Асимптотики решений сингулярно возмущенных систем типа реакция-диффузия-перенос Левашова Наталия Тимуровна

Содержание к диссертации

ВВЕДЕНИЕ 4

ГЛАВА I. О СИСТЕМЕ ТИПА РЕАКЦИЯ-ДИФФУЗИЯ-ПЕРЕНОС

В СЛУЧАЕ МАЛОЙ ДИФФУЗИИ И БЫСТРЫХ РЕАКЦИЙ 22

1. Постановка задачи 22

2. Построение асимптотики решения 23

1. Главные члены асимптотики 23

2. Асимптотика первого порядка 27

3. Сглаживание негладких регулярных членов асимптотики 29

4. Угловые пограничные функции 31

5. Погранслой в окрестности х-1 35

3. Оценка остаточного члена 35

ГЛАВА П. АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЯ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННОЙ
СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ РЕАКЦИЯ - ДИФФУЗИЯ В ТОНКОМ
СТЕРЖНЕ 40

1. Постановка задачи 40

2. Построение асимптотики решения 42

1. Регулярные члены асимптотики 42

2. Погранслой б окрестности начального момента времени 44

3. Погранслой в окрестности грани {х= 0, 0 < у < 1, О < t < Т} 51

4. Угловой погранслой в окрестности ребра {х = 0, 0 < у < 1-, t — 0}. .58

5. Вспомогательные члены асимптотики 65

6. Погранслой в окрестности грани {х= 1, 0< у< 1, 0 < t< Т} 68

3. Оценка остаточных членов асимптотики 69

4. Асимптотика произвольного порядка внутри стержня 74

ГЛАВА III. АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЯ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННОЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ РЕАКЦИЯ - ДИФФУЗИЯ В ТОНКОМ СТЕРЖНЕ В СЛУЧАЕ БЫСТРЫХ РЕАКЦИЙ ВО ВТОРОМ

УРАВНЕНИИ 80

1. Постановка задачи SO

2. Построение асимптотики решения 82

7. Регулярные члены асимптотики 82

8. Погранслой в окрестности начального момента времени 85

9. Погранслой в окрестности грани {х = 0, 0 < у < 1, 0 < t < Т} 91

2.4. Угловой погранслой в окрестности ребра {х= 0, 0 < у < 1, t = 0}..99

5. Вспомогательные члены асимптотики. 105

6. Погранслой в окрестности грани {х=1, 0<г/<1,0<<7} 108

3. Оценка остаточных членов асимптотики 109

1. Асимптотика первого порядка 109

2. Асимптотика произвольного порядка внутри стержня 109

4. Дополнение к главе ЇІЇ. Доказательство леммы из л. 2.3 ПО

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 117

Введение к работе

Теория сингулярных возмущений даёт эффективные методы решения многих задач математической физики. Разработка этой теории была начата в трудах А.Н. Тихонова [1], [2], [3]. В настоящее время существует большое разнообразие методов исследования сингулярно-возмущенных задач. К их числу относятся метод пограничных функций [4], [5], [6], метод усреднения [7], [8], метод регуляризации сингулярных возмущений [9], методы теории релаксационных колебаний [10], [11] метод сращивания асимптотических разложений [12], методы типа ВКБ [13] и другие. Вместе с тем, прикладные задачи приводят к необходимости рассмотрения новых классов сингулярно-возмущенных задач и модификации известных методов.

Диссертация посвящена исследованию асимтотического поведения решений систем нелинейных сингулярно возмущенных параболических уравнений. Такие системы возникают при математическом моделировании в задачах химической кинетики, при изучении процессов тепло- и массопереноса в тонких телах и во многих других прикладных задачах. Физическая природа малых параметров, входящих в уравнения, может быть различной. Это могут быть: малые коэффициенты диффузии; малые величины, обратные константам скоростей быстрых реакций в задачах химической кинетики; отношение характерных размеров в поперечном и продольном направлениях при изучении процессов в тонких телах и т. д. Во многих задачах возникает не один, а несколько малых параметров, либо различные степени одного малого параметра.

Разнообразие возможных вариантов вхождения малого параметра в уравнения системы весьма велико. Задача состоит в том, чтобы выделить какие-то классы уравнений, допускающие применение тех или иных асимптотических методов. В настоящей работе рассмотрены два класса систем, к которым удается применить с определёнными модификациями метод пограничных функций [4]. Первый класс систем характерен для задач химической кинетики (он рассмотрен в главе I), второй — как для описания химических процессов, так и для задач тепло- и массопереноса в тонких телах (главы II и

III). Результаты, представленные в диссертации, обобщают на случай систем уравнений теоремы об асимптотическом поведении решений, доказанные ранее для скалярных задач [14], [15]. В случае систем уравнений усложняется как сам алгоритм построения асимптотических разложений для компонент решения, так и обоснование построенной асимптотики. Доказательство существования решения и оценка остаточных членов асимптотики для системы уравнений - гораздо более сложная проблема, чем для скалярного уравнения. В задачах, рассмотренных в диссертации, удалось решить эту

5 проблему с помощью асимптотического метода дифференциальных неравенств [16], [17], № [19]-

Остановимся кратко на содержании диссертации. В первой главе рассматривается система уравнений типа "реакция - диффузия - перенос" ди ,, , ди ₃ , , д²и 1 , . —+ Ь(х) є аЛх)—- = — Ди, v, х, t,e), dt ^{v J} дх ^Л ' дх² е dv _ , _Л dv j ,,5 1 ₁, , . + о(ж)- є а₂{х)~-^- —kf(u,v,x,t,s) (і) і . -_ч_, - ~,„~, .,- =—kf(u.v.x.t.s) _ dt дх ² дх¹ которая получается при математическом описании процессов химических превращений двух веществ в случае малой диффузии и быстрых реакций. Здесь u(x,t), v(x>t) - концентрации веществ, Ь Сху > 0 - скорость переноса, е~а,_х (х) > 0., s²a₂ Сс) > 0 - коэффициенты диффузии, є > 0 - малый параметр (диффузия мала), к = const > 0.

Функции в правых частях уравнений описывают химические реакции, причем множитель і/є показывает, что реакции быстрые. То обстоятельство, что правые части уравнении отличаются лишь постоянным множителем, характерно для многих задач химической кинетики.

Система (1) исследуется в области Сі = (0 < х < Г) х (0 < і < Т) с начальными условиями: u\_m =

Согласованность начальных и граничных условий не предполагается; то есть, вообще говоря, <рЬ)\_{хш0іХГ±1} * О, ^)Ц,₌₁ * 0.

Системы из двух параболических уравнений типа реакция-диффузия-перенос с различным вхождением малого параметра исследовались в [20], Система (1) - другого типа, нежели рассмотренные в [20]. Она была рассмотрена в [21] в случае линейных функций относительно ик vs правой части системы. В данной работе, в отличие от [21], линейность функции f не предполагается, что делает как построение асимптотики, так и доказательство оценки остаточных членов более сложными задачами по сравнению с [21].

Построение асимптотики по малому параметру є решения задачи (1)-(3) проводится с помощью метода пограничных функций [4] при определённых условиях.

Условие 1.1. Достаточная гладкость функций /, Ь (х), а (х), а₂ (ж), <р (ху и у/ (х).

При є = О задача вырождается в одно уравнение f(uo,va,x,t,0) = Q. (4)

Условие 1.2. Пусть вырожденное уравнение (4) имеет решение относительно-^: где/- достаточно гладкая функция, причем ^(й_п,^{^,ж,і),ж,і) <0, f₀{u_Q, %(u_Q,x,t),x,tj >0 при fe,:c,i) є I х Q, /- некоторый интервал.

Решение вырожденной системы можно записать в виде «о =a₀(x,t); va =^(«„,!,*), (5) где Оо(х,і) - произвольная функция. Тем самым, система (1) относится к критическим случаям - вырожденная система имеет семейство решений. Следует отметить, что существование семейства решений у вырожденной системы характерно для многих задач химической кинетики.

Для решения задачи (1)-(3) была построена равномерная в Q = (0 < ж < 1) х (0 < t < Т) погранслойная асимптотика по малому параметру $ с остаточным членом порядка є . Вследствие несогласованности начальных и граничных условии в постановке задачи некоторые члены асимптотики оказываются не гладкими на г ds характеристике t = -— = В (а;) . Это приводит к необходимости применения процедуры сглаживания [20], [22], [23].

Асимптотика решения имеет вид:

7 і U(х,t,a)= X[% (^ж>*>) ⁺ ^*П.и(ж,т)] + ^и(i) + ^u(I,г) + +^«(0 + ^^07,*),

1 V (ж, *, *) = Z [А (*> *> *) ⁺ **П. v(ar, г)] + ^ ( 0 + */>v ( г) + +^^,0 + ^^(^4

Здесь й. (я, і, ), ii.(a;,i,ff) - сглаженные регулярные члены асимптотики (г = 0,1). В частности, « и ₀ получаются в результате сглаживания функций «₀ и г^, выражения для которых (см. (5)) содержат функцию <э^(а;,й).

Уравнение для функции ад(х,) получается из условия разрешимости задачи для й_р \ . Оно оказывается уравнением в частных производных первого порядка да_п да, , , ^ _{+ &(ї)}^ _{= Л(її|і) (6)} ot дх ^к ' = В(х) уравнения (6), выходящая из точки (0,0), разделяет область О, на две части: tB(x). Для определения с%(ж,і)в каждой из этих областей требуются дополнительные условия соответственно при t = 0 и X = 0.

Начальное (при t = 0) условие для определения Оф(ж,) получается при построении пограничных функций Il₀u , U_gv.

Для пограничных функций П₀и(ж,г)_? П₀«(ж,г)( т = ije) - главных членов погранслойной части асимптотики Пи, Hv в окрестности начального момента времени - имеем систему уравнений (х входит как параметр) —^ - / (йф, 0) + П₀г: (ж, т) ДДя, 0) + П^я, <МД 0), от -— = -А/ («о (ж, 0) + П₀и (ж, т),« (ж,0) + U₀v (х,т),ж, 0,0) с начапьньми условиями:

П>(ж, 0) = <р(х) -а_о(х,0), n_tv(x, 0) = ф) - % (а₀ (я, 0), х, О). (8)

Кроме того, потребуем стремления П - функций к нулю при 1~><х>. В силу этого требования из системы (7) следует равенство: U₀v{x_t-z) = -kn_ou(x,z), (9) и система (7) сводится к одному уравнению: --^-/(^(^0) + ^^(2:^),^(^0)-^^^(^^),^0,0). (10)

Точка И₀и - 0 является точкой покоя этого уравнения, асимптотически устойчивой в силу неравенства /_и - kf_№ і < 0 (см. условие 1.2).

Подставляя в равенство (9), взятое при г = 0, значения П₍₎ад(ж,0)_? П₀г>(ж,0), определённые равенствами (8), получаем уравнение ^Сж)-^(аг₀(ж,0),ж,0) = -А;(р(аО-аг₀ (ж, 0)) (11) относительно Ос(ж,0), то есть относительно функции ао(х,і) в начальный момент времени.

Условие 1.3. Пусть уравнение (11) имеет решение а,(х,0)=Ф₀(х). (12) такое, что начальное значение ГТ₀и(аг, 0) = <р(х) - Ф₀ (ж) принадлежит области влияния точки покоя П₀и = 0 уравнения (10).

Тогда решение уравнения (10) с указанным начальным условием имеет экспоненциальную оценку

П₀и(ж,т) < (7ехр(-эет).

Буквами Си as здесь и далее обозначаются подходящие положительные числа.

Функция a₀(x,t) в области t < В(х) определяется как решение уравнения (б) с начальным условием (12),

Условие I. 4. Пусть уравнение (6) с начальным условием (12) имеет решение при О

Для определения щ(х,і) в области t > В(х) требуется граничное условие при х = 0.

Оно получается при рассмотрении пограничного слоя в окрестности граничной точки 1=0. Характерной особенностью данной задачи является то, что граничное условие для функции Ooix-jt) оказывается нелинейньш краевым условием III рода (см (15)). Пограничные функции Qu(^t) Qv{^t), % = х/е, описывающие этот погранслой, начинаются с членов порядка е. Они определяются из системы уравнений (t входит как параметр) ^0)^--^(^(0,0^)^-^(^(0^)^)^, _{где/4аЬ(ао.*)=лК№0^(^(а*)»о,*)д*),хК(ао.О=^К(ао.^№*)'}⁰_'')'⁰_'*)^> с граничными условиями:

Кроме того, потребуем стремления (^-функций к нулю при -> со. Решив задачу (13)-(14), получим <2i«, Qi_v , зависящие от 0^(0,t), при этом для любых ( имеют место оценки: \Qp{$,t)\ < С ехр (-*), \0?(&)\ <, Сехр(-&). Подставляя найденные выражения для Q_xu и Q-^v в (14), получаем систему двух уравнений, из которой следует нелинейное граничное условие для щ{х$ при х = 0: p(a_a(Q_}t),t), (15) где р(а₀ (0,0^) = ^(^0(0.0^)^4^0(^0^^)^(^0(⁰^).⁰^)^ Z(a_Q)x_tt) = /„ ia₀,z(a_a,x,t)_tx,t) -kf_v {а₀,%(а₀,х^),х,^ < 0, в силу условия 1.2.

Используя (15), найдем a_a(0,t). Для этого положим в (6) х= 0. Получим уравнение

ОТНОСИТеЛЬНО ОЦ)(0,і). ^^1 = /((^(0,0,0^)-^(0)1)(^(0,0^). Положив в (12) х = 0, найдем начальное условие для этого уравнения: аь(0,0) = Ф₀(0).

10 Условие J. 5. Пусть существует решение задачи (16) - (17) при 00(f). Таким образом, для определения Оц(х,) в области t -В(х) имеем уравнение (6) с граничным условием a_o(0,t) = ^(О- Потребуем, чтобы выполнялось

Условие I. 6. Пусть уравнение (6) с граничным условием а₀ (0, t) = Ч'₀ (t) имеет решение при 0 < х< 1, В{х)

Итак, функция а₀(х,^} , а потому и функции гГ₀, v₀ (см. (5)) полностью определены. (Предполагаем, что значения функции w₀ принадлежат интервалу I из условия 1.2). Определены также функции П₀и(х,т) , U₀v(x,r) и ( «(,*) , Qiv(g,t). Функции \ и v_Q непрерывны в Q, но, вообще говоря, не гладкие на характеристике % - В{х) уравнения (б).

На этой характеристике они имеют скачки производных. Для получения гладких членов асимптотики вместо м₀ и tT_Q вводим сглаженные функции ₀ и v . Процедура сглаживания описана в п. 2.3.

Функции первого приближения й , v и П^ , Tl_tv определяются аналогично функциям нулевого приближения.

Отметим, что П - функции вносят невязки в граничные условия (3), a Q - функции - в начальные условия (2). Для устранений этих невязок строятся угловые погранфункции, которые оказываются негладкими на характеристике t = xib (0), выходящей из угловой точки (0,0). В окончательную асимптотику решения входят сглаженные угловые погранфункции і^и(^,г), P^u{^,z). Эти погранфункции экспоненциально убывают по каждому из своих аргументов на бесконечности. Для устранения невязок, вносимых в уравнения (1) и дополнительные условия (2) и (3) в результате сглаживания, вводятся так t- В (%}называемые функции переходного слоя 5^ (^, i), Sv(g,t), где = '— и (*-%(0))

Ти (/?, г), Т v (jj, т), где rj - »-г-—-. При удалении от характеристики t = В(х)

Л А є^/г S - функции убывают по закону сехр(-е"²}, а Т -функции убывают по закону еехр(-є(г + \т]Щ при удалении от точки (0,0),

Теорема 1.1. При достаточно малых е задача (1)-(3) имеет единственное решение u(x,t,6), v(x,t,s), а функции JJ, Vявляются его равномерным в О, асимптотическим приближением с точностью О (я²), то есть, ms^\ii(x,t, є) — U{(c,t, )] = О^є²}, max [v (&,*,) -V(x,t,s)\ = 0(є²\.

Доказательство теоремы проводится с использованием асимптотического метода дифференциальных неравенств.

Вторая и третья главы диссертации посвящены задачам для систем уравнений параболического типа в тонких телах, то есть в такой области, у которой одно го пространственных измерений много меньше других. Рассмотренные задачи являются обобщением задач для скалярных уравнений, описанных в [14] и [15]. Во второй главе рассматривается система уравнений реакция-диффузия ^«^--^-/(u,!),^), L₂ivl = ~ -А^в = g(u,v,x,y',t) (18') в тонком стержне - прямоугольнике { 0 < ж < 1; О й у' < є} при 0 < і < Т. Здесь и и v можно трактовать как концентрации веществ, коэффиценты диффузии которых существенно различаются - порядка е и 1, соответственно.

Источники веществ, в частности, химические реакции описываются функциями /и g.

Известны концентрации веществ в начальный момент времени: u\t=o = ф{х,у'), v\t=o = ip(x_yy^r), (19') а также, на торцах стержня: uk=o =u{y^f,t)_t иі_ж=о =v(y\t)_> u\_a=i=i^{y\t)_r wl*=i =v^l{y'_}t). (20^і)

Частицы вещества свободно уходят через боковые стенки стержня у' = 0 иу' = , что описывается граничными условиями III рода: ди . ^ — -Аи \ду ^и , л (21') ^(д" -л⁴ --j + Bv гдеАъВ-положительные постоянные.

12 Начальные и граничные условия предполагаются согласованными: р<0,р,є) = «(і/Д<О, ф(0,у,е)= v(y,0,e), V?(l,y,) = и^г(у^є), фіХу.є) = г>^х(2/,0,<г).

В третьей главе рассматривается система уравнений с теми же операторами Ь_г и L₂, что и в (18^s) и с мощным источником внутри стержня, который математически описывается коэффициентом 1/г перед функцией, стоящей в правой части второго уравнения: ^е«їз—-^« = /(«,«,2;,^,*), L₂ivl = — - A^v = -g(u,v,x,y',t). (22')

Дополнительные условия в постановке задачи третьей главы имеют вид (19')-(21 ') В ходе решения систем уравнений (18') и (22') целесообразно произвести замену переменной у' = Щ, что позволяет перейти к области D = (0 < х < 1) х (0 < у < 1) х (0 < t <Т), более удобной для решения задачи.

В новых переменных системы (18') и (22') принимают вид:

Ы 2 $²и д^2ц dt ~ ^S дх² бу² (x,y,t)eD; (IS) ^є ^7""^ ~^Гг ~^Гг ^{= е} 9(u,v,x,y,t,e), dt дх су at ох ду (x,y,t)^D; (22)

2 dv 9 0²t; Э²г> ^ .

Дополнительные условия (19')-(21') принимают вид: U\t=0 = ф(х,у,), V\t=0 =y/(x,y,), nl^o = и^и(у,і,гг), v\^q =v^u(y,t,s) «b=i = u^l(y,t,s), «b=i = v^l(y,t,s).

5 . ду j,= 0 — + Am ffjBt» -0, — + sBv\\ =0,

Для построения асимптотики решения применяется процедура метода пограничных функций, причем разложение ведется по степеням -J~ .

Для этих задач построены равномерные во всей области погранслойные асимптотики решений с остаточными членами порядка 0(e). Кроме того, построена и обоснована асимптотика произвольного порядка по г внутри области вне малых окрестностей границ х = 0 и х = 1.

Асимптотика решения состоит из регулярной и погранслойной частей: U = u + Uu + Tu + Ru + Qu + Nu + Mu + Pul-Su + +R*u + Q*u + N"u + M*u + P*u + S*u, V = v +Tlv + Tv + Rv + Qv + Nv + Mv + Pv + Sv + +R"v + Q*v + N*v + M*v + P*v + S*v.

Здесь и = u_a + -Jsu + єи₂ +..., v — v_Q + 4sv_l + sv₁ регулярные члены асимптотики. Остальные слагаемые описывают различные типы погранслоев, возникающих в данной задаче.

Вырожденная система (при є = 0) распадается на две отдельные задачи: = О, 0 < у < 1; ду "⁼⁰

Общее решение каждой из них есть произвольная функция переменных х и і:

Таким образом здесь, как и в главе I, имеет место критический случай.

Уравнения для определения функций ц,и / получаются из условий разрешимости задач для функций й₂ и v₂. При этом в случае системы (18) получаем /?₀ = 0. В случае системы (22) из условия разрешимости задачи для функции % получается уравнение, связывающее функции сщ Д,: G(a_o,0_u,x,t) = O, (24) где G(a,j3,x,t) = g(a,fi,x,t)-2B/3. Здесь и далее символ ^Л над обозначением функции і означает усреднение по у: g(a>_Q,/3,x,t) = і g {а₀, /3, ж, г/, і, 0 )cfa/.

Уравнение (24) нелинейное, поэтому в случае системы (22) потребуем выполнения следующего условия:

Условие ІЇ.1. Пусть уравнение (24) имеет решение Д = h(a₀,x,t\ и пусть G (a^hia^xjYxM < 0 при (a₀,x,t) є 7x5 , /-некоторый интервал.

Считая / известным, как в случае системы (18), так и в случае системы (22) из условия разрешимости задачи для функции и₂ получаем уравнение для функции ащ: ^ = F(

Начальное условие, необходимое для однозначного определения a₀(x,t), получается при построении П₀« - главного члена погранслойной функции Пи,

В окрестности t = 0 погранслой описывается функциями двух типов, зависящими от разных растянутых переменных: Тій (х, у, t, s), Hv (х, у, т, s) и Ти (х, у₇ s, є), Tv (х, y,s,s~), где т = tjs, s ~ t/є². Как и регулярные члены, эти функции представляют собой ряды по степеням V?.

15 Для функции П(>и(ж,у,т) получается начально-краевая задача параболического типа, которая решается при помощи метода Фурье. В начальное условие для TIqu аддитивным образом входит функция а₀ (х,0) - начальное значение функции а₀ (x,t). Требуя убывания По^ при % —> со, получаем а₀(х,0) = ф^х\ (26) где функция <ро - главный член разложения функции <р по степеням ^/є . При этом для функции Пои имеет место оценка: |П₀та (ж, у, т)| < с єхр (-йег) (27)

Потребуем выполнения следующего условия: Условие ІЇ.2. Пусть для каждого х є [0,1] существует решение a₀(x,t) еIуравнения (25) с начальным условием (26).

Для функции Uqv - главного члена погранспойной функции Ш - получаем задачу вида (23), общее решение которой есть произвольная функция переменных а; и г: ⁿo« = ^(^)-Из условия разрешимости задачи для Tlj) (х, у, т) получаем уравнение для функции (т₀. Оно имеет вид ^ + 2Ва₀=Пд(а₀,х,т), (28) где Tig - функция известного вида, нелинейная относительно а₀ в случае системы (22), и Tig = 0 в случае системы (18). Начальное значение о^- (ж,0) находим при построении функции T_av (ж, /, s). Требуя убывания 1 при т -* со, находим <7₀(ж,0) = ^₀(_Ж), (29) где функция ^о - главный член разложения функции iff по степеням */ . При этом для функции Тои имеет место оценка:

Т₀і;(ж,у,*)| < cexp(-aes) (ЗО)

В случае системы (22) уравнение (28) для функции oq нелинейное, поэтому необходимо потребовать выполнения следующего условия:

Условие 11.3. Пусть для каждого х є [ОД] существует решение Q(x,r) уравнения (28) с начальным условием (29), имеющее оценку типа (27).

Можно показать, что при достаточно малой величине ||сг₀ (х, 0) - ^₀ (ж)| условие П.2 выполняется.

Отметим, что в случае системы (18) это требование излишне, так как уравнение (28) при Пд = 0 с начальным условием (29) имеет единственное решение, удовлетворяющее экспоненциальной оценке (27).

С помощью приведенного алгоритма можно построить регулярные члены, а также погранфункции вблизи начального момента времени t = 0 до любого порядка. При этом функции T_fu тождественно равны нулю при і = 0,1,2,3, а при і = 4,5... определяются из обыкновенных дифференциальных уравнений с дополнительным условием убывания на бесконечности. Для функций Т,и имеет место оценка типа (30).

В окрестности грани х = 0 параллелепипеда погранслой описывается также пограничными функциями двух типов, зависящими от различных растянутых переменных: Ru (С, у, t), Rv ((, у, і), Qu (,у, t), Qv (f, y, t), где ( = a/Ve ; = з/є.

Для функций Ru и Rv получаем задачи вида (2), общие решения которых суть произвольные функции переменных С, и Ї:

Из условий разрешимости задач для R₂u и R₂v получаем систему уравнений следующего вида для определения функцийро(C,t) и уоСС,*): ^-^ ₊ 2Ap_D=Rf(p₀,y₀^t)._ Rf и Rg- нелинейные функции известного вида, причем в случае системы (18) Rg = 0. В этом случае уравнения системы (31) можно рассматривать отдельно: сначала из второго уравнения определяется функция y₀(,t), а затем, зная %(,t), из первого уравнения

17 находим функцию А (*) В случае же системы (22) возникает более сложная ситуация - система уравнений (31) относительно функций р₀ и у₀ представляет собой систему специального вида, состоящую из параболического и обьжновенного дифференциальных уравнений.

Граничные условия для системы (31) определяются при рассмотрении начально-краевых задач для функций Q_Qu и Q_av, и имеют вид: р₀(0,0 = <()-а₀(0,*), у₀(0,*) = й₀(О-А,(0,0> (32)

Функции Q₀un 0₀w имеют оценку |Q„w(&*)|< с ехр (-«).

Поскольку первое уравнение в (31) - параболическое, то для однозначного определения />о необходимо задать начальное значение р₀ (0, t). Оно находится при построении угловой погранфункции N₀u(,y,T) и имеет вид:

Л (0) = 0 (33)

Начальное условие (33) и первое из граничных условий (32) оказываются согласованными до непрерывности в точке (0,0).

Уравнения, входящие в систему (31), нелинейные, поэтому потребуем выполнения следующего условия:

Условие II.4. Пусть существует решение рц(С$ , Уо(С,і) задачи (31)-(33), имеющее оценку типа |/>₀(<Г,ф с ехр (-*). (34)

Можно показать, что Условие П.4 выполняется при достаточно малых величинах [л(о,ОІ> |ЫЧ|-

В случае системы (18) нелинейной будет лишь задача для po(C,t), а для уо(С$ получается линейное обыкновенное однородное дифференциальное уравнение второго порядка, которое вместе со вторым граничным условием (32) и условием убывания

Уо(С,}^>0 при —+ да однозначно определяет функцию уо(С)*)_? Для которой справедлива оденка типа (34). Условие ЇЇ.4. в этом случае формулируется лишь для задачи, определяющей функцию po{C,t)-

18 Та же схема применяется при построении функций В^и , R_xv, Q_Yu , Q-{» . При этом получаем Q_xu = 0, Q^i = 0, а отличными от нуля в случае системы (22) оказываются лишь функции i?jU = Pi(,t) и Е_гу - у_г{_}І); в случае системы (18) отлична от нуля только функция р₁, а Ух = 0-

Из условия разрешимости задач для Д₄и(#,) и R^v^y^i) получается система уравнений типа (31) для функций /?₂{t), у₂($> причем, уравнение для функции p₂(,t) параболическое. Начальное условие для р₂(СА получается при рассмотрении задачи для N₂u(,y,T). При этом оказывается, что начальное и граничное условия для функции p₂(C->i) не будут согласованы в точке (0,0). На этом итерационный процесс построения функций RiU и Qi% прерывается, так как при помощи стандартного алгоритма не удается построить непрерывную в D функцию р.₂.

Функции Іі_еи (х,у,т)„ Л^(х,у,т), T₀v(x,y,s) вносят невязки в граничные условия (20), а функции g_ow(|,i/,i), Q₀v(,y,t), ^u(C,y,t), R₀v(C,y,t) и R^{C,y,t) - в начальные условия (19). Вблизи ребра ж = 0, t = Q эти невязки имеют порядок 0(1) и экспоненциально убывают при удалении от ребра.

Для устранения указанных невязок строим угловые пограничные функции. Здесь возникает четыре типа угловых погранслойных функций, зависящих от каждой из пар растянутых переменных: Ри(^,у,г) и Pv(%,y,T), Nu(C,y,i) и Nv(C,y,t), Mu($,y,s) и Mv(,y,s), Su{lj,y,$) и Sv(%,y_ys). Эти функции представляют собой ряды по степеням -Js . Для тех слагаемых, которые входят в окончательную асимптотику решения, применяя стандартный алгоритм [4], получаем: M#s, = О, S^ = 0,г = 0,1,2. Для функций N_tu, і = ОД,2, получаем задачи параболического типа, которые реіпаются при помощи метода Фурье. В начальные условия для функций Np аддитивным образом входят неизвестные фунісции Pi(Cfi) ~~ начальные значения функций р_{. Эти функции определяются из условия N_{u — О при т->оо. При і = 0,1 получаем JV^m = 0, остальные слагаемые ряда Nu не входят в асимптотику решения с точностью 0(є). Отличной от тождественного нуля оказывается

19 лишь функция Р_йи . Она определяется как решение начально — краевой задачи параболического типа, находится в явном виде при помощи метода Фурье и имеет оценку

Функции Nfl , г = ОД определяются из задач вида (23) и представляют собой произвольные функции переменных и т : N_tv = v_;(t). На следующем шаге из условия разрешимости задач для N_{i +2}v получаются уравнения параболического типа для функций

2JL-ZL + 2Bv = Ng (v, , r). (35)

Начальные значения Vj(<0) находятся при решении задач для М(и , а граничные значения у_;(0,г) -при решении задач для функций Рр.

Функции MfV , і - ОД, определяются из начально - краевых задан параболического типа. В начальные условия для Мр входят аддитивно функции ^0). Они определяются из условия M_{v = 0 при s—>о и имеют вид: <0) = -*(#>)* (36) где % - суть решения задач типа (31) - (33).

Функции P{u , і = ОД, определяются из задач эллиптического типа. В начальные условия для Рр входят аддитивно функции Vi(0,r) - значения v± при % = 0. Они определяются из условия Pfl = 0 при оо и" имеют вид: уД0,т) = -ф,т), (37) где о; - суть решения задач типа (28), (29).

Функции M_;v и P_tv оказываются тождественно равными нулю.

В случае системы (18) функция Ng s 0 и v_i находятся в явном виде. Для %(<^,т) имеет место оценка: ІуД^фсехр^С+г)), (38)

20 a Vj = 0.

В случае системы (22) для функции v₀ получается нелинейное параболическое уравнение. Поэтому требуем выполнения следующего условия:

Условие П.5. Пусть существует решение г₀(т) задачи (35)-(38), имеющее оценку типа (38).

Как в случае системы (18), так и в случае системы (22), функции S_tv , і — 0,1, определяются из начально - краевых задач параболического типа. Для функции S₀v имеет место оценка: |5₀« (& У, *)| с exp (-re ( + s)), a 5_вгі s 0.

В окончательную асимптотику решения входят ещё пограничные функции, описывающие погранслои в окрестностях грани х = 1 и ребра {х=1,0 < у < 1, t~ 0}. Эти функции аналогичны погранфункциям, построенным, соответственно, в окрестности грани х = 0 и ребра {ж— 0, 0 < у ^ 1, — 0}. Они зависят от растянутых пространственных переменных

С=—— и =—~/s є

Обозначим их так: R*u(C*,y,t)> R*v(C*,y$, Q"u{^y,t), Q*v{%»,y,i), Р*и(&,у,т), P*v(^,y,r), 1?и(&,у,т) , JVX^.y,!), A/*it(,y,s), ЛҐи(,у,я), &и(&,у,з), $v(^y,s). Введем обозначения; U₁ =a₀(x,t) + U₀u (x, у, т) + p_a (С, t) + -Js_Pl (, і) + Q₀u ($, у, t) + P₀u ( y₇ r) + ^ = ^(^) + 0-0^^) + ^^^^) + ^(^0 + ^1(^0 + ^^(^^^) + +v₀ (C,t) + ^ (,r) + S„t;(v>⁸) + y* (C,t) + V^r; (CO + Q₀*v(^,y,t) +

21 Теорема ІІ.1 (Теорема Ш,1). При достаточно малых є решения u(x,t,), v(x,t,s) системы уравнений (18) (системы (22)) с условиями (19)-(21) существуют и единственны, а функции U_} и V_L дают равномерные в D асимптотичеасие приближения этих решений с точностью 0(e), то есть, maxti-t/, - О (є); max г> — V = 0{є~).

При доказательстве теоремы II. 1 применяется асимптотический метод дифференциальных неравенств.

Внутри области вне окрестностей границ х = 0 и х = 1 удается построитв и обосновать асимптотику произвольного порядка по s.

Введем обозначения

11 1=0 D_g = (8 <: х < 1 - <У)х (0 < у < 1) х (0 < і < Т), где 5 > 0 - сколь угодно малое, но фиксированное при є —> 0 число.

Теорема ІІ.2 (Теорема Ш.2). Функции U_n , V_n являются равномерным в Ds асимптотическим приблиэюением для решения системы уравнений (18) (системы (22)) с условиями (19)-(21) с точностью 0(s^K+ ), то есть, шж\ч - U_n\ = 0(^¹). гшиф -V_n\ = 0(г⁺¹).

Таким образом, в диссертации построены и обоснованы асимптотические разложения по малому параметру для решений двух классов сингулярно-возмущенных параболических систем, служащих математическими моделями в задачах химической кинетики и б задачах тепло- и массопереиоса в тонких телах.

Похожие диссертации на Асимптотики решений сингулярно возмущенных систем типа реакция-диффузия-перенос

Асимптотическое исследование нелинейных нелокальных моделей типа реакция - диффузия - адвекция с пограничными и внутренними слоямиНикитин Андрей Геннадьевич

Цепочки Гюгонио-Маслова и особые вихревые решения системы уравнений мелкой воды Семенов Евгений Сергеевич

Алгебро-геометрические методы построения и решения дискретных интегрируемых системВольвовский Юрий Сергеевич

Контрастные структуры типа ступеньки в системах сингулярно возмущенных уравненийМельникова, Алина Александровна

Развитие асимптотических методов в моделях реакция - диффузия и их приложения в задачах о межфазовых переходахБожевольнов, Юстислав Владиславович

Существование, устойчивость, пространственные и временные асимптотики решений системы Навье - Стокса во внешних областяхСазонов, Леонид Иванович

Об асимптотике и оценках скорости сходимости решений системы уравнений Прандтля с малым параметром для ньютоновских и неньютоновских жидкостейРоманов Максим Сергеевич

Асимптотики решений сингулярно возмущенных краевых задач для системы уравнений теории упругостиДавлетов, Дмитрий Борисович

Асимптотика решений и методы исследования устойчивости состояния равновесия нелинейных систем дифференциальных уравнений Артемьева Елена Николаевна

Асимптотика решения некоторых сингулярных квазилинейных дифференциально-операторных уравнении и систем (Случаи кратных корней)Буряк, Дмитрий Владимирович