Содержание к диссертации
Введение
1 Теория спектров аномального рассеяния 10
1.1 Теоретическое описание процесса упругого рассеяния рентегновского излучения атомами в веществе. 10
1.2. Расчет компонент тензора АФР вблизи краев поглощения остовных атомных уровней в формализме функций Грина в рамках muffin-tin приближения для потенциала 23
2. Исследование частотных зависимостей интенсивности запрещенных рефлексов вблизи К-краев поглощения атомов металлов в кристаллах со структурой пирита ... 35
2.1 Рентгенодифракционные исследования в области аномального рассеяния 35
2.2. Расчет спектральной интенсивности «запрещенных» рефлексов вблизи К-краев поглощения атомов металлов в пиритах 43
3. Исследование особенностей формирования спектральных зависимостей брэгговских «запрещенлных» рефлексов вблизи К-края поглощения атома титана в криталле ТІО2- рутил .67
3.1 Модель МТ кристаллического потенциала для расчета рентгеновских спектров поглощения и рассеяния в кристалле рутила 67
3.2 Структурная амплитуда рассеяния в кристалле рутила в области аномального рассеяния; возникновение «запрещенных» рефлексов; дипольный и квадрупольный механизмы снятия запрета ...72
3.3 Расчет спектральной интенсивности для «запрещенного» рефлекса 001 и сопоставление с экспериментом ...80
4. Исследование механизмов формирования «запрещенных рефлексов» в кристаллическом германии в области аномального рассеяния 88
4.1. Снятие запрета на возникновение брэгговских рефлексов, запрещенных в области нормального рассеяния, за счет тепловых колебаний атомов 88
4.2 Вклад в интенсивность «запрещенных» рефлексов в германии за счет процессов диполь-квадрупольного рассеяния 99
4.3. Расчет спектральной интенсивности «запрещенных» рефлексов в германии 102
4.4 Обсуждение результатов 105
Заключение 114
Публикации по теме диссертации 116
Литература 117
- Расчет компонент тензора АФР вблизи краев поглощения остовных атомных уровней в формализме функций Грина в рамках muffin-tin приближения для потенциала
- Расчет спектральной интенсивности «запрещенных» рефлексов вблизи К-краев поглощения атомов металлов в пиритах
- Структурная амплитуда рассеяния в кристалле рутила в области аномального рассеяния; возникновение «запрещенных» рефлексов; дипольный и квадрупольный механизмы снятия запрета
- Вклад в интенсивность «запрещенных» рефлексов в германии за счет процессов диполь-квадрупольного рассеяния
Введение к работе
Актуальность темы. За последние годы существенно возрос интерес к теоретическому и экспериментальному исследованию процессов рассеяния * рентгеновского излучения в веществе, происходящих в условиях, когда энергии рентгеновских квантов близки к энергии ионизации одного из остовных атомных уровней. [1.-4] О таких процессах говорят как о процессах аномального или резонансного рассеяния. Причина роста интереса к этим процессам двояка. Во-первых, исследуя их, можно получать дополнительную информацию об атомной и электронной структуре вещества, во-вторых, за последние десятилетия появились новые высокоинтенсивные источники синхротронного рентгеновского излучения - электронные накопители третьего поколения, позволяющие получать недоступные ранее экспериментальные данные.
При описании процессов упругого рассеяния рентгеновских лучей в конденсированных средах в области нормального рассеяния амплитуда атомного рассеяния может быть с хорошей точностью найдена в приближении свободного атома. В этой области частот необходимо лишь ввести небольшие поправки, обусловленные разницей между суперпозицией электронных плотностей свободных атомов и реальной электронной плотностью в веществе. Напротив, в области аномального рассеяния атомная амплитуда рассеяния может в существенной степени зависеть от геометрии ближнего окружения рассеивающих атомов, как это, например, имеет место для сечения рентгеновского поглощения в околопороговых областях спектра [5]. Известно, что последнее явление объясняется интерференцией фотоэлектронных волн, рассеивающихся на ближнем окружении поглощающего атома. В случае процессов упругого рассеяния рентгеновских квантов реальные фотоэлектроны на конечной стадии процесса отсутствуют, однако, в промежуточном состоянии процесса рассеяния образуются виртуальные фотоэлектроны. Вследствие их взаимодействия с атомами, окружающими рассеивающий, атомная амплитуда упругого рассеяния рентгеновских квантов в кристалле в области аномального рассеяния может стать анизотропным тензором с компонентами, резко зависящими от энергии рассеивающихся квантов. Анизотропия атомной амплитуды рассеяния и ее энергетическая зависимость влекут за собой как явления, хорошо известные в кристаллооптике видимого светового диапазона, так и явления, специфические для рентгеновской области спектра. К числу последних относится возможное появление в области аномального рассеяния брэгговских рефлексов, структурно запрещенных в области нормального рассеяния. Эти рефлексы, о которых в дальнейшем будет говориться как о «запрещенных» рефлексах, неоднократно наблюдались экспериментально и последние годы их исследование привлекает все большее внимание [6 - 15]. Предложено несколько различных механизмов, приводящих к появлению таких рефлексов [16 - 19]. В то же время, несмотря на значительный интерес к их исследованию, до последнего времени практически не было работ, посвященных прямому расчету интенсивностей этих рефлексов. Нам известна только одна работа [20], где с использованием зонных методов выполнен расчет такого типа, но, как оказалось, результаты, полученные в [20], не совсем правильны. Существует даже мнение, что точность, требуемая для проведения расчетов интенсивностей «запрещенных» рефлексов, вообще недостижима для существующих методов расчета электронной структуры твердых тел.
Естественно, что интерпретация наблюдаемых эффектов и решение обратной задачи - задачи получения информации об атомной и электронной структуре вещества из рентгеновских спектров и, в частности, из спектральных зависимостей интенсивностей «запрещенных» рефлексов, возможны лишь при наличии надежных методов расчета аномальных вкладов в атомные амплитуды рассеяния, без чего невозможно выявить механизмы формирования тонкой структуры исследуемых спектров и использовать их для получения информации о веществе.
Сказанное свидетельствует об актуальности основной задачи, поставленной в работе: разработки методов расчета интенсивностей «запрещенных» брэгговских рефлексов, обусловленных механизмами различной при- роды, и количественной проверки разработанных методов расчета на кристаллах, где эти механизмы приводят к снятию запрета на возникновение рефлексов.
Цель работы. Целями работы являлись:
Развитие эффективных, простых и достаточно точных методов расчета интенсивности «запрещенных» брэгговских рефлексов в кристаллах различной структуры.
Апробация развитых методов на примере расчета спектральных зависимостей «запрещенных» брэгговских рефлексов для кристаллов пйритов, рутила и германия, в которых запрет на возникновение брэгговских рефлексов снимается за счет механизмов различной природы.
Исследование механизмов формирования тонкой структуры в спектральных зависимостях интенсивностей «запрещенных» рефлексов в рассматриваемых кристаллах.
Научная новизна. В работе впервые показано, что метод полного многократного рассеяния, хорошо зарекомендовавший себя при расчетах рентгеновских спектров поглощения твердых тел, позволяет описать в хорошем согласии с экспериментом тонкую структуру в спектральных зависимостях интенсивностей «запрещенных» рефлексов, обусловленных как темплтонов-ским, так и термоиндуцированным механизмами. Установлено, что в кристаллах со структурами пирита и рутила наблюдаемые спектральные зависимости интенсивностей «запрещенных» рефлексов в основном обусловлены темплтоновским механизмом, согласно которому эти рефлексы вызваны анизотропией тензора атомной амплитуды рассеяния рентгеновского излучения, найденной в диполь-дипольном приближении без учета смещений атомов из узлов решетки. Для кристалла рутила с «рыхлой» атомной структурой предложена модификация модели muffin-tin (МТ) потенциала, позволившая получить в хорошем согласии с экспериментом как К- спектры поглощения атомов кислорода и титана, так и спектральную зависимость интенсивности (001) «запрещенного» рефлекса вблизи Ті К- края поглощения. Установлено, что возникновение «запрещенного» (006) рефлекса в кристалле германия вблизи Ge К- края поглощения в основном обусловлено термоиндуцирован-ным механизмом, в то время как вклад в интенсивность этого рефлекса от диполь-квадрупольных процессов рассеяния рентгеновского излучения намного меньше.
Научная и практическая значимость.
Разработка простых, эффективных и достаточно точных методов расчета тонкой структуры в спектральных зависимостях интенсивностей «запрещенных» брэгговских рефлексов в кристаллах открывает возможности для выявления механизмов формирования этой структуры и использования экспериментальных данных по «запрещенным» рефлексам для исследования электронной и атомной структуры кристаллов.
Основные научные положения выносимые на защиту:
Одноэлектронный метод полного многократного рассеяния, использующий полуэмпирический МТ потенциал, позволяет при одних и тех же его параметрах получать в хорошем согласии с экспериментом как тонкую структуру рентгеновских спектров поглощения, так и - спектральных зависимостей интенсивностей «запрещенных» брэгговских рефлексов, обусловленных как темплтоновским, так и термоиндуцированным механизмами. Единственный многоэлектронный эффект, который должен быть учтен при расчетах - это затухание электрон-дырочных возбужденных состояний кристалла, возникающих на промежуточной стадии процесса аномального рассеяния рентгеновского излучения.
Модификация МТ потенциала для кристалла рутила, основанная на введении дополнительных отталкивающих потенциалов («пустых» сфер) в межатомные области большого размера, которые имеются в этом кристалле, позволяет заметно улучшить согласие с экспериментом как для тонкой структуры Ті и О К- спектров поглощения, так и - спектральной зависимости (001) «запрещенного» рефлекса вблизи ТЇ К- края поглощения.
3. В кристалле германия вклад термоиндуцированного механизма в интенсивность «запрещенного» (006) рефлекса доминирует. Ди-поль-квадрупольный механизм дает аналогичную по форме тонкую структуру этого рефлекса, но, исключая случай низких температур, значительно меньшую величину его интенсивности.
Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на 19-Й Международной конференции «Рентгеновские лучи и процессы во внутренних оболочках атомов» (Рим 2002), Международной конференции по тонкой структуре рентгеновских спектров поглощения «XAFS-12» (Мальмо, Швеция, 2003), 4-й Национальной конференции по применению Рентгеновского, Синхротронного излучений, Нейтронов и Электронов для исследования материалов (Москва, 2003).
Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано 5 печатных работ.
Личный вклад автора. Выбор темы, планирование работы и обсуждение полученных результатов проводились автором совместно с научным руководителем, профессором Р.В. Ведринским, профессором В.Е. Дмитриенко и старшим научным сотрудником А.А. Новаковичем.
Программный комплекс для расчета тензора атомной амплитуды рассеяния рентгеновского излучения и рентгеновских спектров поглощения, используемый при выполнении диссертации, разработан А.А. Новаковичем.
Вывод формул для расчета спектральной зависимости интенсивности «запрещенного» (006) рефлекса в кристалле германия выполнен автором под руководством А.А. Новаковича.
Все вычисления спектров поглощения и спектральных зависимостей «запрещенных» рефлексов, а также их анализ и сопоставление с экспериментом выполнены соискателем.
Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения. В первой главе рассмотрены вопросы теоретического описания взаимодействия рентгеновского излучения с веществом и излагается схема вычисления тензора атомной амплитуды рассеяния рентгеновского излучения в формализме функций Грина и в МТ приближении для кластерного потенциала. Во второй главе выполнен расчет и исследованы механизмы формирования «запрещенных» (001) рефлексов в кристаллах FeS2, NiS2 и CoS2 со структурой пирита вблизи К- краев поглощения атомов металлов. В третьей главе с использованием модернизированного метода построения кластерного МТ потенциала проведено аналогичное исследование для спектров поглощения атомов титана и кислорода и спектральной зависимости интенсивности «запрещенного» (001) рефлекса в кристалле рутила ТіОг. В четвертой главе исследованы механизмы формирования «запрещенного» (006) рефлекса в кристалле германия вблизи Ge К- края поглощения и показано, что почти при всех температурах доминирующий вклад в интенсивность этого рефлекса вносит термоиндуцированный механизм, в то время как диполь-квадрупольный механизм обеспечивает лишь небольшие поправки к интенсивности рефлекса.
Диссертация содержит 121 страницу, 40 рисунков и библиографию из 60 наименований.
Расчет компонент тензора АФР вблизи краев поглощения остовных атомных уровней в формализме функций Грина в рамках muffin-tin приближения для потенциала
Учтем теперь вклад аномального рассеяния. Оператором перехода в этом случае является 1-ое слагаемое в (1.11): — РІ -ІГІ) . Запишем соответствующее выражение для аномального вклада в амплитуду рассеяния во втором порядке теории возмущений: где т„ волновая функция промежуточного состояния электрон-фотонной системы, г 0 — бесконечно малая величина. Возможны два типа промежуточных виртуальных состояний: 1) бесфотонное, когда «сначала» уничтожается первичный фотон, а затем излучается рассеянный и 2) двухфотонное, когда сперва излучается вторичный фотон и лишь затем уничтожается первичный. Обозначим векторы этих состояний как: Ясно, что оператор ffj, с точки зрения его действия на состояние электронной системы, является одноэлектронным оператором, так что наиболее вероятными возбужденными состояниями рассеивающего атома, возникающими при действии оператора №х на волновую функцию начального состояния Ч7, , являются состояниями, содержащими электрон-дырочную пару. Известно, что аномальный вклад в амплитуду рассеяния имеет заметную величину лишь в том случае, если энергия фотона близка к энергии ионизации какого-либо ос-товного атомного уровня. Нас будет интересовать лишь случай, когда энергии фотонов близки к энергиям ионизации Is уровня. В этом случае основной вклад в амплитуду аномального рассеяния (1.18) вносят такие промежуточные состояния yi,„, электронные волновые функции ф„ в которых содержат Is дырку и виртуальный фотоэлектрон с энергиями близкими, но, естественно, превышающими, энергии Ферми, В таком случае энергии E!J промежуточных состояний х„ , в которых помимо электрон-дырочных возбуждений есть еще дополнительный фотон большой энергии, будут намного превышать энергию , , так что знаменатель в (1.18) при описании процессов рентгеновского рассеяния оказывается настолько большим, что вкладом от „ в (1.18) можно пренебречь, так что процессом, обеспечивающим главный вклад в амплитуду / (УЛЬ), является процесс, на начальной стадии которого, фотон поглощается и образуется бесфотонное промежуточное состояние, содержащее дырку на Is уровне и виртуальный фотоэлектрон, с энергией большей энергии Ферми. Возникшее возбужденное состояние развивается во времени, что описывается резонансным знаменателем в (1Л 8), и на финальной стадии процесса под действием оператора Wt происходит рекомбинация электрон-дырочной пары и излучается фотон с энергией, равной энергии начального фотона, в результате чего электронная система возвращается в основное состояние. Понятно, что волновые функции рассеивающего атома Ф0 и ф„, фигурирующие в (1.18) и (1.19), являются многоэлектронными волновыми функциями и их расчет даже для свободного атома является сложной задачей [22]. В рассматриваемом случае, когда рассеивающий атом входит в состав многоатомного кристалла, эта задача становится исключительно сложной. В диссертации задача многоэлектронного расчета амплитуд рассеяния рентгеновского излучения атомами в веществе не ставится, проводимые в дальнейшем расчеты базируются на широко используемом одноэлектронном приближении. В этом приближении считается возможным вычислить матричные элементы в (1.18), считая, что на начальной стадии процесса рассеяния электрон, находящийся на остовной атомной орбите Фо(г) (в нашем случае это Is орбиталь), совершает радиационный переход в одно из свободных состояний кристалла Ф„(т), а на финальной стадии происходит обратный радиационный переход. Точно так же, как и при расчетах сечений фотоионизации, будем считать, что функции ф„(т)- это собственные функции одноэлектронного гамильтониана, одноэлектронный потенциал в котором строится с учетом дырки на Is уровне, заэкранированной за счет процессов релаксации электронной системы. Понятно, что на промежуточной стадии процесса аномального рассеяния за счет многоэлектронных эффектов возможны процессы, приводящие к распаду электрон-дырочного состояния, в результате которых возникают более сложные возбужденные состояния многоэлектронной системы. Так, 1 s дырка за счет оже-процессов может перейти на более высокий уровень, породив дополнительную электрон-дырочную пару, или электрон, потеряв часть своей энергии, может также породить дополнительную электрон-дырочную пару или плазмон. Понятно, что такие более сложные возбужденные состояния многоэлектронной системы не могут рекомбинировать на финальной стадии процесса упругого рассеяния под влиянием одноэлектронного оператора радиационного перехода ffx. Отсюда следует, что процессы распада промежуточной электрон-дырочной пары ведут к уменьшению амплитуды аномального рассеяния. Такие процессы можно учесть, введя в знаменатель (1.18) вместо бесконечно малой мнимой добавки г конечную величину Г/2, которая называется полушириной электрон-дырочной пары. Величина, обратная Г/2, определяет время затухания амплитуды электрон-дырочноя пары. С учетом сказанного после простых преобразований получается следующее выражение для аномального вклада в амплитуду упругого рассеяния, найденного в одноэлек-тронном приближении:
Расчет спектральной интенсивности «запрещенных» рефлексов вблизи К-краев поглощения атомов металлов в пиритах
Ясно, что оператор ffj, с точки зрения его действия на состояние электронной системы, является одноэлектронным оператором, так что наиболее вероятными возбужденными состояниями рассеивающего атома, возникающими при действии оператора №х на волновую функцию начального состояния Ч7, , являются состояниями, содержащими электрон-дырочную пару. Известно, что аномальный вклад в амплитуду рассеяния имеет заметную величину лишь в том случае, если энергия фотона близка к энергии ионизации какого-либо ос-товного атомного уровня. Нас будет интересовать лишь случай, когда энергии фотонов близки к энергиям ионизации Is уровня. В этом случае основной вклад в амплитуду аномального рассеяния (1.18) вносят такие промежуточные состояния yi,„, электронные волновые функции ф„ в которых содержат Is дырку и виртуальный фотоэлектрон с энергиями близкими, но, естественно, превышающими, энергии Ферми, В таком случае энергии E!J промежуточных состояний х„ , в которых помимо электрон-дырочных возбуждений есть еще дополнительный фотон большой энергии, будут намного превышать энергию , , так что знаменатель в (1.18) при описании процессов рентгеновского рассеяния оказывается настолько большим, что вкладом от „ в (1.18) можно пренебречь, так что процессом, обеспечивающим главный вклад в амплитуду / (УЛЬ), является процесс, на начальной стадии которого, фотон поглощается и образуется бесфотонное промежуточное состояние, содержащее дырку на Is уровне и виртуальный фотоэлектрон, с энергией большей энергии Ферми. Возникшее возбужденное состояние развивается во времени, что описывается резонансным знаменателем в (1Л 8), и на финальной стадии процесса под действием оператора Wt происходит рекомбинация электрон-дырочной пары и излучается фотон с энергией, равной энергии начального фотона, в результате чего электронная система возвращается в основное состояние. Понятно, что волновые функции рассеивающего атома Ф0 и ф„, фигурирующие в (1.18) и (1.19), являются многоэлектронными волновыми функциями и их расчет даже для свободного атома является сложной задачей [22]. В рассматриваемом случае, когда рассеивающий атом входит в состав многоатомного кристалла, эта задача становится исключительно сложной. В диссертации задача многоэлектронного расчета амплитуд рассеяния рентгеновского излучения атомами в веществе не ставится, проводимые в дальнейшем расчеты базируются на широко используемом одноэлектронном приближении. В этом приближении считается возможным вычислить матричные элементы в (1.18), считая, что на начальной стадии процесса рассеяния электрон, находящийся на остовной атомной орбите Фо(г) (в нашем случае это Is орбиталь), совершает радиационный переход в одно из свободных состояний кристалла Ф„(т), а на финальной стадии происходит обратный радиационный переход. Точно так же, как и при расчетах сечений фотоионизации, будем считать, что функции ф„(т)- это собственные функции одноэлектронного гамильтониана, одноэлектронный потенциал в котором строится с учетом дырки на Is уровне, заэкранированной за счет процессов релаксации электронной системы. Понятно, что на промежуточной стадии процесса аномального рассеяния за счет многоэлектронных эффектов возможны процессы, приводящие к распаду электрон-дырочного состояния, в результате которых возникают более сложные возбужденные состояния многоэлектронной системы. Так, 1 s дырка за счет оже-процессов может перейти на более высокий уровень, породив дополнительную электрон-дырочную пару, или электрон, потеряв часть своей энергии, может также породить дополнительную электрон-дырочную пару или плазмон. Понятно, что такие более сложные возбужденные состояния многоэлектронной системы не могут рекомбинировать на финальной стадии процесса упругого рассеяния под влиянием одноэлектронного оператора радиационного перехода ffx. Отсюда следует, что процессы распада промежуточной электрон-дырочной пары ведут к уменьшению амплитуды аномального рассеяния. Такие процессы можно учесть, введя в знаменатель (1.18) вместо бесконечно малой мнимой добавки г конечную величину Г/2, которая называется полушириной электрон-дырочной пары. Величина, обратная Г/2, определяет время затухания амплитуды электрон-дырочноя пары. С учетом сказанного после простых преобразований получается следующее выражение для аномального вклада в амплитуду упругого рассеяния, найденного в одноэлек-тронном приближении:
Структурная амплитуда рассеяния в кристалле рутила в области аномального рассеяния; возникновение «запрещенных» рефлексов; дипольный и квадрупольный механизмы снятия запрета
На отрицательной части вещественной оси плоскости комплексного энергетического параметра с ФГ G(c) име т полюсы при значениях є, совпадающих с энергиями связанных состояний. Кроме того, ФГ может резко меняться с энергией при небольших положительных энергиях в области валентной полосы, где лежат занятые состояния. Вследствие этого прямое вы і I числение интеграла (1.37) по контуру L являются весьма трудоемким. Используя аналитические свойства ФГ, конігур L на рис. 1.1 может быть преобразован в контур L}, который начинается и заканчивается в тех же точках, что и контур L, и охватывает все занятые состояния. На контуре L} ФГ - G(s) является гладкой функцией энергии, что значительно облегчает вычисление интеграла (1.37). Следует, однако, иметь в виду, что переход к контуру L/, достаточно сильно удаленному от вещественной оси, ведет к тому, что в интеграле (1.37) возникает дополнительный] вклад от полюса в подынтегральном выражении, при tiw + E]s +ІГ/2. Іїонятно, что такой вклад возникает лишь в случае, если ЙЬ)+ЕЬ EF и Г/2 1т( 1) Поскольку возникающий вклад является лишним, его нужно устроить из интеграла (1.37). Нетрудно убедится в том, что при его устранении частично сокращается первый член в (1.36). В результате при Г/2 1т(Ех) вырЦсение для АФР приобретает вид: где 9 (x) - ступенчатая Э-функция Хевисайде. Отметим, что хотя оба слагаемых в правой части (1.38) разрывны при энергии Ферми, полный АФР является непрерывной функцией энергии. Для расчетов ФГ и волновых функщ й в сложных многоатомных системах используются различные методы. Традиционные зонные методы позволяют проводить расчеты для потенциЦй. бесконечного кристалла, но поскольку в этом случае явно используется трансляционная симметрия потенциала, то в зонном подходе невозможно учесть потенциал рентгеновской дырки [5]. В принципе эту трудность можно приближенно преодолеть, если считать, что в кристалле возникает не одна: остовная дырка, а множество дырок на трансляционно эквивалентных атомах, сильно удаленных друг от друга. В таком случае расчеты могут быть проведены в зонном подходе ценой существенного увеличения размеров элементарной ячейки кристалла [26]. Понятно, что такой путь решения задачи возможен, но он требует больших вычислительных ресурсов.
Методы одноцентрового разложения [25,27,28], позволяют наилучшим образом учесть рельеф потенциала в межсффрной области и корректно учесть обменное взаимодействие фотоэлектрона с электронами занятых состояний, но требуют учета очень большого количества сферических гармоник для описания центральной части потенциалов соседних атомов, что делает эти методы малоэффективными для больший йластеров. В методах многократного рассеяния хорошо воспроизводится рассеяние электронов на центральной наиболее сильной и важной области потенциалов атомов, но приходится использовать модельный потенциал muffinin типа [30 -31]. В настоящей работе для расчетов спектров поглощения и амплитуд рассеяния используется метод полного многократного рассеяния для потенциалов muffmin типа в формализме ФГ, развитый в работе [32, 33]. Вследствие сильной локализации врйновой функции Is электрона нам необходимо знать ФГ в координатном йДОедставлении G(r,r ,s) только для значений аргументов г и г , лежащих внутри атомной сферы рассеивающего центра. В случае, когда вектор г лежит вй Три атомной сферы с номером n, а г - внутри сферы с номером п , ФГ мояр&т быть представлена в виде сле дующего разложения; U; где Оп(г,г ,г)- ФГ электрона, вычислений в потенциале одной изолированной атомной сферы с номером п; Я"(,г) регулярное решение радиального уравнения Шредингера в потенциале аторфйой сферы с номером п (в зависимости от выбора нормировки функций Щ (,г) изменяется определение коэффициентов G IL )\ /- парциальный сй иг фазы рассеяния электронной волны в этом же потенциале; 1 - орбитальной момент электронной волны; L = (l,m); YL(Qr)- вещественная сферическая гармоника, Ог - угловые координаты вектора г. її/ Совместим начало отсчета энергии электрона є с уровнем среднего межатомного потенциала (muffinin нулцМ), тогда волновое число электрона к связано с энергией обычным соотношением: к = {2mz){l2lh.
Вклад в интенсивность «запрещенных» рефлексов в германии за счет процессов диполь-квадрупольного рассеяния
Понятно, что второе слагаемое в (1.11) дает вклад в процесс упругого рассеяния уже в первом порядке теории возмущения (благодаря тому, что в этом слагаемом фигурирует квадрат оператора вектор-потенциала, содержащий произведения операторов рождения и операторов уничтожения фотонов). Оно отвечает за процесс Томсоновского, «нормального» рассеяния фотона. Напротив, первое слагаемое может или породить, или уничтожить фотон, поэтому оно дает вклад в процесс упругого рассеяния лишь во втором порядке теории возмущения. Но так как в знаменателе коэффициента первого слагаемого фигурирует лишь первая степень скорости света, то этот вклад может оказаться не слишком малым по сравнению с вкладом первого порядка от второго члена в (1.11). Вблизи же порогов поглощения (в области аномального рассеяния) этот вклад может оказаться значительным. Соответствующее ему рассеяние называется аномальным или резонансным. Перейдем к вычислению амплитуды рассеяния. Введем в рассмотрение волновые функции начального и конечного состояний системы «элек-трон+фотон»: де Ф о " вектор вакуумного (бесфотонного) состояния, Ф0 4 волновая функция основного состояния многоэлектронного атома. В процессе упругого рассеяния она не изменяется. Функция в виде (1.12) нормирована «на ящик» (один фотон в нормировочном объеме V). Плотность потока фотонов в этом случае равна: \ с с J = — = — - —, (S - площадь сечения выбранного «ящика», за время Т фо-о1 oJu У тон пролетает расстояние L со скоростью с). Согласно «золотому правилу Ферми» вероятность перехода системы в единицу времени из начального состояния в конечное равна: 2тг і / ч 12 — ](%,tfYJ 5(2 -,). Чтобы получить сечение упругого рассеяния фотона, эту вероятность надо разделить на плотность потока фотонов, равную в с рассматриваемом случае —. Кроме того, для сопоставления с экспериментом нужно иметь не вероятность перехода в определенное точно заданное конечное состояние фотона, а найти число фотонов, рассеянных в малый объем d k -пространства. Для этого найденное сечение надо умножить на число фо Vd k V тонных состояний в этом объеме тг т, где ""тт - число состояний фотона на единицу объема к -пространства. Тогда получим: С учетом того, что Ь(Е2-Еу)-Ъ{Нск2 -ftck n d к-k2dkdQ., проинтегрируем найденное выражение по модулю волнового вектора фотона и получим, что: Сопоставляя (1.13) с известным соотношением теории рассеяния da-f dQ., получим следующее выражение для амплитуды упругого рассеяния фотона /: где P - множитель, равный по модулю единице: р = 1 Произведем теперь вычисление (1.14). Рассмотрим второй член в (1Л1) в первом порядке теории возмущения. В скалярном произведении в (1.14) в обкладках функций F2 и NK, стоит следующее выражение: Подставим его в выражение для амплитуды упругого рассеяния фотона и получим для фигурирующего там матричного элемента: Введя обозначение для переданного импульса (точнее волнового вектора): q=k2—ki и подставив (1.15) в (1.14), найдем амплитуду рассеяния в первом порядке теории возмущений: Учтем теперь вклад аномального рассеяния. Оператором перехода в этом случае является 1-ое слагаемое в (1.11): — РІ -ІГІ) . Запишем соответствующее выражение для аномального вклада в амплитуду рассеяния во втором порядке теории возмущений: Л" P2ithc Е,-Еп+щ ; (1Л8) где т„ волновая функция промежуточного состояния электрон-фотонной системы, г 0 — бесконечно малая величина. Возможны два типа промежуточных виртуальных состояний: 1) бесфотонное, когда «сначала» уничтожается первичный фотон, а затем излучается рассеянный и 2) двухфотонное, когда сперва излучается вторичный фотон и лишь затем уничтожается первичный. Обозначим векторы этих состояний как:
