Введение к работе
Актуальность темы. Суперснмметрилн&а квантовая теория пода является аппаратом, удобным длл построения аналипа. з oecso-нечномерном пространстве (1). При отом сунерснммстрпчнып га-ивлътониан II свяо&н с супераарядом Q, играющим роль оператора. Дирака, на пространстве петель, соотношением П — Q2. Идея подобного рассмотрения, нринлгдажагцая 3. Виттену [2, 3, 4], была фактически реализована, в работах А.Джаффе с. сотрудниками [5, 6, 1). В втях работах исследовался случай, когда супср-сиотеицнал / хвлкется гошшоммаяшой функцией боооккоео роя*. Однако аналяо сулерсаиметричнмх теорий поди, к яд; л лнк^еа любых воапмодействующнх систем с бесконечным часлом степеней свободы, является крайне слож>іьш. Поэтому необходима "лаборатория", в которой ножно было бы на более простых примерах увидеть уже найденные качественные эффекты, свойственные! сложным системам.
Кроме того, супер симметричная квантовая механика можот ока-оатьсн полезной при формировании нового вогляда на "старые" конечномерные оадачп. Примером всонихновення такого полого взгляда может служить работа [4], в которой получены классяче-сїле неравенства Морса, используя суперелмметрячность оператора Лапласа на дифференциальных форыах л работа [7], и которой получена теорема Атьи-Уингерацня классических хямяае»го», причем раоличным комплексам отвечают раолячные суперсимме-тричные шіволюции. Это пок^ывае" так же важность покатая инволюций сулерсимметрилиого' гамильтониана, отмечавшейся в [8]. Именно инволюция определяют тот множитель, с которым число ноль-код входит в индекс, а саойстэо их аититоммугацвн с супероарядоы приводят к топологической устойчивости индекса. Длл постороепня более сложных, чем индекс Вячтена» индексов длл суперсимметричных гамильтониане», естественно тривать на раду со стандартной инволюцией (-І)'" друїие (дополнительные) кньолюцни, которые бы определял» раоложениа пространства состояний и веса, с которыми необходимо брать чи-, ела ноль-мод для достижения топологической устойчивости новых
индексов. Поэтому представляется актуальным обобщить понятие алгебр суперспмметричноп квантовой механики и перейти к алгебрам обобщенной суперскмметриченой квантовой мехаляїн (GSQM - алгебры) со многими иывопюпдкмп {г;}, которые лпбо коммутируют, либо антшоммутируюг между собой п аитиком-мутируют с супероарядом Q.
Цепь работы. Целью работы авлается введение алгебр обобщенной супер симметрия (GSQM) со многими инволюциями, описание структур их реалкоации, введение на осіюве отого новых топологических индексов, связанных с дополнительными инволюциями, а также установление ездой GSQM-алгебр с деформациями алгебры расширенно суперсимметрлчной квантовой механики.
Научная нопиона. и практическая ценность. В диссертации получены следующие основные результаты:
1. Введены алгебры обобщенной суперсимметричной квантовой механики и описана структура их представлений;
2 Вьедсны связанные с GSQM- алгебрами топологические индексы;
-
Построена супер симметричные кваятовые гамильтонианы на родановых поверхностях с произвольным мероиорфиым су-перпотенцналом;
-
Показало что оти квантовые гамильтонианы являются GSQM-гаипкьтоппангши и вычленены GSQM- индексы;
*
5. Построена q- ^ефориация расширенной супер симметричной -
квантовой механика ил основе q- суперлояевого формалнома
н продемонстрировала сваоь с GSQiM-aareCpaAui;
Полученные результаты позволяют о^фекгввно использовать до-полнптельцые дискретные симметрии супер симметричных квантовых гамильтонианов и получать с их помощью новые теоремы об индексе.
Апробадил работы. Результаты работы докладывалась на научных сємвнарах ІІОМЙ и в процессе работы семестра им.II.И.Лобачевского ММИ им. Ойпера (Сашт - Петербург 1992).
Публикации. Ресультаты диссертации опубликованы в пяти работах, приведенных в конце автореферата.
Структура н объем работы. Диссертация состоит іго введения, трех глав, оахлюченил и трех приложении и содержит 117 страниц машинописного теиста. Бнблиографил включает 56 наименований.