Дискретный спектр возмущенного периодического оператора Шредингера Хрящев, Сергей Викторович

Введение к работе

Актуальность темы. В физике твердого тала активно 'используется следующая математическая модель, Двиякяи э. зктронз описывается уравнением Шредингера с гамильтонианом - > + р , где д - оператор Лапласа в tR^d (обычно d = з), а р - периодическая функция, характеризующая поле кристалла.

Спектр такого гамильтониана полуограничен снизу, абсолютно непрерывен и имеет зонную структуру. Сравнительно недавно установлено (см. сп), что при d > . число лакун в спектре разве лишь конечно. "Собственные функции непрерывного спектра"

ИМеЮТ ВИД V_nU,x) = exp(i}f>_Tj(k,x), ГДе k,x є K^d, .. e W, a

P_n(k> - функции, гадающие по x периодичность решетки кристалла (теорема Флоке-Блоха). Функции е_п , удовлетворяющие уравнении

< -Д + р ) V_n(k) = E_n(k) y„(k> , НеПрерЬШНЫ И ИМЄЮТ ПО к

периодичность обр гног* решетки кристалл'. Объединение (ПО п б IN) образов функций к_л . совпадает со спектром рассматриваемого гамильтониана. Пусть функции е_п упорядочены по неубг^анию. Наименьшая функция в достигает минимума при к - о ; v,(0) не меняет знака; для всех п > і E_n > E_t в "їкоторой окрестности точки к = о ; функ. ,.!я E_t аналитична в этой окрестности и матрица ее вторых производных при к=о полмопвльча (см., например, С2]>.

В присутствии примесей движение электрона в кристалле описывают уравнением Шредшгерэ с гами.**-тонианом -д + р + q, где функция q стремится к нулю на бесконечности. Возмущени? <а вв мвняе*^- существенного сгоктра, но, вообще говоря, приводит к появление в лакунах дискретных уровней энергии. Дли исследования зтях доталнитедьных уровней гамильтониан -д * р + q часто заменяют другим, модельным. Именно, пусть участок непрерывного спектра оператора -д * р , „.римыкаюцйа к рассматриваемой лакуна с интересующей вао стороны, образован функцией в_п , а край сшктра - значением в_п<к₀>. Тогда берут главный член разложения Тейлора функции s„_n0> в окрестности точки к₀ и заменяют разность к - к_в на -і.?. При отсутствии вьфовдэвия прийм сводится к рассмотрении "модельного" ' эллиптического одарчтора. «div + q _t где л - постоялая

знакоопределенная dxd - матрица; матрица j-л"¹ соответствует тензору эффективных масс.

Описанный эвристический прием широко применялся в физике твердого тела и подробно описан в физической литературе. Строгих результатов по исследованию дискретного спектра в приближении, эффективных масс не много. Отметим работы [3-5], где рчь шла о случае d = і, и особенно работу [Б], аіз. В [6] исследуется асимптотика дискретного спектра по большой константе связи; в настоящей _Л аботе используются некоторые технические приемы из работы [6].

В представленной работе исследуются актуальные .для применений качественные и количественные .характеристики дискретного спектра в лахуне непрерывного.

Цель работы. В диссертации рассматривается дискретный спектр, появляющийся в лзкунах непрерывного спектра периодического оператора Шредингера при возмущении его исчезающим' еэ бесконечности потенциалил. Основное внимание уделяется условиям конечности и бесконечности спектра в лакуне и оценкам количества собственных значения при .а й і. В случае бесконечного спектра в лакуне исследуется вопрос об асимптотике собственных значений вбллзи края лакуны.

Методика исследования. Применяются техника спектральной теории возмущений и асимптота :еские методы математического анализа. Изучение дискретного спектра в лакуне сводится к изучению отрицательного спектра модельных операторов типа оператора Шредингера, существенный спектр которых совпадает с положительной полуосью. К модельным операторам, построенным по соответствующим эффективным массам, применяется вариационный метод исследования спектра.

Научная новизна. Все- основные результаты .диссертации являются новыми.

1. Выведены неравенства, связывающие суммарную кратность спектра в лакун для возмущённого периодического оператора Шредингера с числом отрицательных уровней модельного оператора.

2. Облучены условия на возмущающий (примесный) потенциал, обеспечивающие конечность или бесконечность спектра в заданной лакуне.

3. Найдены условия на примесный потенциал, гарантирующие

устойчивую (т.е. независящую от константы связи) конечность или бесконечность спектра в лакуне.

4. Получена асимптотика (по номеру) дискретного спектра в лакуне вблизи её края.

Научная и практическая ценность. Работа имеет теоретический характер. Полученные результаты представляют интерес как для специалистов по квантовой теории твердого тела, так и для специалистов по спектральной теории дифференциальных операторов. Развитая в диссертации методика может быть использована в других задачах о дискретном спектре в лакунах для дифференциальных операторов.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на xiv школе по теории операторов в фунгаг энальных пространствах <г.Новгород, 6-14 сентября IS89r.), на конференции "Порядок, беспорядок и хаос в квантовых системах" (г.Дубна, 17-21 октября 1889г.) и на xv Всесоюзной школе по теории операторов в функциональных пространствах (г.Ульяновск, 5-х2 сентября 1990г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано четыре статьи.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, шести глав, разбитых на параграфы, и списка литературы. Общий объем дассертацш 98 страниц машинописного текста. Библиография содержит II наименований.