Интегрирование солитонных уравнений с интегрируемыми граничными условиями Бикбаев, Рамиль Фаритович

Введение к работе

^иТ{;'^ Актуальность н^-су1чрственннй

теми. За последние три десятилетия был достиг-прогресс в ошсанииімногих явлений Природы, моделируемых нелинейными! дифференциальными уравнениями. Важную роль прж этом сыграло умелое использование компьютеров в исследовании некоторых ключевых для нелинейной науки проблем. Достаточно упомянуть численный эксперимент. Крускала и Забу.сского, приведший к рождению концепции солитона, открытие, Лоренцем странного аттрактора, универсальность Фейгенбаума я т.д.

Чисто аналитические достижения этих лет также следует признать выдающимися. Необычайно плодотворным оказалось соединение современных математических методов (функциональный анализ, теория групп, топология, алгебраическая геометрия и т.д.) с фундаментальными; физическими идеями. 20 века (калибровочные теории поля, парадокс Ферми-Щста-Улама, проблема турбулентности и др.)

Взаимное, проникновение, и конкуренция нетрадиционных, кдзй и методов позволили, совершить подлинную революцию в нелинейной науке. В настоящее время дажа в самые старые, классические области физики (гидродинамика, акустика, оптика, твердое тело) уже прочно вошли новые; фундаментальные понятия: аттрактор, солитон и др. В то же время нелинейные- исследования оказали, мощное встречное влияниа на современную математику, в том числе и на самые абстрактные ее разделы, такие, как маломерная топология и: квантовые группы. Преобразилась математическая физика, вновь, как во времена Ньютона и Эйлера, ставшая одной из наиболее плодоносных ветвей математики.

Одним из важнейших события в математической физике стало открытие в 1967 г. метода обратной задачи рассеяния (МОЗ), позволив шего "проинтегрировать"' знаменитое' уравнение Коргевега- де Фриза (Кдф)

tt₄ - 6и-м._х + -Ч-ХХ* - О ^ (J)

с нулевыми граничными условиями -и. (*.}-* О, 1*1 »

Открытие. МОЗ оказало влияние на замечательные аналитические достижения 70 - 80 годов, среди которых отметим следуицяе: I) Открытие и. детальное исследование обширных классов интегрируе-

мых систем тлій КдФ. -2) Создание метода конечнозонность интегрирования уравнений типа КдФ; открытие нетривиальных связей с классической алгебраической геометрией, теорией операторов, теорией систем гидродинамического типа. 3) Создание квантового метода обратной задачи (КМОЗ), обнаружение его глубоких связей с точно-решаемыми моделями, статистической физики, топологией,, квантовыми группами, комбинаторикой. Этот список можно было бы продолжать долго. Предлагаемая диссертация посвящена развитию классического метода обратной задачи, который, после; эпохи "солитонного бума" 70-х годов и времени подведения итогов в 80-х, к настоящему; моменту действительно уже стал классикой.

МОЗ в современном вида отличается большим разноообразием используемых методов и имеет широкое поле реальных (солятонная волоконная оптика, плазма) и потенциальных приложений. Математический аппарат МОЗ сложился и уже более 1С лет излагается в учебниках. Вместе с тем логика внутреннего развития метода обратной, задачи, а также проблемы_г возникшие в приложениях, высветили- ряд трудных нерешенных вопросов.

Одной из центральных представляется проблема граничных условий в интегрируемых системах. Речь идет, как о задачах на всей оси "X , так и о краевых задачах на полуоси и на отрезке. Проблема состоит в обнаружении и классификации граничных условий, совместимых с "интегрируемостью" (наличием лаксовой лары) исходного нелинейного уравнения, а также в разработке методов эффективного аналитического исследования нетрадиционных краевых задач.

Обычно в МОЗ рассматриваются задачи на всей оси "х- с нулевыми (или постоянными по х -) граничными условиями при Ьс\-*<ч> . Первая же попытка аналитического исследования краевых условий другого типа - периодических лох - привела в середине 70-х годов С.П.Новикова, В.А.Марченко, П.Лакса и др. к созданию нового важного направления - теории конечнозонных решений нелинейных интегрируемых систем.

Другие типы нетривиальных граничных условий для интегрируемых уравнений также обсуждались в 70-х гог~х. Самыми яркими примерами

представляются граничные условия типа "ступеньки", предложенные и исследсаанные: на "физическом уровне, строгости" А.В.Гуревичем и Л.П.Вітаевским в 1973 г., а также: случай конечной цепочки Тода со свободными концами, проинтегрированный.Ю.Мозером в 1975 г.

Возникающие в данной тематике задачи естественно разбиваются на два больших класса:

1. Задачи Кош на всей оси -х. с нетривиальными граничными условиями! при х—» ± «*> (типичный пример - задача Іуревича-Штаевского)

2. Смешанные (начально-краевые) задачи на полуоси хЧ-О, или на отрезка; ** С, 1~1 с локальными граничными, условиями, на концах (типичный пример - задача Мозера).

Подобные задачи не. погружаются в каноническую схему МОЗ и для их исследования требуются новые метода. Взстоящая диссертация посвящена разработке, некоторых из них.

' Цель работы : йзработать метода_г позволяющие эффективно исследовать интегрируемые системы с нетрадиционными; граничными условиями.

Методика исследования: Используются общие принципы МОЗ, ме-Т-оды классической алгебраической геометрии:, метода анализа краевых задач Вімана - Гильберта, теория Уизема модуляций многофазных решении нелинейных уравнений, теория Бэклунд - преобразований (в спектральной форме Захарова - Шабата), асимптотические метода математической физики.

Научная новизна: В диссертация получены следующие основные результаты:

3. Впервые получена равномерная по х асимптотику при 4-»*~ решения задачи І^ревича-Питаевского о распаде ступеньки в теории Кдф, а также- асимптотики аналогичных задач об ударных волнах для других физически-интересных моделей: дефокусирую-щего нелинейного уравнения Шредингера и XX? модели Ландау-Лифшица для "легкоплоскостного" ферромагнетика.

4. Предложена интерпретация конечнозонного (к-з) решения уравнения типа КдФ, как своеобразного "интегрируемого аттрактора".

Исследовано сходство к отличие этих конечнозонных аттракторов от известных, в теории диссипатившх енстел.

Поставлена и; впервые исследована в рамках МОЗ задача о переходном процессе между двумя различными, конечнозоннымя аттракторами при *«-»+* и х—*-<х>.

3. Установлены важные свойства "строгой гиперболичности" и. "истинной нелинейности" по Лаксу модуляционных уравнений Уязема в таории. уравнений типа Кдф. Проведен анализ классических решение в системе Уизема: а) получена теорема существования и единственности в классе С -гладких решений; б) исследована асимптотика этих решений на больших временах; в) получено решение, задачи Рима на о распаде разрыва в гиперболической системе Уизема,

4. Разработаны эффективные метода выделения интегрируемых граничных условий в МОЗ; на основе Бэклунд-интерпретаций граничных условий в диссертации предложена процедура, позволяющая свести' интегрируемую краевую задачу на полуоси, к стандартной хорошо изученной задаче Кош на всей оси. Решение, задачи, на полуоси, доведено до явных, формул в терминах данных рассеяния.

5. На примере моделей НШ-* продемонстрирована возможность эффективного гостроения алгебро-геометрических решений краевых задач на полуоси х%0 и на отрезке « ^eI:,ll . Построенные решения допускают естественную трактовку в терминах нелинейных -гармоник.

Приложения. Результаты работы могут быть полезны для дальнейшего развития МОЗ, а также при. анализе интегрируемых физических моделей.

Публикации: По теме диссертации автором опубликованы работы № - [233 .

Апробация работы: Результаты диссертации докладывались на следующих Всесоюзных и Международных конференциях:

1. "Комплексный анализ и дифф. ур-я" (1987 г., Черноголовка).

2. им.Петровского (1988; 1989 гг., Москва) 3)*Квантовые солитоны" (1988 г., Ленинград)

4) "Нелинейные задачи матем.физики" (1989 г., Ленинград)

5. "Теория нелинейных волн" (1989; 1991 гг.і Калининград)

6. Международные рабочие совещания по нелинейным процессам (1987; 1989 гг., Киев)

7. Международная конференция НАТО "Сингулярные пределы диспергирующих волн" (1991, Лион)

8. Международная конференция "Динамические системы" (1991,Санкт-Петербург).

Кроме того, результаты докладывались в 1985 - 1991 гг. на семинарах А.Б.Шабата (Уфа); В.С.Буслаева; В.М.Бабича; М.Ш.Еирмага и О.А.Ладыжекской (С-Штербург); В.А.Марченко (Харьков).

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав и приложения. Общий объем диссертации - 1^ стр. машинописного текста. Список литературы содержит 106 наименований.