Введение к работе
Актуальность темы. Фундаментальное значение предельных теорем для теории вероятностей и для естествознания вообще - общеизвестно.Этот крупнейший,имеющий трехсотлетнюю историю раздел теории вероятностей,до настоящего времени находится в сфере активного интереса математиков.С самого начала большая часть исследований здесь была посвящена схеме суммирования независимых случайных величин и на протяжении многих лет предположение о независимости считалось столь естественннм,что зачастую даже не оговаривалось особо.Однако в реальных экспериментах по сути все явления в той или иной форме,в той или иной степени зависимы,а в математических моделях этих экспериментов независимость-просто удобная абстракция, предположение /более или менее обоснованное/,что зависимостью можно пренебречь.Поэтому весьма актуальным является вопрос об "устойчивости" предельных теорем при нарушении условия независимости,то есть вопрос о справедливости тех или иных предельных теорем в предпо-ложениях.не содержащих условия независимости.Серьезный интерес вероятностников к этой проблематике появился,по-видимому,в начале нашего века после исследований А.А.Маркова и привел в последствии к созданию таких направлений,как предельные теоремы для марковских процессов,для мартингалов,для стационарных процессов и т.д.
В диссертации разрабатывается одно из направлений в предельных теоремах для зависимых величин - изучаются предельные теоремы для сумм случайных величин, образующих стационарную последовательность,удовлетворяющую тем или иным условиям слабой зависимости. Эти исследования были начаты в 20-х годах С.Н.Берн-штейном, который ввел весьма плодотворный и активно использующийся до настоящего времени метод секциошрования.В 50-х-бО-х годах техника доказательства предельных теорем для слабо зависимых величин значительно модернизировалась во многом в связи с введением весьма удобных и ставших впоследствии наиболее употребительными условий слабой зависимости - условия сильного перемешивания /М.Розенблатт,195б/ и условия равномерно сильного
перемешивания /И.А.Ибрагимов, 1959/. В это время был достигнут существенный прогресс в исследованиях условий слабой зависимости для стационарных случайных процессов и центральной предельной теоремы для сумм слабо зависимых величин в работах И.А.Ибра-гимова,М.Розенблатта,Ю.А.Розанова,В.А.Статулявичуса и др.
В последние года наблюдается новая волна интереса к этой проблематике. Выделим некоторые направления в теории суммирования слабо зависимых величин, исследования в которых ведутся сейчас наиболее активно.
-
Изучение условий слабой сходимости для случайных процессов и полей.Отметим здесь работы Р.Бредли,М.Розенблатта,1!.А.Давыдова, А.В.Булинского,В.А.Стагулявичуса,В.Филшта и др.С современным состоянием вопроса можно ознакомиться по обзору Р.Бредли /1986/, где имеется обширная библиография.
-
Уточнение и обобщение результатов, связанных с центральной предельной теоремой для слабо зависимых величин, исследование "пограничных" ситуаций.Здесь отметим работы М.Пелиград,Р.Бредли, Н.Херрендорфа,Ю.А.Давыдова,С.А.Утева,А.Н.Тихомирова и др.Особо следует выделить работы А.Н.Тихомирова /1980/ и М.Пелиград /1985/,связанные с разработкой новой техники в изучении соответ-ствущих задач.
-
Изучение условий сходимости распределений сумм зависимых случайных величин к устойчивым распределениям.Это направление изуче но пока не столь основательно,как предыдущие,но активно разрабатывается в работах Й.Самура,Л.Хейнриха,Р.Дэвиса,М.А.Юдина и др.
Основные результаты диссертации относятся к перечисленным на-правлениям.Работа над диссертацией велась по планам НИР кафедры математического анализа Омского государственного университета в рамках научно-исследовательской темы "Предельные теоремы" ,№ гос. рег.80078187.
Цель работы. В теории суммирования зависимых величин разработать технику,достаточно "тонкую" для того,чтобы иметі возможность доказывать критерии сходимости распределений сумм слабо зависимых величин к устойчивым распределениям в терминах распределений отдельных слагаемых и исследовать "пограничные"
ситуации в центральной предельной теореме.Разработать метод, позволяющий уточнять имеющиеся в настоящее время оценки скорости сходимости в центральной предельной теореме для слабо зависимых величин,в том числе известный результат А.Н.Тихомирова.
Научная новизна и практическая ценность. Следующие результаты и положения определяют научную новизну работы и выносятся на защиту. I. Вводится и изучается одно новое условие слабой зависимости для стационарных случайных процессов.Характерной особенностью .этого условия является то,что не являясь "слишком жестким",по крайней мере для гауссовских процессов,оно может использоваться в задачах,требующих довольно сильных ограничений на зависимость "прошлого" и "будущего" рассматриваемого процесса. 2.Разрабатывается метод исследования предельных теорем для сумм зависимых случайных величин,основанный на идее,суть которой можно схематично охарактеризовать так: если стационарная последовательность удовлетворяет подходящему условию слабой зависимости,то поведение "хвостов" распределений сумм случайных величин из этой последовательности в некотором смысле аналогично поведению "хвостов" распределения максимума этих величин. Этот метод позволил М.Пелиград добиться наибольшего 'прогресса в исследовании центральной предельной теоремы для стационарных процессов с условием равномерно сильного перемешивания.В диссертации идеи такого рода адаптированы к изучению условий сходимости распределений сумм слабо зависимых величин к устойчивым распределениям /в том числе и к нормальному/,получен ряд необходимых и достаточных условий в терминах распределения одного слагаемого и последовательностей,которыми в соответствующих предельных теоремах осуществляется масштабная нормировка.Большая часть этих результатов не имеет аналогов в научной литературе,а выводимые из них достаточные условия усиливают известные результаты соответствующего типа.
3. Для оценок скорости сходимости в центральной предельной теореме для слабо зависимых величин разрабатывается техника,по существу представляющая собой попытку использования Тихомировско-го локального секционирования в режиме последовательных прибли-
хений.Полученный метод позволяет уточнять известные результаты о скорости сходимости в предельных теоремах для слабо зависи -мых величин и остается открытым для дальнейшего развития.
Результаты и методы работы могут быть использованы в исследованиях, ведущихся в Петербургском отделении МИРАН, Ш СО РАН, ИМК АН Литвы,ИМ АН Армении, в Петербургском,Казанском,Белорусском и Сыктывкарском университетах. Апробация полученных результатов
Основные результаты диссертации докладывались на научных семинарах в ЛСМИ АН СССР /Ленинград,1983,1987,1989,1991/,ИМ СОАН СССР /Новосибирск,І986,І99І/,МГУ /Москва, 1974,1992/,на междуна-родных Вильнюсских конференциях по теории вероятностей и математической статистике /Вильнюс,1985,1989/,на I Всемирном Кон -грессе общества им.Бернулли /Ташкент,1986/,на ряде республиканских и региональных школ и.конференции.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 17 работ в яурн. Теория вероятностей и ее применения,журн. Успехи математических наук, Сибирском математическом журнале,трудах ВЦ СО АН СССР,в тезисах международных,всесоюзных и республиканских конференций.
Основные результаты изложены в I - 9.
Структура ji объем работы. Диссертация состоит из введения,пяти глав,списка литературы,насчитывающего 80 наименований и изложена на 238 страницах машинописного текста.