Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Динамика дислокационных скоплений 9
1.1. Континуальный подход к исследованию динамики дислокаций 9
1.1.1. Скалярные динамические модели 11
1.1.2. Дислокации в модели Пайерлса 16
1.1.3. Лагранжев подход к описанию 17 дислокационной динамики
1.2. Торможение движущейся дислокации 17
1.3. Дискретный подход к исследованию динамики дислокационных скоплений 20
1.4. Динамика дислокаций на мезоуровне 21
ГЛАВА 2. Самосогласованная динамика дислокацион ного скопления в бездиссипативном кристалле 24
2.1. Вывод уравнений малых колебаний кристалла с дислокацией 24
2.2. Функция Грина дислокационного скопления с произвольными плоскостями скольжения 33
2.3. Статическая функция Грина скопления с произвольными плоскостями скольжения 36
2.4. Анализ матрицы Грина дислокационного скопления 38
2.5. Спектральные свойства дислокационного скопления 40
2.5.1. Винтовая пара 46
2.5.2. Краевая пара 49
2.5.3. Смешанная пара 51
2.6. Неустойчивость прямолинейной формы параллельных слабовзаимодействующих дислокаций 55
2.6.1. Функционал упругой энергии системы параллельных слабовзаимодействующих дислокаций 56
2.6.2. Исследование устойчивости системы многих дислокаций 59
2.6.3. Исследование устойчивости системы двух дислокаций 62
2.7. Исследование спектральных свойств произвольного скопления параллельных дислокаций 66
2.8. Динамические характеристики дислокационного скопления 70
2.8.1. Линейное натяжение дислокаций 75
2.8.2. Эффективная масса дислокационного скопления 80
2.8.3. Исследование динамических коэффициентов эффективной массы и линейного натяжения 83
ГЛАВА 3. Отклик дислокационного скопления в диссипативном кристалле 90
3.1. Вязкое торможение 90
3.2. Радиационное затухание 94
3.3. Динамический отклик застопоренного дислокационного скопления 98
ГЛАВА 4. Уравнения колебаний дислокационного скопления в рельефе пайерлса 106
4.1. Лагранжиан кристалла, содержащего пайерлсовскую дислокацию 106
4.2. Уравнение малых колебаний кристалла с ПД 112
4.3. Анализ общего уравнения малых колебаний ПД 117
4.4. Исследование собственных колебаний ПД 122
4.5. Длинноволновая асимптотика обобщенной восприимчивости ПД 132
Основные результаты и выводы 136
Литература
- Скалярные динамические модели
- Функция Грина дислокационного скопления с произвольными плоскостями скольжения
- Радиационное затухание
- Уравнение малых колебаний кристалла с ПД
Введение к работе
Актуальность темы. Ряд физических свойств кристаллов, таких как теплоемкость, кинетические коэффициенты тепло- и электропереноса и др., являются структурно-чувствительными и существенно зависят от наличия дефектов кристаллического строения, в частности, дислокаций. Микроскопические механизмы, определяющие эти свойства, основаны на рассмотрении процессов рассеяния элементарных возбуждений на системе дислокаций, которые в области промежуточных волновых векторов порядка обратного расстояния между дислокациями существенно определяются самосогласованным динамическим откликом дислокационных скоплений. Так, наличие квазилокальных низкочастотных колебательных состояний в дислокационной системе обуславливает эффект резонансного рассеяния, дающий значительный вклад в поперечное сечение рассеяния, что приводит к аномальному повышению кинетических коэффициентов в соответствующей области температур.
Динамические свойства дислокационных скоплений также проявляются в быстропротекающих процессах пластической деформации, они определяют мезоскопические механизмы процессов пластической деформации при импульсных воздействиях, например, в электропластической деформации металлов, и кинетику элементарного акта открепления дислокационного скопления от локального стопора, в частности, формирование критического переходного состояния скопления, колебательный спектр которого необходим для расчета частоты открепления скопления.
Последовательный корректный анализ указанных процессов должен основываться на результатах строгого динамического рассмотрения малых колебаний дислокационных скоплений. Однако, за исключением нескольких частных случаев в специальной постановке (В.Д. Нацик, К.Б. Чишко), такие результаты были получены в рамках модели струны, не учитывающей интерференции и запаздывающих упругих полей дислокаций. Самосогласованная динамическая теория дислокаций была развита в работах Т. Муры, A.M. Косевича. Общие подходы к получению уравнений малых колебаний дислокаций в рамках
5 лагранжева формализма предложены Т. Ниномией, В.И. Альшицем,А.М. Ро-щупкиным. Актуальность темы исследования продиктована необходимостью развития этих подходов.
Работа была выполнена на кафедре высшей математики и физико-математического моделирования Воронежского государственного технического университета в рамках ГБ НИР 2007.13 "Динамика дефектов в конденсированных средах и операторные уравнения", которая соответствуют одному из основных научных направлений Воронежского государственного технического университета - "Материаловедение функциональных и конструкционных материалов".
Целью работы является построение самосогласованной динамической теории малых колебаний дислокационных скоплений и исследование на ее основе динамических свойств дислокационных скоплений .
Для достижения указанной цели исследования необходимо решить следующие задачи:
получить общее динамическое уравнение малых колебаний дислокационного скопления.
исследовать спектр собственных колебаний скопления и получить макроскопические динамические характеристики скопления.
исследовать отклик дислокационного скопления на импульсное воздействие.
рассмотреть динамические характеристики дислокационного скопления в диссипативном кристалле.
5) получить уравнения колебаний и исследовать колебательный спектр
пайерлсовской дислокации.
Научная новизна. В результате проведенного исследования были получены результаты, характеризующиеся научной новизной: В терминах полей смещений кристалла и дислокационного скопления получены уравнения малых колебаний кристалла с объемным дислокационным скоплением, находящимся возле положения статического равновесия в произвольном внешнем поле.
Найдено общее выражение обобщенной восприимчивости дислокационного скопления, на основе анализа которого установлен характер спектра собственных колебаний.
Вычислены эффективная масса и линейное натяжение дислокационного скопления, позволяющие описывать его макроскопическую динамику как самостоятельного структурного объекта.
Обнаружена динамическая потеря устойчивости прямолинейной формы дислокационного скопления, сопровождающегося макроскопическим изгибом дислокаций при приближении к точке потери статической устойчивости.
Обнаружен осциллирующий характер частотной зависимости радиационного затухания в области длин волн порядка расстояния между дислокациями и частот порядка собственных частот колебаний скопления.
Получено уравнение малых колебаний пайерлсовской дислокации в форме дифференциального уравнения второго порядка, на основе которого установлены особенности коротковолновых собственных колебаний пайерлсовской дислокации.
Основные положения и результаты, выносимые на защиту;
Уравнения малых колебаний кристалла с объемным дислокационным скоплением. Исследование спектра собственных колебаний дислокационного скопления. Динамические характеристики скопления: эффективная масса и линейное натяжение для различных типов внешних воздействий.
Эффект динамической неустойчивости прямолинейной формы параллельных слабовзаимодействующих дислокаций, проявляющийся в самопроизвольном изгибе дислокационных линий при приближении к состоянию потери устойчивости.
Анализ отклика застопоренного объемного дислокационного скопления в диссипативном кристалле на импульсное воздействие и установленный на его основе пороговый характер зависимости силы отрыва скопления от длительности импульса воздействия.
Спектр собственных колебаний пайерлсовской дислокации.
Научная и практическая значимость работы. Научная значимость работы определяется прежде всего тем, что полученные результаты являются дальнейшим развитием самосогласованной динамической теории дислокаций.
Установленные спектральные свойства служат базисом для теоретического анализа структурно-чувствительных кинетических коэффициентов в низкотемпературной области.
Исследованные динамические свойства дислокационного скопления являются основой для дальнейшего развития представлений об элементарном акте пластической деформации и позволяют развивать мезоскопическую динамику дислокационных систем.
Полученные результаты по исследованию отклика скопления на импульсное воздействие электрического тока раскрывают физическую природу порогового эффекта электропластической деформации и используются для интерпретации экспериментальных данных по электропластичности.
Научная апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на следующих конференциях, семинарах и школах: Международных семинарах "Релаксационные явления в твердых телах" (Воронеж, 1995, 1999); IV, V, VI Международных конференциях "Действие электромагнитных полей на прочность и пластичность материалов" (Воронеж, 1996, 2003, 2005); VIII Международной конференции "Математика, компьютер, образование" (Пущино, 2001); II международной конференции "Актуальные проблемы современной науки" (Самара, 2001); X Международной конференции "Взаимодействие дефектов и неупругие явления в твердых телах" (Тула, 2002); II международном семинаре "Компьютерное моделирование электромагнитных процессов в физических, химических и технических системах" (Воронеж, 2003); Международном семинаре "Физико-математическое моделирование систем" (Воронеж, 2004); Международном семинаре "Моделирование физических процессов в конденсированных средах и системах многих частиц" (Воронеж, 2005); ежегодных научных конференциях сотрудников ВГТУ; научных семинарах ВГТУ (1995 -2006).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 14 научных работ, в том числе 2 - в изданиях, рекомендованных ВАК РФ.
Личный вклад автора. В работах, опубликованных в соавторстве, приведенных в конце автореферата, автору принадлежат: [1,3,4,8,9]-получение уравнений малых колебаний кристалла с дислокационным скоплением, дислокацией Пайерлса и исследование застопоренного дислокационного скопления, [2] - исследование радиационного затухания дислокационных колебаний, [5,13] -получение динамических характеристик скопления, [6,7,10-12,14] -исследование спектральных свойств дислокационных скоплений.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 4 глав, выводов и библиографического списка из 144 наименований. Основная часть работы изложена на 137 страницах, содержит 16 рисунков, 1 таблицу.
Скалярные динамические модели
Трудностью использования данной системы представляется тот факт, что при макроскопическом усреднении тензорная плотность дислокаций обращается в нуль при отличном от нуля потоке, и часть уравнений системы удовлетворяется тривиальным образом. Для устранения данного недостатка были предприняты попытки создания скалярных моделей. В подобных моделях, как например, в известном соотношении Орована [26], плотность потока j описывается не тензором, а скалярной величиной: )=Pjjbv, (1.9) где PJJ- скалярная плотность дислокаций, v- скорость дислокаций.
На основании полумикроскопических физических моделей составляется кинетическое уравнение для описания эволюции скалярной плотности. В простейших моделях полагаем, что скорость размножения дислокаций (например, по механизму Франка-Рида) пропорциональна р, а скорость их аннигиляции
Стоящие здесь коэффициенты а и /3 либо определены подходящей микроскопической моделью, либо рассматриваются как феноменологические константы.
В рамках скалярной модели считается описание основных результатов с помощью сравнительно простых формул, включающих свойства твердого тела, позволяя обычно получать правильные количественные оценки.
Например, привлечением скалярной плотности р„ в работе [27] строится теория пластической деформации. Система дифференциальных уравнений, описывающих этот процесс, представлена в феноменологическом виде: р = /2(є,Рд,Ск,ст), (1.11) Ск = /к(є,рд,Ск,ст), где є - относительная деформация, а - внешнее напряжение, С - концентрация точечных дефектов.
Дальнейшее обобщение для одной системы скольжения дислокаций одного типа скалярная модель плотности получила в работах [28-31], где исследуется пространственная эволюция плотности дислокаций в рамках диффузионной модели, а также анализируются возможные равновесные дислокационные конфигурации в терминах суммарной дислокационной плотности. Тензоры а и jfc выражаются через рд. Исследование динамики дислокационного ансамбля проводится с учетом генерации, рекомбинации и стока дислокаций. Эти процессы характеризуются раздельными плотностями дислокаций p+(x,t) и p-(x,t), для которых сформулирована система эволюционных уравнений в форме дифференциальных законов сохранения: - + —(p±v±) = A(p++p-)-cp+-kp+p_, (1.12) ot ox где А - коэффициент размножения дислокаций по механизму двойного поперечного скольжения, к - коэффициент аннигиляции, с- коэффициент стока дислокаций, v- скорость скольжения дислокаций.
Способ разделения дислокационной плотности на р+ и р_ применяется и для описания явления кинетической неустойчивости дислокационного ансамбля в нитевидных кристаллах.
Другая скалярная величина - скорость пластической деформации ём использовалась в [33-35] при построении теории пластичности и изучении низкотемпературного движения дислокаций. ёт представляется в виде аррениу-совской зависимости: ё = ё е , (1-13) где к- постоянная Больцмана, Т - температура, U{&)- энергия активации, є0 =bNv0, N - плотность подвижных дислокаций, v0- константа, пропорциональная частоте попыток дислокации преодолеть препятствия.
В книге [22] Косевич также обращается к модели скалярного поля. Закон Гука (1.4) в системе уравнений динамики заменен упрощенным соотношением a = Gh, где h - вектор дисторсии, который в скалярном поле играет роль тензора дисторсии Ufa. Подобная замена предполагает облегчить схему описания дислокаций.
Уравнения дислокационной динамики (1.3-1.8) определяют тензор упругой дисторсии Ufa и вектор скорости смещения среды v по известному распределению плотности дислокаций ац. и плотности их потока. Для того, чтобы она была замкнутой (определяла самосогласованную эволюцию дислокаций и упругого поля), необходимо показать, как изменяются плотности дислокаций и их потока под действием упругих полей. Другими словами, необходимо получить уравнение движения дислокации. Для консервативных систем оно имеет вид равенства нулю обобщенной силы, действующей на дислокацию:
Переход к явной записи уравнения движения в виде зависимости координат и скоростей дислокаций от внешнего поля напряжений связан с рядом трудностей. В книге [21] такой переход осуществлен для дислокационной петли путем выделения в напряжении составляющих внешнего jf и собственного дислокационного a s полей:
Функция Грина дислокационного скопления с произвольными плоскостями скольжения
Из полученных аналитических ветвей колебаний системы из двух дислокаций следует, что они полностью согласуются с численными расчетами спектров в данном диапазоне волновых векторов.
В разделе 2.5.3 в рамках самосогласованной динамической теории дислокаций было найдено, что спектр колебаний системы параллельных винтовой и краевой дислокаций содержит ветвь вида со = с q -со0, свидетельствующую о неустойчивости прямолинейной формы дислокационных линий: при q0 =со0/с собственная частота колебаний обращается в нуль, а при q q$ становится мнимой. Согласно теории колебаний [112] это означает, что при таких волновых числах дислокационные линии изогнутой формы имеют меньшую энергию, чем прямолинейные дислокации. Для данного эффекта существенно, что прямолинейные параллельные винтовая и краевая дислокации не взаимодействуют
В соответствии с общими принципами механики [111,112], соответствующее уравнению (2.18) изменение энергии системы дислокаций при их изгибе в форме синусоидальной волны с амплитудами о определяется выражением в расчете на единицу длины дислокационных линий.
В случае устойчивости равновесия прямолинейной формы дислокационных линий величина (2.50) должна быть положительна для любых значений амплитуд п и волновых чисел q 0. Математически это означает, что матрица G квадратичной формы (2.50) должна быть положительно определенной при всех q 0. Если же для каких-либо значений волновых чисел матрица д становится неопределенной, то существуют такие взаимные изгибные смещения о дислокационных линий, при которых изменение энергии (2.50) отрицательно, то есть изгиб линий дислокаций понижает энергию системы, и прямолинейная форма неустойчива по отношению к некоторому волновому возмущению с такими волновыми числами.
Здесь индексы s, e обозначают винтовую и краевую компоненты вектора Бюр-герса дислокации, эффективные жесткости C.(q,0) и коэффициенты возвращающей силы К А определяются как где у- квадрат отношения скоростей поперечного и продольного звука, Л - параметр полуширины ядра дислокации (для простоты принимается одинаковым для всех дислокаций), гар - расстояние между линиями дислокаций, q п угол между плоскостью скольжения а-дислокации и плоскостью, проходящей через прямолинейные а- и -дислокации. Фигурирующие в (2.51) функции взаимодействия изогнутых дислокаций определены формулами (2.25).
Параметры К отсутствуют в паре краевой и винтовой дислокаций, поэтому в общем случае их величину можно рассматривать как степень силы взаимодействия дислокаций. Они достигают максимального положительного значения в соответствующей равновесной конфигурации пары прямолинейных дислокаций и обращаются в нуль в положении потери равновесия пары в поле внешних однородных напряжений.
Согласно (2.61), статическая устойчивость системы дислокаций, определяемая неотрицательностью выражения (2.61) при z = 0, выражается условием неотрицательной определенности матрицы Q, диагональными элементами которой являются величины (2.57), а недиагональными - (2.59). Определитель этой матрицы, как нетрудно видеть, равен нулю, что соответствует трансляционной инвариантности энергии при смещении системы дислокаций, как целого. За исключением данного обстоятельства, для устойчивости статического равновесия системы дислокаций матрица Q должна быть положительно определенной, и в частности, положительными должны быть диагональные элемен 60 ты (2.57). Обьино величина этих элементов порядка числа дислокаций, что обеспечивает положительность функции (2.61) при всех значениях волнового числа, то есть и динамическую устойчивость системы. Однако при малом значении какого-нибудь диагонального элемента, в частности, в положении, близком к потере устойчивости, становятся возможными отрицательные значения функции (2.61). Такое состояние естественно назвать состоянием слабого взаимодействия дислокации, имеющей малое значение параметра (2.57), с системой остальных дислокаций.
Пусть, для определенности, дислокация с а=\ имеет коэффициент возвращающей силы Q\«\. Выберем комплексный вектор = i амплитуды изгиба этой дислокации отличным от амплитуд изгиба всех остальных дислокаций, которые примем одинаковыми: а =,а \.
Радиационное затухание
В другом предельном случае г«1 в интеграле (3.9) существенны значения q «\jl и для явного вида функций у (q) нужно использовать конкретный механизм затухания, согласно [127] имеем у у , у у ql. Тогда оценка с помощью формулы (3.10) дает для интегралов, содержащих у , величину
В этом пределе взаимодействие упругих полей дислокаций в скоплении может оказывать существенное влияние на их динамическое торможение. Отметим, что согласно приведенной оценке такое взаимодействие отсутствует для краевых дислокаций в стенке ( р = п-/2} или плоском скоплении (р = 0, (р = л).
Радиационное затухание колебаний в кристалле становится существенным при низких температурах, когда линейные по со составляющие функции вымораживаются, при этом сила торможения пропорциональна со\со\. Колебания пар дислокаций рассматривались Ниномией [50], однако вопрос о радиационном торможении был оставлен без внимания. Вместе с тем, ввиду явления интерференции упругих волн здесь следует ожидать проявления специфических эффектов.
Рассмотрим колебание пары дислокаций под действием плоской упругой волны с частотой со, проекцией q волнового вектора на дислокационную линию и амплитудой г. В этом случае /а = Ъат и решение уравнений (2.20) имеет вид С учетом этого результата Фурье-образ работы, производимой силами fa на смещениях %а дислокаций, равен
Мнимая часть этого выражения численно равна диссипации энергии D за один период колебаний, которую выразим в виде: где обозначено A = Р + G{F -PQ). Поскольку в рассматриваемой постановке задачи торможение дислокации обусловлено только излучением упругих волн ускоренно движущихся дислокаций, то диссипация (3.11) целиком связана с радиационными потерями при колебаниях пары дислокаций. Характер радиационной диссипации энергии колебаний зависит от соотношения частоты и волнового вектора и характеристических параметров cor=ct/rn г .В предельном длинноволновом низкочастотном случае для дислокационного диполя получаем выражение А = Р-Р , в котором члены, со О 9 I О держащие множитель \n(q -со /с ), ответственный за появление мнимой части в (3.11), сокращаются, и радиационное затухание в нулевом приближении отсутствует. Для пары же дислокаций одного знака будем иметь А = Р + Р , что совпадает с выражением для единичной "супердислокации", имеющий "радиус ядра" ф г, с соответствующими выводами в отношении величины диссипации (3.11).
В другом предельном коротковолновом высокочастотном случае (со»й)г, rqz »1) функция F - 0, и мы получаем систему из двух динамически невзаимодействующих дислокаций, так что выражение (3.11) переходит в сумму величин диссипации для двух индивидуальных дислокаций. При этом влияние одной дислокации на другую сказывается только статически в наличии постоянного слагаемого Р0, что физически эквивалентно колебанию дислокации в потенциальной яме.
В промежуточной области {co a)r,rq \) не представляется возможным провести аналитическое исследование зависимости D(q, со). В то же время, из выражения для функции F следует, что она представляется через бесселевы функции аргумента (qr) {colcor) и, следовательно, может иметь осциллирующую частотную зависимость. Для проверки этого предположения были выполнены численные расчеты для функции А- , представленные на рис. 1,2, которые подтверждают осциллирующий характер зависимости D(q, со). в промежуточной области.
Физической причиной появления осцилляции является выполнение условий резонанса (антирезонанса) дислокационных колебаний, приводящее к увеличению (уменьшению) амплитуды колебаний, что, в конечном итоге, обусловлено интерференцией упругих волн колеблющихся дислокаций. 3.3. Динамический отклик застопоренного дислокационного скопле ния Будем считать стопор линейным (в общем случае это означает пренебрежение прогибом дислокации по сравнению с расстоянием между дислокациями).
Уравнение малых колебаний кристалла с ПД
Таким образом, в этом пределе величина г/ переходит непосредственно в динамическую переменную линейной дислокации. Поскольку она не зависит от q-y, то выносится из-под интегралов свертки в (4.23), и в итоге имеем сила f определяется аналогично (4.25). Выражение (4.26) совпадает с обобщенной восприимчивостью линейной дислокации при регуляризации самодействия дислокации по Брауну. Данный результат показывает, что при рассмотрении динамики движения дислокации в самосогласованном подходе именно регуляризация по Брауну должна использоваться для нахождения динамических характеристик дислокации, в отличие от примененного ранее обрезания на сфере Дебая. Последнее имело бы смысл при рассмотрении термодинамических свойств кристалла с дислокацией.
Перейдем теперь к рассмотрению функций g и g . Согласно структуре выражения (4.20), g q ,q является однородной функцией первого порядка по аргументам qx, qy, со, поэтому функция 0 0, / пропорциональна \qy\, так что в общем случае можно записать
Дальнейшее упрощение этого уравнения можно произвести, воспользовавшись синусоидальной аппроксимацией для функции F(0). Используя известное решение [118] для О J у) в этом случае, получим A[qyj=exd-A.qy ]," где Я-полуширина ПД. Найдем явное выражение для оператора А в этом случае. Так как А представляет собой оператор свертки с ядром A q У. то применим для этого Фурье-преобразование. Образ ядра A\q в рассматриваемом случае
Нетрудно видеть, что решением этого уравнения является Т] = А, или A = A Q. Отсюда следует % =e\q , что соответствует оригиналу %{x,y,t)=const. Данное решение означает, что уравнение (4.28) обладает свойством трансляционной инвариантности, означающей неизменность состояния ПД при ее произвольном трансляционном сдвиге по оси Оу. Согласно теореме
Голдстоуна, это должно приводить к существованию собственных колебаний акустического типа у ПД.
Собственные колебания ПД являются решениями соответствующего (4.36) однородного уравнения: при естественных граничных условиях
Уравнение (4.40) решается для фиксированного значения компоненты q , входящей в уравнение как параметр. Решение задачи (4.40), (4.41) в такой подстановке существует не для произвольного значения частоты со.
В результате данная задача аналогична задаче на собственные функции и собственные значения самосогласованного оператора. Однако, в отличие от последней, собственная частота колебаний со не входит множителем перед переменной Q в (4.40), поэтому рассматриваемая задача, как будет показано ниже, имеет единственное вещественное решение для локальных колебаний ПД. Дважды дифференцируемое решение, удовлетворяющее условию (4.41), должно иметь участки с выпуклостью разного знака, поэтому для существова ло- ) ния решения функция — — должна менять знак с плюса на минус при 0 со увеличении q-y. Для этого необходимо существование решений уравнения сс -а, =0. Рассмотрим условия знакопеременности функции с(г, а при положительном знаменателе.
Для сведения задачи к конечному отрезку выберем некоторое значение Q »1, такое что при qу = Q можно считать С,а = 0. Тогда вторым граничным условием будет »(0 = 0. (4.43) Как будет видно, при "правильном" выборе Q также выполняется (0 = 0, что в совокупности с (4.43) заменяет собой условие (4.41).
Решение уравнения (4.40) при условиях (4.42), рассматриваемых как начальные, для произвольного со не удовлетворяет условию (4.43). В методе стрельбы производится подбор со таким образом, чтобы выполнялось (4.43) с заданной точностью. Пусть найдены два значения со. и С0у, при которых
В традиционном методе стрельбы новое приближение выбирается между 0). и #2 пропорционально отклонениям (4.44). Однако в нашем случае условие (4.43) не является регулярным, поэтому данный метод неприменим. Для обеспечения устойчивой сходимости метода стрельбы нами был применен метод половинного деления: a,3=-L-lt (4.45) и затем для следующей итерации выбираем тот из отрезков [со :со Л или [о) : (ОгЛ, на котором выполняются граничные соотношения (4.44). Акустические колебания целесообразно искать в виде 6) = cqx, и тогда рассматриваемой процедуре будет подвергаться безразмерная фазовая скорость с волны вдоль ПД. Для локальных колебаний, соответствующих вещественному решению а, то есть вещественной функции а&, должно выполняться с 1, поэтому в качестве запуска счета можно выбрать с - 1; л = 0,1 ( для винтовой дислокации выбор осуществляется несколько по-другому). Рассмотрим процедуру поиска решения дифференциального уравнения (4.40) для краевой ПД с помощью следующих графиков: Из рис.4.2 а) и б) видно, что уравнение (4.40) не имеет нечетного решения для краевой ПД. Это объясняется тем, что на множестве фиксированных значений фазовой скорости с функция С имеет малую степень кривизны, недостаточную для обеспечения условия (4.41) и, как следствие, для существования решения уравнения. Нахождение четного решения обеспечивается отрицательностью числителя функции \(xr\ a(D}/\(xQ+au)j в области рассматриваемых волновых чисел, как было показано выше, и положительным знаменателем