Содержание к диссертации
Введение
1 Влияние межузельных кулоновских корреляций на электронную структуру и сверхпроводящие свойства слабо допированных мотт-хаббардовских систем 19
1.1 Проблема описания межузельных кулоновских взаимодействий 19
1.2 Зона флуктуационных состояний в модели Шубина – Вонсовского
1.2.1 Расщепление энергетической структуры мотт-хаббардовских систем при сильных электронных корреляциях 27
1.2.2 Гамильтониан t - V -модели в атомном представлении 29
1.2.3 Параметр малости и принцип отбора диаграмм 32
1.2.4 Влияние индуцирования зоны флуктуационных состояний на энергетическую структуру 36
1.2.5 Влияние межузельных кулоновских корреляций на период магнитных осцилляций в эффекте де Гааза – ван Альфена 42
1.2.6 Устойчивость эффекта зоны флуктуационных состояний по отношению к учету процессов рассеяния 1.3 Эффект зоны флуктуационных состояний в развитии куперовской неустойчивости в модели Шубина – Вонсовского 50
1.4 Устойчивость и универсальность эффекта индуцирования зон флуктуа-ционных состояний
1.5 Резюме 62
Зависимость обменного интеграла спиновых моментов ионов меди от допирования в купратах при учете межузельного кулоновского взаимодействия 64
2.1 Электронные модели для купратных сверхпроводников 64
2.1.1 Структура и фазовая диаграмма купратов 64
2.1.2 Теоретические модели для купратов 68
2.1.3 Трехзонная p - d–модель 70
2.1.4 Эффективные низкоэнергетические модели 74
2.2 Эффективный гамильтониан модели Эмери и зависимость обменного интеграла от допирования при учете межузельных кулоновских взаимодей ствий 77
2.2.1 Экспериментальное измерение и проблема вычисления константы обменного взаимодействия между спиновыми моментами ионов меди 77
2.2.2 Гамильтониан модели Эмери в атомном представлении 80
2.2.3 Вклады второго порядка теории возмущений в эффективном гамильтониане модели Эмери 82
2.2.4 Вклады четвертого порядка теории возмущений в эффективном гамильтониане модели Эмери 86
2.2.5 Зависимость обменного интеграла спиновых моментов ионов меди от допирования 92
2.3 Резюме 95
3 Роль межузельных кулоновских взаимодействий квазичастиц в куп ратахвконцепции спинового полярона 97
3.1 Концепция спинового полярона в теории высокотемпературной сверхпроводимости 97
3.2 Куперовское спаривание спиновых поляронов на 2D решетке Кондо
3.2.1 Гамильтониан 2D решетки Кондо 102
3.2.2 Эффективный гамильтониан для решетки Кондо 104
3.2.3 Структура спиновых поляронов 106
3.2.4 Сверхпроводимость спиновых поляронов при учете синглетных состояний 108
3.2.5 Роль триплетных состояний в формировании энергетического спектра и сверхпроводящих свойств спин – поляронных квазичастиц 112
3.3 Устойчивость сверхпроводящей dx2-y2-фазы купратов по отношению к учету кулоновского отталкивания дырок на соседних ионах кислорода 117
3.3.1 Проблема учета межузельного кулоновского взаимодействия дырок в купратах 117
3.3.2 Спин – фермионная модель CuO2–плоскости 118
3.3.3 Уравнения движения для нормальных и аномальных функций Грина 120
3.3.4 Система уравнений для сверхпроводящих параметров порядка 125
3.3.5 Устойчивость сверхпроводящего dx2-y2-спаривания при учете меж-узельного кулоновского отталкивания дырок 126
3.4 Резюме 129
4 Влияние межузельных кулоновских взаимодействий на механизм ку перовской неустойчивости Кона – Латтинжера в модели Шубина – Вонсовского 131
4.1 Аномальная сверхпроводимость в фермионных системах с отталкиванием131
4.1.1 Системы с нефононной природой куперовского спаривания 131
4.1.2 Сверхпроводимость в модели ферми-газа с отталкиванием 135
4.1.3 Сверхпроводимость Кона – Латтинжера в 3D и 2D модели Хаб-барда с отталкиванием 140
4.1.4 Роль межузельного кулоновского взаимодействия в механизме сверхпроводимости Кона – Латтинжера 146
4.2 Механизм Кона – Латтинжера и фазовая диаграмма сверхпроводящего состояния в модели Шубина – Вонсовского 150
4.2.1 Теоретическая модель 150
Оглавление
4.2.2 Эффективное взаимодействие электронов в куперовском канале 152
4.2.3 Уравнение Бете – Салпетера 153
4.2.4 Методика численного расчета 156
4.2.5 Фазовая диаграмма сверхпроводящего состояния Кона – Латтин-жера в модели Шубина – Вонсовского при учете вкладов первого порядка по V 158
4.2.6 Фазовая диаграмма сверхпроводящего состояния Кона – Латтин-жера в модели Шубина – Вонсовского при учете вкладов второго порядка по V 159
4.3 Резюме 169
5 Дальние кулоновские взаимодействия в проблеме сверхпроводимости Кона – Латтинжера в идеализированном графене 171
5.1 Проблема сверхпроводящего спаривания в графене 171
5.1.1 Монослой графена 171
5.1.2 Бислой графена 180
5.2 Сверхпроводимость Кона – Латтинжера в идеализированном монослое графена 183
5.2.1 Модель монослоя графена 183
5.2.2 Эффективное взаимодействие и уравнение для сверхпроводящего параметра порядка 185
5.2.3 Фазовая диаграмма сверхпроводящего состояния Кона – Латтин-жера для идеализированного монослоя графена 187
5.3 Усиление сверхпроводимости Кона – Латтинжера в идеализированном бислое графена 191
5.3.1 Модель бислоя графена 191
5.3.2 Эффективное взаимодействие дираковских фермионов в бислое графена 193
5.3.3 Фазовая диаграмма сверхпроводящего состояния Кона – Латтин-жера для бислоя графена 196
Оглавление 6
5.4 Проблема сверхпроводимости Кона – Латтинжера в реальном графене 199
5.5 Резюме 201
Заключение 203
Благодарности 206
Литература 2
- Расщепление энергетической структуры мотт-хаббардовских систем при сильных электронных корреляциях
- Эффективный гамильтониан модели Эмери и зависимость обменного интеграла от допирования при учете межузельных кулоновских взаимодей ствий
- Эффективный гамильтониан для решетки Кондо
- Фазовая диаграмма сверхпроводящего состояния Кона – Латтин-жера в модели Шубина – Вонсовского при учете вкладов первого порядка по V
Введение к работе
Актуальность темы.
На сегодняшний день интенсивные экспериментальные и теоретические исследования свойств высокотемпературных сверхпроводников, тяжелофермионных интерметал-лидов, оксидов переходных металлов, органических соединений, и манганитов выявили ряд нетривиальных особенностей их электронной структуры. Одна из этих особенностей связана с тем, что в ряде соединений имеет место низкая концентрация носителей заряда, и во многих случаях рассматриваемые материалы относятся к классу слабо допи-рованных мотт – хаббардовских систем. В отличие от обычных металлов, в отмеченных системах из-за низкой плотности носителей тока экранировка заряда является слабой, и энергия кулоновского взаимодействия электронов, находящихся на соседних узлах решетки, может лишь незначительно отличаться от энергии внутриатомного отталкивания или вообще быть соизмеримой с нею. В результате кулоновское взаимодействие электронов, находящихся на различных узлах решетки, становится важным источником сильных электронных корреляций, которое обуславливает ряд нетривиальных эффектов, а значит требует корректного описания.
Несмотря на то, что исследование влияния межузельных кулоновских взаимодействий на электронные свойства различных систем началось практически сразу после создания квантовой механики, на сегодняшний день имеется широкий круг нерешенных в этом направлении задач. В первую очередь это обусловлено тем, что магистральное направление развития физики конденсированного состояния связывалось в основном с изучением эффектов сильного внутриатомного взаимодействия электронов. Кроме того, это связано со сложностью теоретического описания межузельного кулоновского взаимодействия, а также с появлением новых физических систем, обладающих специфическими свойствами.
Целью работы является исследование влияния межузельных взаимодействий ку-лоновского типа, а также эффективных дальнодействующих взаимодействий на энергетическую структуру нормальной фазы и механизмы куперовской неустойчивости сильно коррелированных электронных систем и графена.
Научная новизна и практическая значимость. Развитые в диссертации теоретические методы служат основой для дальнейшего развития теории сильно коррелированных электронных систем, а также позволяют решать широкий круг задач о влиянии эффектов полного (включающего дальнодействующую часть) кулоновского взаимодействия на свойства нормального и сверхпроводящего состояний отмеченных систем.
В частности, методика учета межузельных кулоновских корреляций в модели Шубина – Вонсовского может быть использована и в других теоретических моделях, применяющихся для описания физических свойств широкого класса материалов: высокотемпературных сверхпроводников, тяжелофермионных соединений, систем с переменной ва-3
лентностью и др. Механизм индуцирования сверхпроводящей фазы за счет межузельных кулоновских взаимодействий при учете поляризационных вкладов Кона – Латтинжера, выявленный в рамках модели Шубина – Вонсовского, будет особо актуален при исследовании условий реализации сверхпроводимости в ферропниктидах и кобальтитах. Практическая значимость работы заключается в демонстрации того, что учет реальной структуры CuO2-плоскости высокотемпературных сверхпроводников, характеризующейся наличием двух ионов кислорода в элементарной ячейке, а также сильной спин-зарядовой связи между подсистемами дырок на ионах меди и кислорода, приводит к устойчивости сверхпроводящей фазы с dx2-y2-типом симметрии параметра порядка по отношению к учету кулоновского отталкивания дырок, находящихся на соседних ионах кислорода. Данный эффект дает ответ на давно стоявший вопрос о том, почему, несмотря на сильное куло-новское отталкивание дырок, находящихся на соседних ионах кислорода, в купратных сверхпроводниках реализуется dx2-y2-спаривание.
На защиту выносятся следующие положения:
-
Индуцирование сильными межузельными корреляциями в энергетической структуре модели Шубина – Вонсовского отщепленной зоны, спектральная интенсивность которой пропорциональна среднеквадратичной флуктуации заряда и нарастает с увеличением уровня допирования.
-
Флуктуационная зона проявляется посредством неоднородной по концентрации электронов ренормировки критической температуры перехода в сверхпроводящее состояние в модели Шубина – Вонсовского.
-
Зависимость обменного интеграла между спиновыми моментами ионов меди от допирования в купратных сверхпроводниках, вычисленная при учете межузельных кулоновских взаимодействий.
-
Реализация куперовской неустойчивости с dx2-y2-типом симметрии параметра порядка в ансамбле спин – поляронных квазичастиц, возникающем в двумерной решетке Кондо в режиме сильных электронных корреляций.
-
Устойчивость сверхпроводящей dx2-y2-фазы купратных сверхпроводников относительно кулоновского отталкивания дырок, находящихся на соседних ионах кислорода.
-
Фазовая диаграмма сверхпроводящего состояния, вычисленная в модели Шубина – Вонсовского в рамках механизма Кона – Латтинжера на квадратной решетке.
-
Механизм индуцирования сверхпроводящей фазы за счет межузельных кулонов-ских взаимодействий при учете поляризационных вкладов Кона – Латтинжера во втором порядке теории возмущений по кулоновскому взаимодействию.
-
Сильное влияние межузельных кулоновских взаимодействий на конкуренцию сверхпроводящих фаз Кона - Латтинжера с различными типами симметрии параметра порядка на гексагональной решетке идеализированного монослоя допированного графена.
-
Усиление поляризационных вкладов Кона - Латтинжера в куперовском канале и увеличение критической температуры за счет межслойных взаимодействий в идеализированном бислое графена.
Достоверность полученных результатов определяется корректностью использования математического аппарата, контролируемостью применяемых приближений, их апробированностью при исследованиях других авторов, а также правильностью предельных переходов к известным результатам.
Апробация работы. Результаты диссертационных исследований докладывались на 32-ой, 33-ой и 35-ой Международных зимних школах физиков-теоретиков «Коуровка-2008», «Коуровка-2010» и «Коуровка-2016» (Новоуральск, Россия, 2008, 2010; Верхняя Сысерть, 2016), International Conference on Magnetism «ICM-2009» (Карлсруэ, Германия, 2009), 10-ом международном симпозиуме «Порядок, беспорядок и свойства оксидов» ODPO-10 (Лоо, Россия, 2007), 34-ом, 36-ом и 37-ом совещаниях по физике низких температур «НТ-34», «НТ-36» и «НТ-37» (п. Лоо, Россия, 2006; Санкт-Петербург, 2012; Казань, 2015), 2-ой, 3-ей и 4-ой Международных конференциях «Фундаментальные проблемы сверхпроводимости» ФПС-06, ФПС-08, ФПС-11 и ФПС-15 (Звенигород, 2006, 2008, 2011; Малаховка, 2015), научной сессии НИЯУ МИФИ-2010 (Москва, 2010), международном симпозиуме «Нанофизика и наноэлектроника - 2011» (Нижний Новгород, 2011), 14-й Конференции «Сильно коррелированные электронные системы и квантовые критические явления» (Троицк, 2016), VI Euro-Asian Symposium «Trends in Magnetism» EASTMAG-2016 (Красноярск, 2016), Workshop on Principles and Design of Strongly Correlated Electronic Systems (Триест, Италия, 2010), Workshops «Korrelationstage» KORREL11 и KORREL13 (Дрезден, Германия, 2011, 2013), Strongly Correlated Electron Systems SCES-11 и SCES-13 (Кембридж, Великобритания, 2011; Токио, Япония, 2013), The European Conference «Physics on Magnetism 2014» PM’14 (Познань, Польша, 2014), NORDITA Scientific Program «Physics of Interfaces and Layered Structures» PILS-2015 (Стокгольм, Швеция, 2015). Представленные результаты докладывались на Заседании секции «Магнетизм» Научного совета РАН по физике конденсированных сред в Институте физических проблем им. П. Л. Капицы РАН (Москва, 2007), Сибирском семинаре по высокотемпературной сверхпроводимости ОКНО (Омск, 2008), конференциях «Молодые ученые России» Фонда «Династия» (Москва, 2009, 2013, 2014, 2015), конференциях молодых ученых КНЦ СО РАН (Красноярск, 2007, 2008, 2013), а также научных семинарах и ученых советах Института физики им. Л. В. Киренского СО РАН, Института физических проблем им. П. Л. Капицы РАН и Института физики высоких давлений им. Л. Ф. Верещагина РАН.
Личный вклад. Автор принимал активное участие в обсуждении и постановке задач, проводил все аналитические и численные расчеты, обсуждал полученные результаты, занимался подготовкой статей, обзоров и тезисов, докладывал и обсуждал результаты работы на научных конференциях.
Публикации. Основные результаты диссертационных исследований опубликованы в 22 научных статьях из перечня ВАК, список которых приведен в конце автореферата.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы, изложена на 243 страницах, включает 61 рисунок и 3 таблицы. Список цитируемой литературы содержит 410 наименований.
Расщепление энергетической структуры мотт-хаббардовских систем при сильных электронных корреляциях
Обычные фермиевские операторы для модели Хаббарда могут быть записаны в представлении Х-операторов посредством (1.12) следующим образом: afa = Xfa + r](a)Xp, (1.13) где о = —а, г](а) = ±1 при а = ±1/2, соответственно. Отсюда видно одно из преимуществ использования операторов Хаббарда, которое заключается в том, что расщепление ферми-оператора на два Х-оператора соответствует расщеплению зоны свободных электронов на две хаббардовские подзоны [37].
Для демонстрации эффекта расщепления энергетических зон фермиевских состояний за счет межузельных кулоновских корреляций в наиболее наглядном виде рассмотрим модель Шубина - Вонсовского в режиме сильных электронных корреляций (U = оо). В этом случае электронные свойства модели определяются нижней хаббар-довской подзоной. Принимая во внимание аргументы работ [55,67], учтем кулоновское взаимодействие между электронами, находящимися на соседних узлах. Полученная система в атомном представлении будет описываться гамильтонианом так называемой t — V—модели Н = J2 0 fl)X + J2 tfmXfX% + Y1 UfUf+S- (1.14) fa fma fS
Здесь первое слагаемое отражает ансамбль невзаимодействующих фермионов Хаббарда в представлении Ванье. Появление на узле / фермиона с проекцией спина о увеличивает энергию системы на величину Єо, /і - химический потенциал системы, Xv? - операторы Хаббарда (1.7), описывающие процесс перехода иона / из одноузельного состояния \q) в состояние \р). Вектор 8 связывает ближайшие узлы решетки. Оператор числа хаббардовских фермионов для узла / определяется выражением ftf = } XZCт.
В дальнейшем ограничимся рассмотрением случая, когда число дырок h = — (Х) / в системе мало, то есть выполняется неравенство
В этом режиме целесообразно выделить в явном виде эффекты среднего поля, обусловленные межузельными кулоновскими взаимодействиями. Используя условие полноты диагональных Х-операторов в усеченном гильбертовом пространстве, не содержащем двоечных состояний (Х9 + XV + Xf = 1), гамильтониан (1.14) можно представить в виде Н = -Е0 + J2( zVh V)X7 + YllimXfX + fa fma +-y"v(x0f0-h)(x0f,s-h), (1.16) fs где величина EQ = 2NV(1 — h)2 в приближении среднего поля определяет энергию кулоновского взаимодействия системы, содержащей h дырок в расчете на один узел. При h = 0 величина Е0 равна точному значению энергии основного состояния системы (без учета во), поскольку в этом случае вклад перескоков отсутствует. Ренормирован-ное значение одноэлектронного уровня є = Єо + zV определяется тем, что в условиях нахождения на z соседних узлах по одному электрону энергия возбуждения увеличивается на zV. Сдвиг энергии є — zhV связан с уменьшением энергии кулоновского отталкивания, если в системе среднее число дырок отлично от нуля. Заметим, что такие среднеполевые ренормировки одноузельных энергий электронов использовались ранее, например, в модели Фаликова - Кимбалла [74] при исследовании переходов с изменением валентности [75]. Смысл выделения очевидных эффектов среднего поля заключается в том, чтобы представить межузельное кулоновское взаимодействие в виде, содержащем только корреляционные эффекты. Видно, что вклад последнего слагаемого гамильтониана (1.16) будет иметь место только при наличии заметных флуктуаций заряда, то есть при относительно сильных межузельных кулоновских корреляциях.
Для описания энергетической структуры рассматриваемой системы сильно коррелированных фермионов введем мацубаровскую функцию Грина [56,57]
Рассмотрим ситуацию, в которой параметр перескока мал по сравнению с энергией кулоновского отталкивания электронов, находящихся на соседних узлах решетки, т. е. t1 . V. В этом случае первостепенное значение приобретает учет корреляционных эффектов, обусловленных межузельным кулоновским взаимодействием.
Одна из основных особенностей ДТХ связана с наличием концевых диаграмм [56, 57,76,77]. Их полная совокупность называется концевым множителем или силовым оператором P(k,iu)m). Последний термин был предложен в работе [78] при анализе особенностей диаграммной техники для спиновых операторов. Из анализа диаграммного ряда для фурье-образа функции Грина следует, что точное представление, связывающее 0 т,0 т(к, ium) с массовым и силовым операторами, может быть записано в виде [47,77]
Для модели Хаббарда в предельном режиме сильных корреляций и концентрации электронов п 1 переход к атомному представлению приводит к тому, что в роли оператора взаимодействия выступает только оператор перескоков для нижней хаббар-довской подзоны. При этом массовый оператор всегда содержит параметр перескока.
Иная ситуация реализуется в модели Шубина - Вонсовского. Здесь оператор возмущения складывается из оператора кинетической энергии и оператора, описывающего межузельное взаимодействие. Соответственно этому происходит усложнение структуры массового оператора и функции Грина.
Прежде всего рассмотрим модификацию одноузельного пропагатора, обусловленного межузельными кулоновскими корреляциями. Графики для массового и силового операторов в этом случае формируются из простых линий для одноузельных функций Грина и волнистых линий, отражающих межузельные взаимодействия. Примеры диаграмм, возникающих в режиме V \t1\, показаны на рис. 1.3. На этих диаграммах посредством овалов, содержащих внутри себя два, три и т. д. маленьких кружка, обозначены кумулянты второго К2, третьего К3 и т. д. порядков, соответственно. Ку
Эффективный гамильтониан модели Эмери и зависимость обменного интеграла от допирования при учете межузельных кулоновских взаимодей ствий
В 2D случае возникает система из четырех уравнений. Как известно, массовый оператор выражается через амплитуду рассеяния вперед Г(р,к\р,к). При использовании полной амплитуды рассеяния промежуточное суммирование по мацубаровским частотам провести в явном виде не удается, а применение численных методов требует большого времени (если учесть, что необходимо проводить интегрирование по квазиимпульсу k, а при нахождении плотности состояний еще и по квазиимпульсу p).
Выход из этой ситуации видится в применении подходящего приближения. Для обоснования используемого ниже приближения будем апеллировать к точному решению для амплитуды рассеяния. Численное решение системы (1.38) после подстановки в (1.37) позволяет провести сравнение квазиимпульсной зависимости лестничной амплитуды рассеяния вперед Г(р, к\р, к) при различных значениях мацубаровских частот с соответствующими зависимостями, полученными на основе приближенного решения для этой величины. В качестве такого приближения ниже будет использоваться бор-новское приближение. Амплитуда рассеяния вперед в борновском приближении далее будет обозначаться посредством Г(2)(р, к\р, к). реальной и мнимой частей выражений для величин Г и Г(2). При расчетах принималось, что V = 1.5, п = 0.8. Графическое представление для этих величин имеет вид, изображенный на рис. 1.12. Как видно, борновское приближение для величины Г (без учета неоднородной части интегрального уравнения (1.35)) получается посредством подстановки вместо правого заштрихованного квадрата (полной амплитуды) затравочной амплитуды рассеяния. Из рис. 1.11 следует, что борновское приближение не только качественно, но и количественно воспроизводит особенности квазиимпульсной зависимости амплитуды рассеяния вперед. Аналогичная ситуация имеет место и при других значениях параметров системы.
Приведенное сравнение показывает, что для учета главных эффектов, связанных с рассеянием за счет кинематического и кулоновского взаимодействий можно использовать борновское приближение. В этом случае в выражении для Ед суммирование по промежуточной мацубаровской частоте ит можно провести в явном виде. При получении окончательной формулы, в которое входят только фермиевские функции применялась методика, развитая в работе [80]. В результате получаем
Используя полученное выражение для массового оператора после аналитического продолжения нетрудно вычислить плотность электронных состояний. На рис. 1.13 показаны результаты расчета для полной плотности состояний (сплошная линия) при тех же значениях параметров, что и на рис. 1.11. Для выяснения относительного вклада Ед(р,гсі7га) на этом же рисунке посредством штриховой линии для того же набора параметров приведена плотность состояний, полученная в одноовальном приближении, то есть когда Т.(р,іип) = T.v(iojn). Из сравнения представленных зависимостей
Плотность электронных состояний t-V -модели, рассчитанная на основе полного массового оператора (сплошная линия) и на основе массового оператора в одноовальном приближении (штриховая линия). видно следующее. Во-первых, выход за рамки одноовального приближения приводит к небольшому смещению по энергии плотности состояний. Верхняя зона испытывает изменения вблизи потолка. Во-вторых, происходит уширение нижней зоны (ЗФС). В-третьих, возникновение мнимой части массового оператора приводит к частичному замыванию щели между ЗФС и основной зоной. Вместе с тем, следует подчеркнуть, что главная особенность, связанная с формированием отщепленной ЗФС сохраняется и описывается, в основном, массовым оператором, полученным в одноовальном приближении.
Эффект перераспределения спектральной интенсивности между основной зоной и ЗФС нарастает по мере увеличения уровня допирования, а следовательно оказывает влияние на концентрационную зависимость критической температуры перехода в сверхпроводящее состояние. Исследование этого вопроса проведем в рамках метода, развитого в работе [67].
Поведение критической температуры перехода в сверхпроводящее состояние при изменении параметров модели (например, концентрации электронов) может быть изучено на основе анализа полюса амплитуды рассеяния в куперовском канале. В графическом виде эта амплитуда Г(р, —р\к, — к) = А(р\к) удовлетворяет лестничному уравнению, изображенному на рис. 1.14, где светлый квадрат соответствует затравочной амплитуде рассеяния Т0(р,-р\к,-к) = А0(р\к). Здесь принято, что р = (p,гип),к = (k,іит).
Для анализа модификации концентрационной зависимости критической температуры, связанной с возникновением ЗФС при возрастании допирования, ограничимся решением задачи без учета рассеяния на спиновых флуктуациях. В этом случае затравочная амплитуда отражает хорошо известные процессы [67] и имеет графическое представление, показанное на рис. 1.15. В аналитической записи эта амплитуда определяется выражением А0(рк) = Vp.k - 2tk. (1.42)
После сопоставления диаграммам рис. 1.14 аналитических выражений и учета независимости затравочной амплитуды рассеяния от мацубаровской частоты для А(рк) получаем интегральное уравнение A(pk) = Vp.k - 2tk - J J](Vq - 2tq)L(q)A(qk), (1.43) q в котором, как и в работе [79], L(q) =TJ2 С(Ч гил)С(-ц, -гол). (1.44) Конкретный вид решения интегрального уравнения для А(рк) зависит как от структуры затравочной амплитуды A0(pfc) (имеется в виду характер зависимостей от квазиимпульсов и от мацубаровских частот), так и от входящих в это уравнение функций Грина G(q, гщ) и G(-q, -гол). В случае, когда эти функции рассматривались без учета эффектов, обусловленных формированием ЗФС, решения для однородной части интегрального уравнения для амплитуды рассеяния были подробно исследованы в работе [67].
Эффективный гамильтониан для решетки Кондо
Теория [166,167], описывающая 2–M RS для решетки с бесконечной антиферромагнитной корреляционной длиной AF, предсказывает пик с рамановской частотой и вблизи 2.7 - 2.8J для однослойной 2D решетки с симметрией C4v [168, 169]. Таким образом, константа обменного взаимодействия J может быть определена напрямую из позиции, интенсивности и формы пика рамановского спектра, и фактически данные по 2–M RS позволили оценить J для различных купратных сверхпроводников [162,164,170-175].
На рис. 2.4 представлены спектры 2–M RS, полученные в работе [105] для образцов сверхпроводника BiSrCaCuOgi с различным уровнем дырочного допирования. Спектр антиферромагнитного диэлектрика (красная кривая на рисунке, Y-doped Bi-2212 crystal) имеет пик при и 2860 cm"1. Этот пик объясняется двухмагнонным рассеянием, индуцированным фотоном сверхобменом двух спинов на ближайших ионах меди через ион кислорода. Таким образом, для антиферромагнитных диэлектриков позиция 2–M RS пика, согласно [105], приводит к оценке J = J0 к, 0.125 eV.
При допировании двухмагнонный рамановский пик расширяется, теряет интенсивность и сдвигается в область более низких частот и 1400 cm"1 (рис. 2.4, синяя кривая). Это может объясняться тем обстоятельством, что попадающие в систему дырки формируют синглеты Жанга - Райса [133], которые экранируют эффективный спиновый момент на ионе меди и приводят к понижению сверхобменной энергии, если в его ближайшей окрестности находятся дырки.
Теоретически, связь обменного интеграла J с исходными параметрами модели Эмери для купратных сверхпроводников изучалась в работах [176-179] на основе модифицированного метода канонического преобразования [180]. Наиболее просто значение J вычисляется для недопированного случая [126,176,181]. Допирование купратов стронцием приводит к уменьшению полного числа электронов в CuOг-плоскостях, и часть ионов кислорода переходит в одновалентное состояние с недостроенной р-оболочкой. В результате для формирования сверхобмена открываются новые каналы виртуальных переходов, приводящие к добавочным слагаемым в суммарном выражении для обменного интеграла. Очевидно, что вклад таких слагаемых будет зависеть от концентрации дырок в системе.
Более существенным фактором, усложняющим процедуру вычисления обменной константы, является межузельное кулоновское взаимодействие. При учете медь - кислородных кулоновских корреляций происходит снятие вырождения по энергии между различными виртуально возбуждаемыми при переходах электронными конфигурациями ионов кислорода, окружающих пару обменно связанных ионов меди [178,179]. В результате, для каждого процесса, приводящего к обменной связи, возникает, вообще говоря, свое значение обменного интеграла. Поскольку возможность реализации процессов обмена непосредственно связана с конкретной электронной конфигурацией ионов кислорода, входящих в окружение данной пары ионов меди, то после усреднения по всем допустимым реализациям электронных конфигураций (при заданном уровне допирования) возникает зависимость парциальных обменных интегралов от концентрации дырок в системе. В итоге, эффективный обменный интеграл будет представлять собой сумму статистически усредненных парциальных обменных вкладов, содержащих зависимость от концентрации дырок в системе.
В этой связи является актуальным получение с точностью до членов четвертого порядка по параметру медь – кислородной гибридизации эффективного гамильтониана для модели Эмери и вычисление в рамках этого гамильтониана при конечных значениях энергии хаббардовского отталкивания электронов на ионах меди и кислорода зависимости обменного интеграла между спиновыми моментами ионов меди от концентрации дырок. При получении этой зависимости существенными представляются два фактора. Первый из них связан с необходимостью учета не только нульдырочных конфигураций ионов кислорода, являющихся ближайшими к ионам меди, но и конфигураций, содержащих одну дырку. Второй фактор обусловлен тем, что интенсивность вкладов отмеченных однодырочных конфигураций ионов кислорода в обменный интеграл существенно зависит от межузельных кулоновских корреляций и правильно воспроизводится только при учете семи ионов кислорода, окружающих обменно связанные ионы меди.
Рассмотрим кристаллическую решетку CuO2–плоскости ВТСП, изображенную на рис. 2.5, где соответствует иону меди Cu, а – иону кислорода O, a – постоянная решетки, x и y – базисные векторы решетки. Каждый ион меди окружен четырьмя ближайшими ионами кислорода, а каждый ион кислорода имеет два ближайших иона меди. В недопированном случае каждый ион меди находится в двухвалентном состоянии Cu2+ в электронной конфигурации 3d9, что соответствует недостроенной d-оболочке. При этом ионы кислорода O2- находятся в электронной конфигурации 2p6, что отвечает полностью заполненной p-оболочке. где Zfn = \fm)(fn\ и Xra = \l,m){l,n\ - операторы Хаббарда [59], описывающие переходы между одноионными состояниями для ионов меди и кислорода; r](a) = ±1 при значениях проекции спина а = ±1/2, соответственно. Гамильтониан записан в дыроч-ном представлении. Посредством 6 обозначен один из четырех векторов, связывающих ион меди с ионами кислорода в CuO2-плоскости. Параметры ed и ер обозначают затра-вочные одноузельные энергии одноэлектронных состояний ионов меди и кислорода; параметры С/ и Up в операторе Н0 соответствует энергиям хаббардовского отталкивания на ионах меди и кислорода; Vpd - энергия кулоновского отталкивания электронов, находящихся на соседних ионах меди и кислорода; tpd(S) - интеграл перескока электрона с иона кислорода на ион меди, знак которого выбирается так, что tpd(f±x/2) = tpd и tpd{f ± у/2) = ±tpd.
Вообще, гамильтониан модели Эмери включает в себя также слагаемое, учитывающее перескоки электронов между ионами кислорода. Однако, поскольку в данной главе будет вычисляться обменный интеграл для подсистемы спиновых моментов ионов меди, это слагаемое не даст вклада и поэтому рассматриваться не будет.
В недопированном случае медь-кислородные плоскости ВТСП находятся в го-меополярном состоянии, в котором на ионах меди находится по одному электрону, а кислородные орбитали заполнены двумя электронами. При слабом допировании из-за большой величины кулоновского отталкивания электронов на ионах меди, Ud 3 \tpd\, дырки стремятся заполнить зоны кислорода. При таких условиях можно перейти к эффективному гамильтониану HeQ, в рамках которого состояния ионов меди характеризуются наличием спинового момента S = 1/2 и связываются между собой через механизм косвенного обменного взаимодействия. Данный гамильтониан может быть получен с помощью метода унитарного канонического преобразования Шриффера -Вольфа [182], либо при помощи операторной формы теории возмущений Боголюбова [183].
Фазовая диаграмма сверхпроводящего состояния Кона – Латтин-жера в модели Шубина – Вонсовского при учете вкладов первого порядка по V
Как хорошо известно, электроны проводимости металлов в совокупности с положительно заряженными ионами образуют твердотельную плазму, определяющую комплекс их электрических, гальваномагнитных, кинетических и сверхпроводящих свойств. Связь между подсистемой массивных положительных ионов и подсистемой легких фермионов приводит к формированию электрон-фононного взаимодействия, влияющего на свойства электронной подсистемы. В частности, эффективное взаимодействие между электронами в твердотельной плазме может существенно отличаться от кулоновского взаимодействия электронов в вакууме и даже изменить знак. Этот важнейший эффект лежит в основе электрон-фононного механизма куперовской неустойчивости в обычных сверхпроводниках [113].
Очевидно, что в роли посредника, взаимодействие с которым инициирует ренормировку кулоновского взаимодействия, может выступать любая другая подсистема. Существенно лишь, чтобы взаимодействие электронного газа с такой подсистемой приводило к поляризационным эффектам, обуславливающим рождение электронов и дырок в окрестности поверхности Ферми. В частности, во многих теоретических работах по ВТСП в качестве такого посредника выступают коллективные возбуждения подсистемы локализованных спинов ионов меди. С этим связан спин – флуктуацион-ный механизм куперовской неустойчивости, приводящий к сверхпроводящей фазе с d-типом симметрии параметра порядка.
В представлении вторичного квантования для фермионов оператор кулоновского взаимодействия электронов содержит слагаемые, инициирующие в высших порядках теории возмущений поляризационные вклады в энергию основного состояния. Эти вклады также будут приводить к ренормировке кулоновского взаимодействия между электронами. Поэтому эффективное взаимодействие электронов в таком металле может существенно отличаться от электрон-электронного взаимодействия в вакууме. Это делает актуальной постановку проблемы, впервые высказанной Андерсоном [73], и связанной с возможностью такой ренормировки кулоновского взаимодействия, чтобы эффективное электрон-электронное взаимодействие в веществе имело характер притяжения, а не отталкивания. Другими словами, проблема заключается в поиске условий, при которых отмеченные выше поляризационные эффекты в электронной плазме металла приведут к перевороту знака результирующего взаимодействия между электронами. В математическом отношении обсуждаемая проблема сводится к решению задачи о вычислении эффективного парного взаимодействия электронов при учете многочастичных эффектов в электронном ансамбле. Не менее важной проблемой по мысли Андерсона является проблема объяснения необычных свойств нормального состояния многих сильно коррелированных электронных систем выше критической температуры, особенно в псевдощелевом состоянии.
За последние десятилетия достигнут значительный прогресс в экспериментальном и теоретическом исследовании сверхпроводящих систем с нефононной природой куперовского спаривания и сложной, нетривиальной структурой параметра порядка. Первыми экспериментально открытыми системами с нетрадиционным триплетным р-спариванием (величина полного спина куперовской пары Stot = 1 и орбитального момента относительного движения пары / = 1) были сверхтекучие А- и 5-фазы 3He с низкими критическими температурами Тс 1mK. Другим примером систем, в которых реализуется р—спаривание, являются молекулы 6Li2 и 40K2 в магнитных ловушках в режиме р— резонанса Фешбаха с ультранизкими критическими температурами Тс 10 6 -=- Ю"7K [242,243]. Предполагается, что нетрадиционное р-спаривание с критическими температурами Тс 0.5-1-1 K реализуется в некоторых тяжелофермион-ных интерметаллидах, таких как U Th Be и UNi2Al3 с большими эффективными массами гп 100 -т- 200те [244,245]. Часто о р—спаривании говорят в связи с органическими сверхпроводниками, такими как o;-(BEDTTF)2I3 с Тс 5 K [246]. Наконец, р—спаривание с Тс 1 K, по-видимому, реализуется в рутенатах Sr2RuO4 [247,248], и не исключено также в слоистых дихалькогенидах CuS2-CuSe2, полуметаллах и полуметаллических сверхрешетках InAs-GaSb, PbTe-SnTe [249]. К нетрадиционным сверхпроводникам с синглетным d-спариванием (Stot = 0, / = 2) относится тяжелофер-мионный интерметаллид UPt3 с m 200те и Тс 0.5 K, а также обширный класс купратных ВТСП с критическими температурами от Тс = 36 K для соединений на основе лантана, до Тс = 160 K, полученных под давлением в сверхпроводниках на основе ртути. Наконец, в связи с задачами прикладной сверхпроводимости необходимо упомянуть новые многозонные сверхпроводники с более традиционным s—типом спаривания, такие как MgB2 [250], а также недавно открытые сверхпроводящие фер-ропниктиды [251] и уже упомянутые металлические соединения типа H2S и P0H2 [252].
Наряду с проблемами куперовского спаривания в отмеченных электронных системах, значительный интерес представляют до сих пор экспериментально не разрешенные проблемы поиска фермионной сверхтекучести в 3D и в особенности в 2D (тонкие пленки, субмонослои) растворах 3He в 4He [253-255], и сверхпроводимости в допирован-ном графене [256] (см. главу 5). Данные системы представляются одними из наиболее перспективных в отношении экспериментального и теоретического описания широкого круга физических явлений и характера многочастичных корреляций в них.
В частности, субмонослои 3He, адсорбированные на различных подложках, таких как твердый субстрат или свободная поверхность сверхтекучего 4He, при изменении плотности частиц в широких интервалах допускают реализацию различных режимов в системе — от ультраразряженного ферми-газа до сильно коррелированной ферми-системы [257]. Это делает растворы идеальным объектом для развития и апробации различных методов теории ферми-жидкости. Очень перспективными являются также разбалансированные (спин - поляризованные) ультрахолодные ферми-газы в трехмерных и особенно в квазидвумерных магнитных ловушках [258,259].
Отмеченные исследования стимулировали интенсивный поиск альтернативных механизмов спаривания, основанных на сильных корреляциях в ферми-жидкости. Наиболее перспективным в этом отношении представляется механизм Кона - Латтинже-ра [260], предложенный в 1965 году, а также его обобщения (см., например, обзор [261]). Данный механизм предполагает превращение затравочного отталкивательного взаимодействия двух частиц в вакууме при наличии ферми-фона в эффективное притяжение в веществе в канале с ненулевым значением орбитального момента пары.