Интегрируемые системы в дискретномпространстве-времени и неоднородные модели двумерной статистической физики Корепанов, Игорь Германович

Введение к работе

Актуальность проблемы. Диссертация посвящена построению'!! исследованию точно решаемых (интегрируемых) динамических систем в дискретном времени, получаемых in некоторых алгебраических действий над матрицами, редукциям этих систем, приводящим к моделям теории поля в 2+1-мерном' полностью дискретном пространстве-времени, и связи тгпх редукций с точно решаемыми моделями двумерной статистической физики. Актуальность исследования точно'решаемых динамических систем с точки'зрения теоретической физики определяется возможностью получения подробной информации об их поведении, что делает эти системы ценными моделями, отражающими различные аспекты поведения реальных систем. При этом системы в дискретном пространстве-времени, будучи при периодических или квазнпернодических граничных условиях конечномерными, часто могут быть полностью исследованы чисто алгебраически, без рассмотрения сложных вопросов, связанных с непрерывными бесконечномерными моделями. Известно также, что дискретные версии интегрируемых моделей как в классическом, так и в квантовом случае, отличаются простотой и изяществом¹.

С математической точки зрения, актуальность интегрируемых систем в дискретном времени видится в их прямой связи с алгебраической геометрией, более простой и непосредственной, чем у моделей с непрерывным временем. Кроме того, при исследовании самих непрерывных интегрируемых систем выясняются их многосторонние связи с дискретными системами. Так, непрерывные системы-обычно обладают богатым набором автопреобразований, и такое преобразование часто можно мыслить ках переход на единицу некоторого дискретного измерения².

Динамически системы в дискретных измерениях, изучаемые в диссертации, тесно связаны с интегрируемыми моделями двумерной статистической физики: моделью димеров. шестиверпшнной моделью (случай "свободных фермиовов") и моделью Изинга. Эти

'L.D. Faddeev and A.Yu. Volkov, flirota equation as an example of integrab/e symplectic шар, Preprint HEP-TH/9405087. To appear in Lett. Math. Phys. ⁵A.B. Shabat, Inverse Problems в(1992), 303-3Q8.

.-4-

моделн валены для теоретической физики, так как можно получить детальную информацию об пх термодинамических характеристиках — .свободной энергии, корреляционных функциях критических индексах ц другую. 'Такая информация известна для пространственно однородных моделей. Актуальным для теоретической физики проблемой является исследование пространственно неоднородных моделей, в частности^ получение формул для удельной свободной энергии в случае неоднородности квазнпернодического характера, чему посвящен один из разделов диссертации.'

Наконец, актуальность исследования классических интегрируемых систем в 2+1-мерном полностью дискретном пространстве-времени определяется еще и тем, что эти системы являются классическими аналогами 2+1-мерных квантовополсвых систем, связанных с уравнением тетраэдров, изучение которых является естественным, но трудным следующим шагом после изучения 1+1-мерных систем.

Исходя из сказанного, сформулируем цели настоящей работы.

Цел в работы.

1. Построение и алгебро-геомстрическое исследование интегрируемых систем в дискретном времени, порожденных преобразованиями блочных матриц.

2. Построение редукций алгебраических динамических систем к моделям классической теории ноля в 2+1 дискретных измерениям.

3. Демонстрация связей указанных моделей классической теории поля с моделями двумерной статистической фпзпки.

4. Вывод формулы для термодинамического предела удельной свободной энергии при специальных граничных условиях для ше-стиверптянной модели "свободных фермионов" на решетке кагоме с неоднородностямн "конечнозонного" типа.

Научная новизна,

в Впервые установлена полная интегрируемость алгебраической динамической системы, порожденной поочередным применением к блочной матрице действий взятия обратной матрицы и "блочного транспонирования'',

Впервые установлена полная интегрируемость алгебраической динамической системы, порожденной факторизацией линейного

оператора, дейгтвуюи его в пі>ямой гумме трех линейных пространств, в произведение трех операторов, каждый m которых нетривиально действует только в прямой сумме двух из них, и последующей заменой порядка множителей на обратный.

Впервые показано, что каждая из двух упомянутых систем допускает редукцию к точно решаемой теории классического поля и 2+1 дискретных измерениях. Редукция первой из этих систем приводит, новым путем к известной 2+1-мерной дискретной- версии-цепочки Тода. Редукц::я второй системы приводит к новой теоретико-полевой модели, впервые построенной и исследованной автором.

Впервые обнаружена связь между точно решаемыми моделями классической теории поля в дискретном 2+1-мерном пространстве-времени и моделями двумерной статистической физики, заключающаяся в том, что сохраняющиеся теоретико-полевые величины есть значения статсуммы неоднородных статфпзических моделей при всех значениях двух "спектральных'¹ параметров.

а Впервые получена формула для статистической суммы интегрируемых двумерных моделей с неоднородностямп "конечнозон-иого" типа.

Научная значимость. Значение настоящей работы состоит в том, что в ней предложено новое перспсктивпое направление исследований, основанное на открытых автором связях между алгебраическими динамическими системами, точно решаемыми моделями классической теории поля, в 2+1 дискретных измерениях, и точно решаемыми моделями двумерной статистической физики, и сделаны первые шаги в этом направлении. Это направление открывает возможность прямого и полного решения задачи Кошп для упомянутых моделей теории поля, что после предельпого перехода может представлять интерес и для непрерывных моделей. Кроме того, полученные результаты позволяют изучать статистическую физику двумерных моделей с неоднородностямп конечнозошюго, а в вырожденных случаях — солптонного типа.

Апробация работы. Материалы диссертации доложены и обсуждены на рабочем совещании по геометрическим методам в математической физике на семестре, посвященном Н.Й. Лобачев-

скому, и Международном математическом институте имени Эйлера (С.-Петербург, 1992); на семинаре "Интегрируемые системы" в Институте математика Башкирского научного центра УНЦ РАН (Уфа, 1994); на Международной конференции по математической физике (Челябинск 1995).

. Структура диссертации. Диссертация состой г in Введення н 19 разделов, объединенных в 3 глапы. Объем диссертации 161 страница. Библиография содержит 9G наименовании.