Введение к работе
Диссертация посвящена исследованию системы дифференциальных уравнения в частных производных, описывающей распространение волн в тяжелоя жидкости, находящейся на упругом осноолнин и нахождению точных и асимптотических решения задачи Коши для этап системы.
Актуальность тему, Задача о волновых движениях жидкости в бассейне конечной глубины, как правило рассматривается в предположении, что дно жесткое. Однако в некоторых ситуациях, например, в задачах о волнах цунами, возбуждение происходит благодаря действию источни - ков. находящихся в основании бассейна. Вероятно, в том случае, когда источник находится на дне бассейна можно ограничиться рассмотрением гидродинамической задачи о волнах в слое тяжелоя жидкости. Однако, когда источник находится в глубине основания, нужно использовать другие модели. Однако из гипотез (моделей) описания такого рода процессов предполагает отказ от жесткости дна и совместное рассмотрение упругой и гидродинамической задачи. Наиболее полная модель была предложена Г.С.Подъяпольским [1]. Её главной идеей являлось использование упругой модели среды и уравнения Яамэ с учетом гравитационных членов в качестве уравнений движения частиц среды, что и позволяет рассмотреть в единой постановке как гравитационные волны в жидкости, так и упругие сейсмические волны в твердой среде. Эта модель изучена существенно слабее, особенно в математическое литературе. Явные фор мулы для решения получены лишь в случае специальных начальных
(11 Подьяпо гіьскип Г'.С. Возбуждение цунами землетрясением/ЛЛетоды расчета возникновения и распространения цунами М.:Наука, 1978.
данных или ревного дна <сж, например,. !2]), в {3) изучены поверхностные волны на границе упругоя среды и кевдкости, без учета граонтацин. Б общем случае таких формул нет.
Первый естественный шаг в исследовании такой модели состоит в получении теорем существования и единственности решения и нахождении некоторых априорных оценок, . следующий в получении некоторых точных и асимптотических решений.
При этом по самой физической постановке задачи интерес представляет, во-первых, изучение решения задачи Коши на достаточно больших временах и, во-вторых, ситуация, когда дно бассейна неровное, что означает наличие в задаче переменных коэффициентов.
Цель работы состоит в доказательстве теорем существования и единственности решения системы дифференциальных уравнения в частных производных, описывающей распростреиие волн в жидкости находящейся на упругом основании, и построении некоторых точных и асимптотичес -ких решения этой системы.
Методика угалдпорания . В работе используются методы общей теории дифференциальных уравнения в частных производных для получения теорем существования и единственности и методы построения точных решения, основанные на представлении решения задачи Коши в виде интеграла Фурье и последующего его анализа [4, 5J. Кроме этого, исполь-
[21 Зволинския Н.В., Никитин И.С., Секерж-Зенькович С.Я. Генерация волн
цунами и волн Рэлея гармоническим центром расширения// Изв АН СССР.
Физика Земли. 1991. ЬР 2. С.34-44.
13) Молотков И.А., Крауклис' П.В. Смешанные поверхностные волны на
границе упругой среды и жидкости//Изв. АН СССР. Физика Земли, 1971. №
Й.
зуются методы построения асимптотических решения псевдодифференциальных уравнения, развитые в работах [6-81.
Научная цошша . В диссертации:
доказано существование и единственность решения задачи Коли для уравнений, описывающих волновые движения в слое жидкости, находящейся на упругом основании;
в случае, когда граница раздела жидкости и упругого полупрост -ранства горизонтальная плоскость, решение задачи представлено в виде интеграла Фурье;
- построены асимптотические решения задачи о волновом ноле
источника, локализованного в упругом полупространстве;
- s квазиклассическом приближении исследованы эффекты, вызванные
неровной границей раздела жидкости и упругого полупространства..
Практическая ценность. В диссертации получены асимптотические решения задачи о волновом поле источника, расположенного в упругом полупространстве и формальное асимптотическое решение задачи о распространении волн в жидкости на упругом основании при плав^ ч
(4]Березанския Ю.М. Разложение по собственным функциям самосопряженных операторов. Киев: Наукова думка, 1965.
[5] Мизохата С. Теория уравнения с частными пронзводными.М.:Мир,1977. [б] Маслов ВЯ Операторные методы. М.:Наука, 1973.
[7] Маслов ВЛ., Федоркж МБ. Квазиклзссическое приближение для уравне -кип квантовой механики. М.:Наука, 1976.
[В] Доброхотов СЮ. Асимптотики поверхностных волн, захваченных берегами и неоднородностями рельефа дна// ДАН ООСР. І986.Т.289, №3. С.575-579.
изменении глубины. Результаты могут быть использованы при изучениі прог-*сов возбуждения и распространения волн цунами.
Апробация райохы. Результаты диссертации .докладывались на Всесок ном совещании по численным методам в волновой гидродинамике (Росто; на-Дону, 1990г.), Всесоюзной конференции го цунами (Горький, 1990г.) научных семинарах Института проблем механики РАН и Московско института электроники и математики (1990- 1993гг.).
ЦДсишии . По результатам диссертации опубликовано 4 работы (с список в конце автореферата).
Структура. и_сйьш42аОлы. Диссертация состоит из введения, трех глг и списка литературы (41 наименование), она содержит 101 страницу машинописного текста.