Введение к работе
Актуальность темы. Хорошо известно, что применение неградиционных для данной области математики методов даёт порой замечательные результаты и толчок к созданию нового научного направления. Так было в 70-х годах с применением алгебраической геометрии в, казалось бы, столь далёкой от неё теории дифференциальные уравнений в частных производных (ко-нечнозошше интегрирование); так произошло и в 90-х, только роли поменялись, и, уже метод обратной задачи позволил "продвинуться" в такой разработанной области классической геометрии, как теория двумерных поверхностей и теория сетей.
История уравнения, называемого теперь Sine-Gordon, уходит в XIX век. Насколько известно автору, впервые оно появилось в работе Эннепера в 1878. Потом это, и многие другие уравнения, хорошо знакомые специалистам в области обратной задачи и носящие современные названия, стали постоякно появляться в работах геометров конца XIX - начала XX века.
В то время необходимый для исследования этих уравнений математический аппарат ещё не был создан, и многие вопросы, связанные с обсуждаемыми уравнениями, оставались открытыми вплоть до нашего времени.
"Исторически сложилось'1, что после открытия метода обратной задачи, основное внимание исследователей было сосредоточено на задачах математической физики и смежных с ней вопросах. В геометрии же - "колыбели" уравнения Sine-Gordon, метод обратной задачи был применён совсем, недавно - в конце 80-тых.
Первым было уравнение, называемое в диссертации s/i-Laplace 1:
Ли — — ishu .
Хорошо известно, что ему удовлетворяет метрика, индуцированная на плоскости параметров поверхностью постоянной (ненулевой) средней кривизны, Толчком к современным исследованиям таких поверхностей послужила знаменитая работа Венте1, в которой построены примеры торов постоянной средней кривизны и тем самым опровергнута гипотеза Хопфа, утверждавшая, что единственной компактной поверхностью постоянной средней кривизны в R3 является сфера. Работы Сима, У .Пинка-ля, И.Стерлинга и А.И.Бобенко посвящены дальнейшему исследованию этих поверхностей. Отдельно хочется отметить исследования А.И.Бобенко, в которых существенно используются достижения метода обратной задачи.
Заметим, что в основе новых результатов в этой области лежит изучение дополнительных симметрии у объектов, связанных с интегрируемыми уравнениями — периодичности Ф-функции, голоморфных и антиголоморфных автоморфизмов соответствующей римановой поверхности и.т.п. . Всвязи с этим особенно интересным становится приложение нового метода к к задачам., связанным с более сложными, чем sin-Gordon или s/i-Laplace 1 уравнениями.
Цель диссертационной работы — Целью диссертации является применение и разработка метода конечнозонного интегрирования, а также приложение его к задачам геометрии и математической физики. В круг рассматриваемых задач входит построение (вещественных) конечкозошшх решений всех вещественных реализаций уравнения Sine-Goidon:
-
Qu = sin и — уравнение sin-Gordon (1)
-
Пи — sh и — уравнение s/i-Gordon (2)
'.Wentc.H.C. Counterexample to в conjecture о/ H.Hopf, Pacific J. of Math., 121:1, (1086), 193-244.
-
Da = chu — уравнение ck-Gardon (3)
-
Ли = sin и — уравнение sin-Laplace (4)
-
Au= —sh u— уравнение л/i-Laplace 1 (5)
-
Дм = sh и — уравнение .«ft-Laplace 2 (6)
-
Au — cli и —; уравнение eft-Laplace, (7)
исследование гладкости полученных решений и построение решений с физически интересным множеством сингулярностей -решётками вихрей - для уравнения Au = sin и.
Кроме уравнения Sine-Gordon в диссертации рассматриваются ещё два уравнения: эллиптическое уравнение Цицейко2 (10), а так же уравнение Форди-Гиббонсг (11).
Общая методика. В работе используются методы алгебраической геометрии, теории интегрируемых систем, теории поверхностей, сетей, а также теории вещественных ркмановых поверхностей.
Научная новизна и практическая ценность. В диссертации получены условия вещественности конечкозонных решений для (3-7). Исследована гладкость этих решений. Там, где они существуют, найдены несингулярные компоненты множества решений. Построены общие конечяозонные решения уравнений Цицейко (10) и Форди-Гиббоиса (11); рассмотрены простейшие примеры. Построены поверхности постоянной средней кривизны в пространстве Лобачевского. Найдено аналитическое выражение для общих'торов Уиллмора и классифицированы все конечпозошше торы Уиллмора. Построены решения уравнения с решётками особенностей типа вихрей.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на научных семинарах Петербургского Отдсле-
ния МИ РАН, во время "Лобачевского семестра" в Международном Математическом Институте им. Л.Эйлера 1993, на международных симпозиумах и школах в Калининграде 1991, Монреале 1994, Черноголовке 1994, а так же на научных семинарах им. Г. Петровского (Москва) 1994, Техническом университете Берлина 1992, Университета Лейпцига 1992, 1994, Курантов-ском Математическом Институте (Нью-Йорк) 1994, Университета Кларксен (Потсдам,G#IА) 1993, 1994.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в печатных работах, список которых приведён в конце автореферата.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из Введения, 8-ми Глав, списка Литературы на 6 страницах и 2-х Приложений на 13 страницах. Общий объем диссертации составляет 16 страницы машинописного текста, включая 17 ригунков на 9 страницах.