Гильберта а = 0.01. Поляризация спина составляет Р = 0.2, а плотность тока j = 7 х 106 А/см2. Начальное распределение для обоих наностолбиков — вихрь с ядром в центре диска. Шаг по сетке составляет 2.5 х 2.5 х 10 нм3
В работе использовался комплексный подход, включающий в себя микромагнитное моделирование на пакете SpinPM (см. пункт 1.15), а также анализ на основе уравнения Тиля (см. пункт 1.17). Был исследован процесс синхронизации в зависимости от расстояния L между дисками. Для этого были проведены микромагнитные расчеты с разными значениями L (50, 100, 200 и 500 нм). Из результатов моделирования были получены траектории ядер вихрей для каж
Схематическое представление изучаемой системы. Два наностолбика, состоящие из свободного слоя с вихревым распределением намагниченности, немагнитной прослойки и фиксированного слоя. Красные стрелки показывают направление намагниченности в поляризаторе. Оба наностолбика имеют диаметр = 2 = 200 нм, а расстояние между краями дисков обозначено за . Радиус векторы X1 и X2 определяют позицию ядра вихря относительно центра первого и второго диска соответственно. дого диска, а также разность фаз между радиус векторами как функция от времени. На Рис. 2.2 показан результат моделирования для = 50 нм. Переходный процесс можно разделить на два режима. В момент времени = 0 спиновый вращающий момент включен, и обе траектории ядер увеличиваются до момента, когда они выходят на предельную орбиту (см Рим. 2.2 a). Разность фаз между двумя радиус-векторами, показанная на Рис. 2.2 b), остается постоянной и равной - из-за того, что взаимодействия между дисками пока недостаточно для начала синхронизации. Начиная с момента, когда ядра вихрей приходят к своей предельной орбите, разность фаз начинает осциллировать и приходит к постоянному значению. 650 Time (ns)
Микромагнитное моделирование для L = 50 нм. а) Радиусы движения ядер Х\ и Х2, b) разность фаз ф как функция от времени, с) увеличенное изображение функции ф{Ь) для диапазона времен, где было произведено приближение к выражению (2.1). Режим синхронизации является наиболее интересным для этой работы, т.к. из него можно узнать энергию взаимодействия, анализируя движение ядер вихрей. В течение этого диапазона времени разность фаз можно описать функ цией
Параметры, полученные из приближения результатов моделирования к выражению (2.1) для всех расстояний, представлены в таблице 2. Следует отметить, что конечный радиус орбиты XQ почти не зависит от L.
Синхронизация двух дипольно связанных вихревых СТНО с одинаковыми диаметрами
В данном случае коэффициент, содержащийся в возвращающей силе, имеет вид Ое jms jOe ki(X{, СІ, J І) = &s + kr) eC{Ji + (k + kr) e) — , (3.8) где &s и &s (А;ге и А;ге) соответствуют магнитостатическому вкладу (вкладу от поля Эрстеда). Вклад поля Эрстеда увеличивает частоту вращения центра вихря в том случае, если хиральность сонаправлена с направлением силовых линий поля Эрстеда (Ci-Ji 0) и, соответственно, уменьшает в противоположном случае [99]. Амплитуда вращения также будет изменятся благодаря взаимодействию с полем Эрстеда. Для максимизации симметрии системы и избежания вклада поля Эрстеда, приводящего к смещению между частотами вихревых СТНО, мы нашли, что должно быть соблюдено условие C1J1C2J2 0 (с учетом того, что поле Эрстеда одинаково в обоих СТНО). Данное утверждение исключает конфигурации Pc3 и APc3 из таблицы 4, т.к. такие конфигурации не являются оптимальными для синхронизации. Последнее слагаемое в (3.7) в данном случае имеет вид Fint = —OiC /iefX i.
Как и в предыдущем параграфе, введем новые переменные Ф = Р\(рі — Р2 2 и є = (Х\ — Х2)/{Х\ +Х2). Линеаризуя уравнение (3.7), получим следующую систему уравнений є = —2аг] [ — + uJoar0 1 є т Ф, (3.9a) Ф = —4 ( + uoar0 ) є + 2ат7 Ф. (3.9b) G G Можно получить точно такую же систему уравнений, как и система (2.5a)—(2.5b) в параграфе 2.2 настоящей главы. Таким образом, выражение для коэффициента связи /ieg- имеет вид: G (3.10) Mef l/(rarj) — \/l/(rar])2 — Q(L)2 Далее мы проведем микромагнитные расчеты для того, чтобы получить значения Q и г для каждой конфигурации. Эти расчеты представляют реалистичную картину связной системы осцилляторов, т.к. они учитывают полное магнитоста-тическое взаимодействие.
Для начала сравним результаты микромагнитных расчетов, полученных для случаев Pc1 и APc2 с расстоянием между СТНО в L = 50 нм. Эволюция радиусов орбит и расфазировки Ф показаны на Рис. 3.6(a) и 3.6(b) соответственно, а также некоторые значения указаны в таблице P1=- C, = -1 Pel C = -1
Радиус орбиты вихря (синие и красные кривые) и разность фаз ері — (f2 сумма фаз ері + (/?2, полученные при помощи микромагнитного моделирования для случаев (a) Pc1 и (b) APc1 соответственно и расстоянием между СТНО в 50 нм. Как показано сверху, хиральность (С) противоположна полю Эрстеда (ОН) в обоих дисках (С/ОН\\\\) Данные результаты подтверждают, что синхронизация достигнута в обеих конфигурациях. Также для обеих конфигураций осцилляции в каждом вихревом СТНО начинаются с одинаковой частоты, но со случайной разностью фаз, а затем приходят к синхронизированному режиму почти одновременно. В синхронизированном режиме оба вихря вращаются на почти одинаковых радиусах орбит. Фазовая динамика, полученная при помощи микромагнитного моделирования, может быть приближена к выражению Ф = Ае 1 тsin(f2 + tpo) для Таблица 5 — Численные значения параметров, полученных из микромагнитного моделирования: — общая частота осцилляций oi (02) радиус орбиты для левого (правого) вихря, а- параметр расфазировки. получения и (см. таблицу 6). Значения для эффективного параметра связи для расстояния = 50 нм выведены для конфигурации Pc (ef/ = 19.7 МГц) и APc (ef/ = 49.2 МГц). Как видно, магнитостатическая связь в случае APc в 2.5 раза больше, чем для конфигурации Pc, как и ожидалось, в микродиполь-ном приближении. Результаты случаев APc2 и APc3 для расстояния = 50 нм показаны на Рис. 3.7. В обоих случаях достигнута синхронизация. В симмет Таблица 6 — Численные значения параметров, полученных после комбинированного микромагнитного моделирования и подхода, основанного на уравнениях Тиля, примененных для конфигураций Pc1 и APc1. В последней колонке указаны значения средней энергии, вычисленной по формуле (3.10)
Конфиг. (нс) (МГц) ef/ (МГц) (п )(х10 14 эрг) Pc1 APc1 82.78 71.20 40.136 67.380 19.7 49.2 -22.75 [-27.08] -58.31 [-64.23] ричном случае APc2, для которого обе хиральности параллельны полю Эрстеда, начальная частота одинакова в каждом СТНО, когда как в конфигурации APc3 симметрия нарушена полем Эрстеда, которое направлено противоположно хиральности только одного диска. В последнем случае оба авто-осциллятора должны адаптировать свои частоты для достижения синхронизации на общей частоте і = 2 = 476.31 МГц, сместив свои амплитуды. Как было отмечено выше, микромагнитное моделирование подтверждает, что равновесное фазовое смещение меняется от Ф = 0 до Ф = 7Г, когда знак произведения хирально-стей (С1С2) также меняется.
Радиус орбиты вихря (синие и красные кривые) и разность фаз ері — (f2 сумма фаз ері + ( 2, полученные при помощи микромагнитного моделирования для случаев (a) APc2, когда хиральность (С) сонаправлена с полем Эрстеда (ОН) в обоих дисках (С/ОН\\\\) и (b) APc3, когда поле в левом (правом) противоположно направлено (сонаправлено) хиральности вихря С/ОН\\\\ (С /ОН\\ \), соответственно, расстоянием между СТНО в 50 нм. Для изучения различия в силе связи между конфигурациями Pc и APc и для подтверждения макродипольного расчета требуется более точные численные вычисления. Энергия дипольного взаимодействия получена путем суммирования всего распределения намагниченности, полученного микромагнитным моделированием. Это распределение состоит из взаимодействий каждого спина в каждой численной ячейке, но не включает в себя взаимодействие внутри СТНО
Экспериментальные результаты синхронизации дипольно связанных СТНО
В данном параграфе мы будем использовать формализм, описанный в предыдущих параграфах данной главы для описания динамики магнитного наноосциллятора под действием спин-поляризованного тока. Как уже было сказано в главе 1.17, орбита предельного цикла вихря зависит от величины инжектируемого спин-поляризованного тока / и, используя данный факт, можно исследовать разные орбиты в двумерном Гамильтоновом подмногообразии. Заметим, что при очень больших токах динамика вихря становится хаотичной или мультимодальной, и данная схема неприменима в данных случаях. Применяя микромагнитное моделирование, можно получить семейство периодических решений m(/,,r) с разными периодами Т = Т(1). Вместо переменной времени позиция вдоль каждой орбиты может быть охарактеризована динамической фазой ср = 27Г(t/T), которая, по определению, является 2тт периодической и меняется линейно по времени для невозмущенной динамики осциллятора.
Каждая орбита характеризуется сокращенным действием где внутренний интеграл берется по замкнутой орбите. На практике более удобно использовать безразмерное действие (далее безразмерная мощность осциллятора) р = A/LS, нормализованное на общий эффективный момент импульса магнитной системы. Ls = —dV (4.21) Для систем с пространственно-однородной намагниченностью насыщения и гиромагнитного отношения (мы рассматриваем только эти системы в данном случае) Ls = MsVs/7, где Vs — объем магнетика, а мощность наноосциллятора задается формулой здесь угловые скобки (...) обозначают пространственное усреднение по объему магнетика. Безразмерная мощность равна нулю в стационарном случае и +1 или —1 в случае, когда намагниченность прецессирует вдоль большого круга на единичной сфере (знак р зависит от прецессии вектора т относительно п), максимальное значение \р\ равно 2 и соответствует бесконечно малой прецессии намагниченности около направления п. По численным причинам прямое использование (4.22) возможно только в том случае, если т = —п для каждой точки пространства, фазы и тока. Во многих случаях это условие может быть достигнуто подходящим выбором вектора п.
После вычисления мощности для каждой периодической орбиты можно получить отображение т = m(p,f,r), которое позволяет найти распределение намагниченности для каждой пары сокращенных координат (p,q). Заметим, что численно полученное отображение будет непрерывно по (/?, но в общем случае не является непрерывным по р (потому что разные орбиты получены в независимых численных симуляциях). Непрерывность функции m(p,f,r) по р может быть достигнута при помощи смещения фазы для каждой орбиты. Например, можно ввести требование того, чтобы первая гармоника тх являлась вещественной и положительной (выбор компоненты намагниченности зависит от геометрии задачи). Далее мы предполагаем, что функция m(p,f,r) непрерывная по ср и р.
Для того чтобы получить сокращенную систему уравнений динамики осциллятора, мы подставим анзатц т = m(p(t),f(t),г) в УЛЛГС (1.47):
Взяв скалярное произведение данного уравнения с (m х 1 и [ m х -Р1) , а также усредняя по объему магнетика (данная проекция продик 95 тована симплектической структурой фазового пространства намагниченности), можно получить два дифференциальных уравнения для и :
Заметим, что все эти значения не зависят от затухания и параметров спинового вращающего момента. Поэтому расчеты, сделанные для магнитной системы с одним диссипативным членом, могут быть заново использованы для описания системы с разными затуханиями и спиновыми вращающими моментами. Все величины, за исключением особых возмущений и , являются безразмерными, что очень удобно. Также
Данное свойство обеспечивает простую и независимую проверку точности численной схемы. Более того, для чистого Гамильтонова движения G(p, р) = 1, (4.34) в каждой точке сокращенного фазового пространства. Также для Гамильтонова движения периодическими орбитами являются траектории с постоянной энергией, так что dW/дір = 0. Диссипативные слагаемые ввиду своей малости дают малый вклад в быструю динамику фазы, это означает то, что можно использовать приближение где со(р) = 2тт/Т(р) — круговая частота, которая выходит прямо из численного моделирования. Таким образом, нет необходимости вычислять энергию W как функцию р и (/?, за исключением проверки точности квази-Гамильтонова приближения. Вместе со всеми квази-Гамильтоновыми предположениями система сокращенных уравнений для осциллятора упрощается
В большинстве случаев дополнительные упрощения также возможны. Таким образом, слагаемые с r]pip являются эквивалентными слабой (пропорционально ас) ренормализации временного масштаба и в большинстве случаев могут быть проигнорированы. Хотя все значения (например, г]РР) S и т.д.) являются, в целом, функцией отр и (/9, фаза р является быстрой переменной, и все величины могут быть либо усреднены по (/9, либо нужно рассматривать только некоторые (резонансные к внешнему возмущению) гармоники.
Наконец, мы рассмотрим формы возмущающих членов Fp и Fv для типичных видов возмущения магнитных наноосцилляторов. Одним из возможных видов является модуляция тока /. Такое возмущение описывается, используя модуляцию тока прямо в S - слагаемых в уравнениях (4.36) и (4.37), и не требуют особых F - слагаемых. Другое, обычно рассматриваемое возмущение, — это пространственно-однородное переменное магнитное поле, в случае которого слагаемые F имеют вид
Таким образом, необходимо найти среднюю намагниченность (m) как функцию р и р для того, чтобы описать это взаимодействие. Заметим, что уравнения (4.38) и (4.39) также могут быть найдены из формы энергии Зеемана с однородным магнитным полем: Wz = —MsVs Bext(m). Наконец, влияние тер-мофлуктуаций также можно рассматривать как возмущение. В данном случае Вежі является случайным Гауссиановым процессом с нулевым средним и коррелятором где двойные угловые скобки ((...)) обозначают усреднение по шумовой статистике, кв — постоянная Больцмана, а Тп — температура теплового шума. Поэтому просто показать, что Fp и Fv также являются случайным Гауссиановым процессом нулевым средним и корреляторами