Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Математические методы полуклассического описания антиферромагнитных систем
1.1. Феноменологические модели антиферромагнетиков Гейзенберга с различными видами анизотропии.
1.2. Обобщенные спиновые когерентные состояния .
1.3. Уравнение классического антиферромагнетика Гейзенберга
1.4. Диссипативные солитоны
1.5. Обсуждение
ГЛАВА 2. Математическое моделирование динамики одномерных солитонов классического антиферромагнитика гейзенберга в диссипативных средах
2.1. Математическое моделирование бризерных решений типа решения Синус – Гордона в классическом антиферромагнетике Гейзенберга
2.2. Диссипативные солитоны уравнения классического антиферромагнетика Гейзенберга при наличии диссипации и внешней подкачки
2.3. Формирование диссипативных солитонов при наличии подкачки с кратными частотами
2.4. Обсуждение
ГЛАВА 3. Математическое моделирование двумерного диссипативного солитона в классическом антиферромагнитике гейзенберга
3.1. Математическое моделирование топологических солитонов в антиферромагнетике Гейзенберга
3.2. Математическое моделирование формирования двумерных диссипативных топологических солитонов в моделях антиферромагнетизма
3.3. Обсуждение
ГЛАВА 4. Математическое моделирование диссипативного солитона в уравнении гинзбурга-ландау при наличии внешних параметров
4.1. Диссипативные солитоны в уравнение Гинзбурга – Ландау и уравнения Свифта-Хоенберга.
4.2. Формирования когерентной структуры в комплексном уравнении Гинзбурга-Ландау
4.3. Обсуждение
Заключение
Литература
- Обобщенные спиновые когерентные состояния
- Диссипативные солитоны уравнения классического антиферромагнетика Гейзенберга при наличии диссипации и внешней подкачки
- Математическое моделирование формирования двумерных диссипативных топологических солитонов в моделях антиферромагнетизма
- Формирования когерентной структуры в комплексном уравнении Гинзбурга-Ландау
Обобщенные спиновые когерентные состояния
Глава посвящена математическим методам полуклассического описания антиферромагнитных систем. В ней дан обзор по современному состоянии следующих вопросов: квантово-механическая и классическая модель и основные уравнения динамики намагниченности в антиферромагнетиках; сведение квантовых спиновых моделей к полуклассическим на основе техники обобщенных спиновых когерентных состояний; соответствующей группы симметрии, преобразование Холдейна; вопросы математическое моделирование уравнения классического антиферромагнетика Гейзенберга, связь между моделью классического антиферромагнетика Гейзенберга и уравнением sin-Гордона и диссипативные солитоны.
Классические нелинейные модели физики конденсированного состояния, в частности физики магнетизма и магнитных явлений описывается рядом нелинейных эволюционных уравнений. К их числу относятся такие хорошо известные и изученные уравнения, как нелинейное уравнение Шредингера, уравнение Буссинеска, синус-уравнение Гордона, уравнение Ландау-Лифщица, и ряд других нелинейных уравнений математической физики. Уникальность этих уравнений, в отличии от линейных уравнений, заключается в том, что они образуют т.н. солитонные частицеподобные решения. То есть солитонные решения описывают динамику уединенной волны, иначе говоря, локализованного и достаточно долго живущего объекта.
Численные эксперименты по моделированию взаимодействия солитонов, еще на заре эры компьютерных технологий, показали что, солитоны при столкновении, ведут себя необъятным образом. В частности, взаимодействия солитонов во вполне интегрируемых уравнениях, обладающих бесконечным набором интегралов движения, носит упругий характер, в отличии от неинтегрируемых или не вполне интегрируемых уравнений. [68]
Одним из наименее исследованных уравнений как аналитическими так и численными методами оставалось уравнение классического антиферромагнетика Гейзенберга, известного также как О(3) нелинейная сигма модель. В работах [91] были проведены исследования устойчивости, а динамики взаимодействий солитонов различного типа как в одно - так и в двумерной модели, были получены ряд новых решений, в частности бризерного типа. Было, в частности, показано, что взаимодействие двумерных топологических солитонов, представляющих собой вихревые возбуждения с нетривиальным топологическим индексом, носит характер взаимодействия элементарных частиц, т.е. здесь возможны различные сценарии взаимодействия: упругое столкновение и расклад под разными дальнодействие, распад солитонов на топологические возмущения и последовательная аннигиляция солитонов со взрообразным излучением энергии [92].
Однако вопросы поведения солитонов бризерного и топологического типов, в моделях классического антиферромагнетика Гейзенберга, при наличии диссипации и подкачки, оставались вне поля зрения исследователей. В то время, хорошо известно, что в диссипативных, т.е. реальных средах, при наличии подкачки, возможно формирование т.н. диссипативных, долгоживущих солитонов различного типа [93], а также возможно формирование т.н. странного аттрактора в фазовом пространстве рассматриваемых систем.
Таким образом, перед нами ставится задача получения уравнений, описывающих динамику намагниченности в средах с антиферромагнитным упорядочением, стартуя с квантовых спиновых моделей, с целью получения достаточно точных моделей, учитывающих не только спиновую динамику на полуклассическом уровне, на также и магнитоупругими, а в цикле, - и магнитострикционными явления, несущие ответственность за диссипативными явления в магнитных средах. Достаточно корректный переход от квантовых спиновых моделей к классическим, или полуклассическим, был основан в работах [94] на основе подхода обобщенных спиновых когерентных состояний. [40]
Феноменологические модели антиферромагнетиков Гейзенберга с различными видами анизотропии.
Модель и основные уравнения динамики намагниченности в антиферромагнетиках. В простейшем случае при наличии одноосной анизотропии на квантовом уравнении антиферромагнетик Гейзенберга описывается гамильтонианом следующего вида: , = Х)+1 + Ay-y+1 г (1. 1 . 1) где I- обменный интеграл, / 0 для антиферромагнитного упорядочивания в основном состоянии, j -компонента оператора спина в j-м узле, А-постоянная анизотропии. В основном состоянии ориентации спинов гамильтониана антипараллельна, поэтому согласно представлениям феноменологической теории (см. [2,20]) магнитная структура простейшего антиферромагнетика состоит из двух подрешеток, характеризующихся локальными плотностями магнитных моментов M1(r,t) и M2(r,t). При достаточно низких температурах в антиферромагнитном состоянии М12=М22=М02, где М0= const, т.е. результирующая намагниченность отсутствует. Для феноменологического описания нелинейных волн намагниченности а антиферромагнетиках в место полей M1(f,t)и M2(f,t)
Диссипативные солитоны уравнения классического антиферромагнетика Гейзенберга при наличии диссипации и внешней подкачки
В этом уравнении комплексная функция z определена на двумерной комплексной плоскости, на которую производится стереографическая проекция.
Нетрудно заметить, что полученная система уравнений является лоренц – инвариантной, то есть релятивисткой. Подобные модели, описывающие (изо)-векторные поля известны в теории поля начиная с работ Скирма А.Р. [81] и развиваются особенно бурно в последние годы в связи с предлагаемыми альтернативными непертурбативными моделями теории поля. Эти модели входят в класс так называемых нелинейных (изо)-векторных О(3) сигма-моделей теории поля.
Рассмотренную гейзенберговскую магнитную цепочку спина, взаимодействующая с атомными смещениями посредством модуляции обменного взаимодействия, с использованием SU(2) когерентного состояния. Мы получим непрерывный предел классического описания модели, который представляет собой систему спаренного уравнения Ландау – Лифщица и Буссинеска, описывающее нелинейные спиновые волны, сопровождаемые звуковыми волнами. Решение солитонного типа этой системы были получены приближениями гармонического фанонного когерентного состояния. Возможность накачки энергии из магнитной подсистемы в фанонной показано для случая скоростей близких к скорости звука движения солитона.
При учёте колебаний кристаллической решётки, то есть смещений узлов кристаллической решётки, вызванных как распространением акустических волн, так и распространением связанных с ними нелинейных волн антиферромагнетизма, необходимо учитывать смещения узлов кристаллической решетки в гамильтониане. При учёте смещения узлов кристаллической решетки система становится достаточно сложной, и представляет собой сумму спинового и фононного гамильтонианов номер узла кристаллической решетки, S- оператор спина, Р} и т -импульс и масса атома, р(у)- потенциал упругого взаимодействия между атомами кристаллической решетки. Отметим, что потенциал (р{у) может быть как линейным, так и учитывать ангармонические колебания узлов кристаллической решетки, которые могут иметь место при больших амплитудах их смещений от положений равновесия. Процедура, аналогичная описанной выше, приводит нас к системе спаренных уравнений классического антиферромагнетика Гейзенберга и Буссинеска:
Отметим, что в уравнении (1.3.19б) учтён ангармонизм колебаний кристаллической решётки. При отсутствии ангармонизма, то есть приа = 3 = 0, система (1.3.20) сведется к спаренной системе уравнений антиферромагнетика Гейзенберга и волнового уравнения.
Уравнение sin-Гордон. Одной из наиболее ранних моделей теории поля было линейное уравнение Клейна - Гордона
В 1958 г. Скирм предложил линейную теорию поля, которая для скалярного случая и для случая одномерного пространства сводится, грубо говоря, к 2 2 нелинейному обобщению лагранжевой плотности (1.3.22). Член — m ср заменяется его простым периодическим обобщением — m (1-cos p). Теперь уравнение поля приобретает вид (pxx-(ptt=m2sin(p. (1.3.23) Это уравнение стало в последствии известно под названием уравнения sin-Гордон. Оно является лоренц-инвариантным и поэтому используя граничные условия (р —» 0(mod2;r), после двух интегрирований получим:
Это решение было названо «кинк» (английское слово kink переводится как «петля» или «перегиб»), поскольку оно представляет перегиб по переменной (р, который происходит при переходе системы от одного решения при f = 0 к другому, соседнему решению при (р = 2ж. Состояния /9 = 0(mod2;r) известны как вакуумные состояния, поскольку они являются постоянными решениями нулевой энергии.
В 1962 г. Перринг и Скрим в результате численного эксперимента нашли аналитическое решение, представляющее собой лобовое столкновение двух кинков, движущихся навстречу друг другу с равными скоростями, -кинк, движущийся налево, назывался антикинком, поскольку имел противоположный изгиб.
Одним из важных свойств решения в виде кинка является то, что его энергия конечна. Это можно доказать, интегрируя плотность гамильтониана уравнения sin-Гордон Н = — щ +cpfJ+m2(\-cos(p) (1.3.26) по действительной оси. В результате получится 8ту, что доказывает ожидаемую релятивистскую форму для массы кинка. Постоянные решения (p = 7i(mod27i) нельзя рассматривать как вакуумные состояния, так как их энергия бесконечна.
Отметим, что уравнение sin-Гордон возникает в самых различных областях [80]. Особенно отметим исследования, проведенные шведским математиком Бэклундом в 1875 г. Он рассматривал задачу дифференциальной геометрии, связанную с теорией поверхностей постоянной отрицательной кривизны и показал, как можно строить иерархии решений, каждое из которых конструируется из предыдущих [54]. Используемые при этом преобразования были названы преобразованиями Бэклунда, и они играют важнейшую роль в развитии теории и по сей день.
Отметим также, что уравнение sin-Гордон обладает солитонными решениями типа белл- и кинк-солитонов (см., например, [8]) , а также очень интересными решениями типа бризерных или бионных решений, обладающих динамикой внутренней степени свободы.
Математическое моделирование формирования двумерных диссипативных топологических солитонов в моделях антиферромагнетизма
Интеграл энергии солитона показывает при временах t=0:35, идет формирование бризера, т.е. происходит сброс излишка энергии за счёт излучения линейных малоамплитудных волн. На отрезке времени t=35:140, идёт процесс поглощения возмущения, т.е. сброшенного излишка энергии при формировании солитона, поскольку малоамплитудные волны достигают область поглощения и к моменту времени t=140 происходит практически полное поглощение. На отрезке времени t=140:200 мы наблюдаем уже сформировавшееся новое бризерное решение, обладающее вращением в изопространстве. Проведенный Фурье-анализ полученного решения показывает, что в системе имеется две частоты, очевидно, что к собственной бризерной динамике добавилась также и частота вращения в изопространстве вектора антиферромагнетизма.
Следующим этапом численного моделирование является использование данного решения для проведения исследования при наличии диссипации и подкачки.
Численные эксперименты проводились при области изменения параметров диссипации и подкачки. Параметры подкачки выбирались в интервале та = 0.1 до та = 1.2 с шагом 0.05 и /2=0.1 до /2=1.2 с шагом 0.05. Также выбирались параметры поглощения, т.е. затухания на границах, у2 є [-0.1,-0.7] с шагом 0.1. и диссипация по всей области интегрирования уі є [-0.0001,-0.001] с шагом 0.0001. Формирование устойчивого слабозатухающего диссипативного солитона наблюдалось при следующих параметрах подкачки та = 1, h =1, затухания, у 1=-0.0005, 2=-0.5 и скорости вращения ш = 0.3 . Рис 2.17 Зависимость полной энергии солитона от времени. (ш = л, h =\, у 1=-0.0005, 2=-0.5, ш = 0.3, t=0 400)
Таким образом, проведенные вычислительные эксперименты показывают, что при наличии внешней подкачки в диссипативной среде классического антиферромагнетика Гейзенберга возможно формирование диссипативных солитонов (бризеров). Характерное отличие диссипативного солитона заключается в том, что наличие диссипации в открытой системе ведет к локальной расходимости фазовых траекторий, т.е. свидетельствует о неустойчивости системы. Вместе с тем, фазовые траектории диссипативного солитона оказываются достаточно хорошо локализованными в некоторой органиченной области фазового пространства, что свидетельствует об эволюции системы вблизи так называемого «странного аттрактора» и глобальной устойчивости ситемы. Таким образом, полученные нами в численных экспериментах диссипативные солитоны оказываются долгоживущими объектами. Следует отметить, фурье-анализ динамики сформировавшегося диссипативного солитона при наличии одной несущей частоты внешней подкачки показывает, что дополнительные частоты бризерной динамики не появляются.
В работе [73] при исследовании солитонов нелинейного уравнения Шредингера при наличии подкачки на кратных частотах наблюдалось формирование долгоживущего диссипативного солитона и были выявлены бифуркации. В данном параграфе, следуя работе [73], были выбраны возмущения в уравнении (2.2.1) с кратными частотами внешней подкачки:
При проведении серии вычислительных экспериментов формирования диссипативного солитона наблюдался при следующих параметрах подкачки тп = 0.8, h =0.8 и затухания, у 1=-0.0005, 2=-0.3. При этом подкачка полностью компенсировала затухание и колебания полной энергии бризера варьировали в диапазоне от 4.1 до 3 в интервале времени до 400 единиц. (см. рис. 2.21). Результаты численных экспериментов приведены на рисунках 2.21-2.24. Рис 2.21. Зависимость полной энергии бризера от времени. (та = 0.8, h =0.8, у 1=-0.0005, у2=-0.3, ш = 0.3, t=0-e- 400).
Анализ фазового портрета (см. рис. 2.23), то есть зависимость плотности энергии солитона в центре от ее полной энергии показывает, что фазовые траектории плотно заполняют конечную область пространства, - так называемый «странный аттрактор», что является указанием на формирование диссипативного солитона [2]. Фурье анализ (см. рис. 2.24) демонстрирует наличии трёх основных гармоник динамике бризерного решения уравнения (2.1.4), т.е. в отличие от подкачки на одной несущей частоте, подкачка на кратных частотах приводит к появлению дополнительных гармоник в динамике бризеров уравнения классического антиферромагнетика Гейзенберга.
В данной главе разработана методика и алгоритм проведения численных экспериментов для нахождения решения задачи Коши и проведения экспериментов для уравнения антиферромагнетика Гейзенберга. Для проведения численных экспериментов разработана методика, схема вычислений заключающийся в использовании стереографической проекции на двух картах т.е. при котором верхняя полусфера блоховской сферы проецируется на верхнюю комплексную полуплоскость, а нижняя – на нижнюю комплексную полуплоскость, при этом по экватору проводится сшивка. Данная методика численного моделирования проявила свою эффективность, и при проведении вычислительных экспериментов удалось получить новые бризерные решения введением специальным образом подобранного возмущения, на основе бризерных решений синус-уравнения Гордон учитывающих вращение в изопространстве вектора антиферромагнетизма. Вторая задача заключалась в изучении динамики солитонов типа бризеров классического антиферромагнетика Гейзенберга в диссипативных средах и при наличии внешней подкачки. Эти эксперименты были проведены как с одной частотой внешней подкачки, так и с наличия кратных частот внешней подкачки.
Формирования когерентной структуры в комплексном уравнении Гинзбурга-Ландау
Проведенные численные экспериментов по моделированию комплексного уравнения Гинзбурга – Ландау при наличии диссипации и подкачки. Анализ фазового портрета указывает на локализацию фазовых траекторий, в ограниченной области пространства, устойчивость системы и формирование странного аттрактора. Таким образом, проведенные численные эксперименты указывают на формирование устойчивого диссипативного солитона в математической модели комплексного уравнения Гинзбурга-Ландау при наличии диссипации и подкачки.
В данной работе проводится обзор квантовых спиновых моделей магнетизма и обсуждается их связь с классическими нелинейными моделями теории поля. Дан обзор техники обобщенных когерентных состояний, который называют связь квантовые спиновые моделей к классическим теоретико-полевым моделям (т.е. эволюционными уравнениями математической физики) и служит эффективным инструментом математического моделирования нелинейных процессов в теории конденсированных сред. Показана эффективность техники обобщенных когерентных состояний КС в приложении к спиновым моделям теории конденсированных сред. В частности показано, что техника ОКС позволяет получить уравнение Ландау – Лифшица при наличии различных видов анизотропии, магнитоупругих и других видов взаимодействий.
В случае двух подрешеточного антиферромагнетика Гейзенберга техника ОКС группы SU(2) позволило получить известное уравнение классического антиферромагнетика Гейзенберга. В меридианном сечении это уравнение сводится к известному синус-уравнению Гордона. При учёте магнитоупругих взаимодействий получена система уравнений классического антиферромагнетика Гейзенберга и Буссинеска. Обсуждается динамика солитонных решений в диссипативных средах при наличии подкачки за счет внешних полей.
Разработана методика и алгоритм проведения численных экспериментов для нахождения решения задачи Коши и проведения экспериментов для уравнения антиферромагнетика Гейзенберга. Для проведения численных экспериментов разработана методика, схема вычислений заключающийся в использовании стереографической проекции на двух картах т.е. при котором верхняя полусфера блоховской сферы проецируется на верхнюю комплексную полуплоскость, а нижняя – на нижнюю комплексную полуплоскость, при этом по экватору проводится сшивка. Данная методика численного моделирования проявила свою эффективность, и при проведении вычислительных экспериментов удалось получить новые бризерные решения введением специальным образом подобранного возмущения, на основе бризерных решений синус-уравнения Гордон учитывающих вращение в изопространстве вектора антиферромагнетизма. Вторая задача заключалась в изучении динамики солитонов типа бризеров классического антиферромагнетика Гейзенберга в диссипативных средах и при наличии внешней подкачки. Эти эксперименты были проведены как с одной частотой внешней подкачки, так и с наличия кратных частот внешней подкачки. Было показано, что энергия полученного солитона выходит на постоянное значение, и хотя в линейном приближении, ляпуновский анализ системы указывает на неустойчивость системы, т.е. локальное расхождение фазовых траекторий, однако локализация фазовых траекторий в ограниченной области фазового пространства свидетельствует о появлении т.н. странного аттрактора и формировании устойчивого долгоживущего диссипативного солитона. Введение подкачки на кратных частотах приводит к большей локализации диссипативного солитона и появлению дополнительной частоты динамики диссипативного бризера.
Проведенные численные экспериментов по моделированию двумерных топологических солитонов при наличии в системе диссипации и подкачки показывают, что значение полной энергии стремится к некоторому асимптотическому значению при наличии колебаний, около среднего значения. Линейный анализ системы, вследствие наличия диссипации, указывает на наличие положительных ляпуновских показателей, т.е. локальную неустойчивость системы. В то же время, анализ фазового портрета указывает на локализацию фазовых траекторий, в ограниченной области пространства, т.е. глобальную устойчивость системы и формирование т.н. странного аттрактора. Таким образом, проведенные численные эксперименты дают указание на то, что происходит формирования устойчивого динамического локализованного решения при наличии диссипации и подкачки, т.е. так называемого странного аттрактора в фазовом пространстве системы.
Похожие диссертации на Локализованные когерентные структуры в нелинейных диссипативных системах
