Введение к работе
Для гамильтониана атома водорода в магнитном поле рассматривается проблема построения систем когерентных состояний, а также проблема вычисления асимптотики его собственных значений и глобальных асимптотических собственных функций по малому полю и высоким квантовым числам.
Актуальность темы. Гамильтониан атома водорода в магнитном поле, помимо своей физической важности, представляет математический интерес как возможный пример неинтегрируемой квантовой системы. Важны любые новые представления етой системы и любая новая информация о спектре и о собственных функциях (как точных, так И приближенных).
Многие стандартные методы теории возмущений и квазикласснческого приближения для этого гамильтониана не работают вообще или малоаффективны из-за неинтегрируемости и из-за наличия кулоновской сингулярности. Поэтому актуальна разработка нестандартных подходов и, в частности, применение новых методов, основанных на квантовом усреднении и на теории когерентных состояний.
Когерентные состояния, отвечающие неоднородным фазовым многообразиям (т.е. не порождающиеся группами Ли) очень мало изучены. Любые примеры такого рода, особенно появляющиеся в реальной физической системе, представляют значительный интерес.
Цель работы заключается в построении новых систем когерентных состояний для гамильтониана, атома водорода в однородном магнитном поле, в использовании атих состояний для вычисления асимптотики собственных значений, а также в получении явных глобальных формул для асимптотических собственных функций этого гамильтониана.
Научная новизна. Найдены новые типы когерентных состояний, основанные на функциях Бесселя и гипергеометрических полиномах. С их помощью получены новые представления гамильтониана атома водорода в магнитном поле и представления его точных и приближенных собственных функций, а также новая асимптотика собственных чисел. Квантовый метод усреднения и метод редукции когерентных состояний развиты и применены в ситуации, где,они до сих пор не рассматривались.
Ценпость результатов. Получены явные расчетные формулы для спек- ' тра и собственных функций аффекта Зеемана. Разработанный метод применим к широкому классу квантовых систем. Полученные новые типы когерентных состояний носят универсальный характер и могут быть использованы в различных областях теории дифференциальных уравнений и математической физики.
Апробация диссертации. Результаты диссертации докладывались на XIII Международном, Коллоквиуме "Геометрические методы в физике" ( Бе-ловежа, 1994), на Совместном заседании семинара им. И.Г. Петровского и Московского математического общества (Москва, 1995) и в семестре "Квантование и хаос" (Париж, 1995).
Публикации. По теме диссертации опубликованы 4 работы:
[1] Карает M.D., Нонпкова Е.М. // Квадратичные скобки Пуассона в аффекте Зегмнна. Неприводимые представления И Когерентные состояния. УМН. 1004. Т. 49. Х«. 5. С. 1СО-170.
[2] Ката»iv M.V. and Novikovn Е.М. // Integra] representation of Ндг-пптг-tioiis ліні coherent stnte.s for Zerman effect. In: Quaiitiz., Coherent States шиї Complex Struct.; Л. P. Aiitoine ct al. (eds.) Plenum, N.Y. 1090. P. 201-2OS.
[3j Карасей M.B., Новмкава Е.М. Когерентные состояния над лаграи-жевыми многообразиями и интегральное представление волновых функций для задачи об" атоме водорода в магнитной поле. УМН. 1005. Т. 50. Л"«, 4. С. 100.
[4| Кнуассв hi.В., Нояпкпйа Е.М. Представление точных и квазиклассических собственных функций через когерентные состояния. Атом водорода в магнитном поле. ТМФ. 130G. Т. 10S. №3.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения и четырех глав, включающих в себя 13 параграфов.