Введение к работе
Объект исследования и актуальность темы. Работа посвящена аналитическому решению граничных задач теории скин-эффекта для невырожденной электронной плазмы, заполняющей полупространство.
Скин-эффект обусловлен откликом электронного газа (в металлической или газовой плазме) на внешнее тангенциальное к поверхности переменное электромагнитное поле с постоянной амплитудой.
В настоящее время изучение плазмы является актуальным в связи с различным практическим применением, развитием астрофизики, космофизики (наблюдением космической плазмы и объяснением процессов в ней) и физики верхней атмосферы Земли, особенно в связи с полетами летательных аппаратов, а также интенсификацией исследований по проблеме управления термоядерным синтезом.
Наиболее детальный метод описания плазмы - кинетический, с использованием системы уравнений Власова-Максвелла.
Предметом исследования являются граничные задачи теории скин-эффекта и методы их аналитического решения.
Впервые аналитическое решение аналогичных задач в полупространстве металла получили Ройтер и Зондгеймер. Одно из преимуществ их метода состоит в том, что полученная формула для вычисления импеданса не зависит от числа нулей дисперсионной функции, и, естественно, не требует их вычисления. К недостаткам метода следует отнести, например, тот факт, что электрическое поле и функция распределения электронов выражаются интегралами Фурье, что несколько затрудняет численные исследования.
Поэтому актуальной задачей математической физики является развитие аналитического метода решения различных краевых задач кинетической теории скин-эффекта.
Цель диссертационной работы - дать введение в аналитические методы решения граничных задач о скин-эффекте в максвелловской плазме с использованием кинетического уравнения Власова с самосогласованным электрическим полем и уравнения Пуассона на электрическое поле.
Научная новизна работы. В диссертации получен ряд новых научных результатов, связанных с аналитическим решением системы уравнений, описывающих поведение электронов и электрического поля в полупространстве максвелловской плазмы.
Как основной результат, в диссертации получено точное решение линеаризованной задачи о скин-эффекте с током смещения в максвелловской плазме с использованием кинетического уравнения Власова — Максвелла методом разложения по собственным функциям и методом источника. В качестве граничных условий используется зеркальное и диффузное отражение электронов от поверхности.
Проведен анализ полученных результатов. Исследованы предельные случаи скин-эффекта при нормальном и аномальном скин-эффекте.
Исследована структура дискретного спектра, который состоит из нулей дисперсионной функции.
Сформулирована и доказана теорема о том, что граничная задача имеет единственное решение, представимое в виде разложении по собственным функциям соответствующей характеристической системы уравнений.
Найдены точные выражения для импеданса в случае зеркальных и диффузных граничных условий. Исследовано поведения импеданса вблизи плазменного резонанса, т.е. когда частота колебаний внешнего поля принимает значение плазменной частоты.
Рассмотрено отражение и поглощение электромагнитной волны вблизи границы плазмы. Выяснена структура электрического поля. В явном виде получено выражение для профиля функции распределения электронов в полупространстве и на границе плазмы. Проведен анализ величины модуля электрического поля, а также ее действительной и мнимой частей в случае аномального скин-эффекта вблизи резонанса.
Научная и практическая ценность. Результаты работы относятся к теории аналитических решений кинетических уравнений. Отметим, по крайней мере, два направления проведенного исследования, имеющих прикладное значение: применение методов функционального анализа (теории обобщенных функций), методов краевых задач теории функций комплексного переменного для решения кинетических уравнений и применение полученных результатов при решении уравнений математической физики, в частности при исследовании явления скин-эффекта в максвелловской (неравновесной) плазме.
Личное участие автора. Постановка задачи и вывод системы уравнений принадлежат профессору А.В. Латышеву и профессору А.А. Юшканову. Результаты диссертационного исследования, касающиеся получения аналитического решения поставленной граничной задачи; анализ полученных результатов, изучение структуры электрического поля, отражение и поглощение плазменных волн проведены соискателем лично.
В работах [1, 2] соискателю принадлежит аналитическое решение поставленной граничной задачи, а в работах [3, 5] соискателю принадлежат также и теоретические результаты о свойствах найденного аналитического решения и исследование поведения импеданса.
Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались на конференциях, таких как:
ежегодная научная конференция профессорско-преподавательского состава МГОУ (Москва, 2006 - 2008 гг.);
ежегодная научная конференция профессорско-преподавательского состава МПГУ (Москва, 2006 - 2008 гг.);
Всероссийская заочная научно-практическая конференция "Актуальные проблемы обучения математике (К 155-летию со дня рождения А.П. Киселева)" (Орел, Россия, 2007 г.);
XXI Международная научная конференция "Математические методы в технике и технологиях" (СГТУ, Саратов, Россия, 27-31 мая 2008 г.);
Пятая международная научно-практическая конференция "Исследование, разработка и применение высоких технологий в промышленности" (Санкт-Петербург, Россия, 2008);
Школа-семинар "Нелинейный анализ и экстремальные задачи" (РАН Сибирское отделение, Иркутск, Россия, 24-30 июня 2008 г.);
Международная научная конференция "Физико-химические основы формирования и модификации микро- и наноструктур" (НФТЦ МОН и НАН Украины, Харьков, Украина, 2008 г.);
Международная конференция, посвященной 100-летию со дня рождения С.Л. Соболева "Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений." (Ин-т математики СО РАН, Новосибирск, Россия, 5-12 октября 2008 г.);
Международная научная конференция "Моделирование нелинейных процессов и систем" (МГУП СТАНКИН, Москва, Россия, 14-18 октября 2008 г.);
IV Международная научно-практическая конференция "Predni vedecke novinky - 2008" (Прага, Чехия, 1-15 сентября 2008 г.);
Пятая всероссийская конференция (МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, 26-28 января 2009 г.).
Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 17 работах соискателя, список которых приведен в конце автореферата. Статьи 1-5 опубликованы в изданиях, входящих в утвержденный ВАК перечень ведущих рецензируемых научных изданий, в которых должны быть размещены основные научные результаты диссертации на соискание ученой степени кандидата наук. В указанных публикациях содержатся все основные результаты диссертации.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и библиографии. Объем работы составляет 126 страниц текста, в том числе 34 рисунков. Библиография включает в себя 103 наименований, в том числе и публикации диссертанта по теме исследования. Каждая глава разбита на параграфы, имеющие двойную нумерацию с указанием на соответствующую главу. Формулы внутри каждого параграфа также имеют двойную нумерацию, с указанием на параграф; при ссылке на формулы из другой главы используется тройная нумерация, где первым идет номер главы. Рисунки имеют двойную нумерацию с указанием на главу.
