Расчет термодинамических функций трехмерной модели Изинга и исследование их зависимости от микроскопических параметров системы Пылюк, Игорь Васильевич

Введение к работе

' -* i '

>^;-\ -І ' '

iLiilil J Актуальность темы» Проблема описания фазовых переходов и критических явлений относится к одной из фундаментальных проблем физики. Она включает в себя довольно широкий круг вопросов, связанных с исследованием таких физических систем, как жидкости, ферромагнетики и сегнетоелектрики, бинарные, сплавы, полимеры, жидкие кристаллы и др. Явления фазовых переходов проникают в область физики твердого тела, физики низких температур, физической химии, металлургии, биологии. Они находят широкое применение в технике: автоматике и электротехнике, радиоэлектронике и акустике, лазерной технике и оптоэлектронике. Большое научное и практическое значение, а также трудности теоретического описания и экспериментального исследования явлений при приближений к точке фазового перехода, связанные с возрастанием роли крупномасштабных флуктуации, большими временами релаксации, вызывают несомненный научный интерес к указанной проблеме и стимулируют ее дальнейшее изучение. .

В результате широких и интенсивных исследований фазовых пе
реходов в последнее время были сформулированы новые концепции,,
связанные с пониманием сути критических явлений, создан мощный
математический аппарат их описания. В большинстве работ, посвя
щенных современным вопросам теории фазовых переходов, основное
внимание уделялось определению класса универсальности систем, ис
следованию симметрийных свойств безотносительно к затравочным па-.
раме'трам исходного гамильтониана, типов решений рекуррентных со
отношений (PC) и вычислению значений критических показателей. По
лучены важные экспериментальные результаты. Рассчитаны универ -
сальные отношения и комбинации критических амплитуд термодинами
ческих характеристик спиновых систем, в частности, трехмерной
модели Иэинга, являющейся одной из ключевых моделей фазового пе
рехода. Проблема зависимости критических амплитуд от микроскопи
ческих параметров гамильтониана системы требовала последователь
ного изучения и могла быть успешно разрешена вместе с решением ос
новного вопроса теории фазовых переходов - получением явных выра
жений термодинамических характеристик-системы вблизи точки' фазово
го перехода как функций температуры и микроскопических параметров
гамильтониана. '

Цель работы - исследование критичеокогб поведения трехмерной модели Изинга, являющейся основой изучения свойств ряда веществ ' (ферромагнетизма и антиферромагнетизма, сегнетоэлектричества,

упорядочения в бинарных сплавах и др.), развитие на примере этой модели одного из способов расчета и анализа на микроскопическом уровне явных выражений для термодинамических функций однокомпо-нентной спиновой системы в реальном трехмерном пространстве. Исходя из отого, задачи настоящей диссертационной работы составляют:

рассмотрение влияния основных приближений оригинального метода интегрирования статистической суммы трехмерной модели Изинга на критическое поведение этой модели (учет высших негауссовых плотностей мер, поправки на усреднение фурье-образа потенциала взаимодействия);

численное интегрирование статистической суммы изинговского ферромагнетика с учетом шестерного распределения, использование результатов численного расчета для получения температуры фазового перехода и критического показателя корреляционной длины;

анализ роли коротковолновых и длинноволновых мод колебаний плотное/и спинового момента вблизи точки фазового перехода второго рода, расчет соответствующих им частей свободной энергии и полного выражения для нее, других термодинамических функций модели в рамках четверной базисной плотности меры с учетом конфлуент-ных поправок;

исследование зависимости полученных термодинамических функций трехмерной спиновой системы, их критических амплитуд от микроскопических параметров гамильтониана;

развитие в приближении шестерной плотности меры методики .расчета коротковолновой и длинноволновой частей термодинамических функций модели Изинга, их полных выражений для температур выше и ниже критической;

изучение влияния усложнения формы .негауссовой плотности меры на зависимость термодинамических характеристик системы от параметра ренормгруппы (РГ) вблизиточки фазового.перехода.

Научнал новизна. Предложено статистическое описание основных (ліоііств трехмерной модели Изинга на основе негауссовых плотностей «tip. В качестве математического аппарата используется метод коллективных переменных (НП), обобщенный И.Р. Юхновскъм на случай спигИбых систем. Этот метод применительно к трехмерной модели ї'.Г'1-.нг.ч позволяет произвести приближенный расчет выражения для , і -.-ч-.'сткческой суммы, получить, кроме универсальных величин (кри-.. v, і-..-.:-; похлтателеЯ), полные выражения для термодинамических

функций в окрестности температуры фазового перехода. Основная идея расчета на микроскопическом уровне термодинамических функций состоит в раздельном учете вкладов двух флуктуационных процессов, имеющих место вблизи точки фазового перехода и соответствующих коротковолновым и длинноволновым модам, флуктуации спиновой плотности. Если коротковолновые флуктуации плотности спинового момента могут быть описаны с использованием ренормгруппового подхода, то для длинноволновых флуктуации этот метод неприменим. Здесь развит прямой метод расчета. Исходными данными для него являются результаты, полученные при учете коротковолновых флуктуации.

Впервые построены и исследованы общие PC для модели р "^предполагающей учет при интегрировании статистической суммы десятичной плотности меры. Из них получены PC для более простых моделей (vn.- 2,3,4). Проанализировано влияние усложнения формы плотности меры на поведение критического показателя корреляционной длины.

С использованием ЭВМ на основе шестерной плотности мери осуществлено численное интегрирование статистической суммы трехмерной модели Изинга по слоям фазового пространства КП, в процессе которого исследовано эволюцию коэффициентов эффективных плотностей мер. Из данных машинных расчетов найдено температуру фазового перехода и критический показатель корреляционной длины.

В приближении модели ^ч разработана схема последовательного расчета и анализа выражений для основных критических.амплитуд и амплитуд конфлуентных поправок термодинамических функций трехмерной спиновой системы с учетом ее микроскопических особенностей. Оценен вклад от первой и второе скейлинговых попразок в теплоемкость системы. Впервые с использованием четверного распределения вычислены температурные зависимости среднего спинового момента, восприимчивости, энтропии, теплоемкости для различных значений микроскопических параметров гамильтониана системы.

В рамках модели о Ъпервые предложен способ расчета в критической области свободной энергии, энтропии, знутренней энергии, теплоемкости, среднего спинового момента, восприимчивости' как функций температуры и микроскопических параметров гамильтониана. Результаты для модели . сравниваются со случаем модели ^ч .

Практическая ценность работы. Проведенные в диссертации теоретические исследования способствуют расширению, общих представлений о критических явлениях в трехмерных однокомпонентних системах.

-б -

испытующих фазовый переход второго рода. Полученные в. работе результаты могут найти применение при интерпретации экспериментальных данных по изучению поведения ряда реальных веществ вблизи точки фазового перехода второго рода, а предложенная методика расчета термодинамических функций может быть использована для вычисления их термодинамических характеристик в критической области. Результаты, приведенные в работе, могут оказаться полезными при вычислениях термодинамических функций с использованием метода Монте-Карло и других численных методов.

На защиту выносятся следующие положения;

1. Общие PC для модели J¹⁰ . Переход от них к PC для более
простых моделей о (т.» 2,3,4). Явный вид приближенных PC для
модели $ . Вычисление их фиксированной точки, элементов и соб
ственных значений матрицы линеаризации PC. Расчет в рамках моде
ли р критического показателя корреляционной длины -О и показа
телей поправок к скейлингу. Изучение поведения >) с усложнением

_гт. порядка модели 9

1. Исследование с помощью численных машинных расчетов характера поведения коэффициентов эффективных шестерных распределений, свидетельствующего о наличии вблизи температуры фазового перехода Тс двух главных флуктуационных процессов.

2. Расчет с использованием четверной базисной плотности меры и.учетом поправок к скейлингу коротковолновой и длинноволновой частей' свободной энергии трехмерной модели Изинга при температурах выше и ниже критической. Получение в критической области пол--ных выражений для свободной энергии, энтропии, внутренней энергии, теплоемкости, среднего спинового момента.и восприимчивости системы.

3. Анализ полученных выражений для ведущих критических амплитуд и амплитуд конфлуентных поправок теплоемкости и других характеристик системы, результаты исследования их зависимости от микроскопических параметров гамильтониана системы. Вычисление отношений этих амплитуд и их комбинаций. Оценка вклада поправок к скейлингу в теплоемкость модели в критической области.

4. Построение в рамках модели д^ч графиков температурной зависимости среднего спинового момента, восприимчивости, энтропии, теплоемкости системы для различных отношений радиуса действия 6 экспонентно убывающего потенциала взаимодействия к постоянной" простой кубической ресетки С .

6. Разработка способа расчета в приближении шестерной плотности меры термодинамических функций трехмерной модели Изинга (случай Т > Тс и Т <Тс). Получение выражений для вкладов в них от коротковолновых и длинноволновых мод колебаний плотности спинового момента. Вычисление в рамках указанного приближения сред-яего спинового момента и восприимчивости системы. Результаты расчета с использованием модели д⁶' коэффициентов свободной энергии системы для разных отношений микроскопических параметров ft и с .

7. Оценка влияния усложнения формы нзгауссовой плотности меры на зависимость энтропии, теплоемкости и других характеристик системы от параметра FT S , вытекающая из непосредственного сравнения графиков температурной зависимости этих характеристик вблизи точки фазового перехода, полученных в рамках моделей ^ч и о для разных значений S .

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на II советско-итальянском симпозиуме по математическим проблемам статистической физики (Львов, I9S5), Всесоюзной конференции "Современные' проблемы статистической физики" (Львов, 1937), иколе-семинаре молодых ученых по статистической физике (Львов, Отделение статистической физики Института теоретической физики АН УССР, 1988), 4 конференции молодых ученых физического факультета.Львовского университета (Львов, 1990), I советско-польском симпозиуме по физике сегнетоэлектриков и родственных материалов (Львов, 1990), Всесоюзной конференции "Совре- менные проблемы статистической физики" (Харьков, 1991)^Всесоюзной школе-семинаре по физике сегнетоэластиков (Ужгород', 1991), а также на научных семинарах Льр^вского отделения статистической физики Института теоретической физики АН УССР (І988-І990), Института физики конденсированных систем АН Украины (Львов, I990-I99I).

Публикации. По материалам диссертационной работы опубликовано 16 основных работ, перечень которых приведен в конце автореферата. Общее число публикаций равно 24.

Структура-и объем диссертации. Основная часть диссертации обьемом в 164 страницы.состоит из введения, четырех глаз и заключения. Имеются также приложения 1-4, включающие 32 рисунка, 35 таблиц, и список цитируемой'литературы из 198 наименований отечественных и зарубежных источников. Общий объем работы составляет 237,страниц машинописного текста. -