Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Математические методы исследования электродинамических систем на основе метаматериалов 12
1.1 Метаматериалы 12
1.2 Математические методы, применяемые для исследования волноведущих систем 14
1.3 Аналитические методы исследования волноведущих систем 15
1.4 Численные методы исследования волноведущих систем 16
1.4.1 Исследование регулярных волноводов 16
1.4.2 Исследование нерегулярных волноводов 17
1.4.2.1 Неполный метод Галеркина 18
1.4.2.2 Метод конечных разностей 19
1.4.2.3 Метод конечных элементов 21
1.5 Задачи синтеза волноведущих систем 23
Выводы к главе I 24
Глава II. Спектральная задача для волновода с кусочно-постоянным би изотропным заполнением 26
2.1 Проблема появления нефизических решений 27
2.2 Постановка задачи для произвольного сечения волновода 31
2.3 Первая обобщенная постановка задачи для волновода произвольно сечения с би-изотропным кусочно-постоянным заполнением
2.4 Вторая обобщенная постановка задачи для волновода прямоугольного сечения с кусочно-постоянным би-изотропным заполнением 38
2.5 Вторая обобщенная постановка задачи для волновода произвольного сечения с би-изотропным кусочно-постоянным заполнением 47
2.6 Исследование обобщенной постановки задачи для би-изотропного
кусочно-постоянного заполнения 48
Выводы к главе II 55
Глава III. Использование процедуры метода Банча-Кауфман для факторизации матриц жесткости метода конечных элементов 57
3.1 Постановка задачи 57
3.2 Построение матрицы жесткости 61
3.3 Процедура Банча-Кауфман 69
3.3.1 Обратные итерации 69
3.3.2 Факторизация матрицы жесткости 72
3.4 Численная апробация: металло-диэлектрический волновод с кусочно постоянным заполнением 78
Выводы к главе III 83
Глава IV. Расчет спектральных характеристик волновода с кусочно постоянным би-изотропным заполнением методом конечных элементов 84
4.1 Решение задачи методом лагранжевых конечных элементов с использованием второй обобщенной постановки 84
4.2 Тестирование алгоритма 92
4.3 Волновод прямоугольного сечения с кусочно-постоянным би-изотропным заполнением 97
Выводы к главе IV 105
Глава V. Спектральная задача синтеза волноведущих систем на основе метаматериалов 107
5.1 Спектральные задачи синтеза волноведущих систем 107
5.2 Процедура минимизации 109
5.2.1 Метод Нелдера – Мида 109
5.2.2 Метод скользящего допуска 110 5.3 Решение задачи синтеза прямоугольного кирально-диэлектрического
волновода 111
Выводы к главе V 117
Заключение 119
Литература
- Аналитические методы исследования волноведущих систем
- Первая обобщенная постановка задачи для волновода произвольно сечения с би-изотропным кусочно-постоянным заполнением
- Процедура Банча-Кауфман
- Волновод прямоугольного сечения с кусочно-постоянным би-изотропным заполнением
Введение к работе
Актуальность темы. В настоящее время большие перспективы в высокочастотной
электродинамике, волновой и интегральной оптике связывают с устройствами,
построенными с использованием мезоскопических систем. Мезоскопические системы –
это искусственно созданные структурированные материалы с характерными размерами
структурных элементов от единиц до сотен нанометров. Наряду с электродинамическими
системами и устройствами со сложной нерегулярной геометрией и с неоднородным
анизотропным заполнением, все большее применение находят системы и устройства с
заполнением на основе метаматериалов: с би-изотропным и, в частности, киральным
заполнением, с би- анизотропным заполнением и т.д. В связи с этим весьма остро встает
вопрос о построении и исследовании математических моделей, описывающих
физические процессы, происходящие в подобных системах. Большинство из таких
моделей представляет собой краевые и начально-краевые задачи математической
физики. Большое значение имеет модернизация известных и создание и реализация в
виде алгоритмов новых экономичных методов расчета подобных систем и устройств,
позволяющих численно исследовать их наиболее полные математические модели.
Насущной необходимостью является исследование этих алгоритмов методами
математической физики.
Развитие данного направления исследования составляет главную цель
диссертационной работы.
Конкретными задачами, на решение которой направлена диссертационная работа,
является создание и исследование математических постановок спектральных краевых
задач для волноведущих систем на основе метаматериалов. Строгое математическое
исследование построенных спектральных задач на основе изучения возникающих
операторов в специальных функциональных пространствах. Разработка эффективных методов и модернизация известных методов исследования построенных математических
моделей и создание на основе разработанных методов алгоритмов для исследования широкого класса волноведущих систем.
Для описания волноведущих систем используются математические модели,
представляющие собой краевые и начально-краевые задачи для систем уравнений в
частных производных в ограниченных и неограниченных областях с нерегулярной
геометрией и сложным неоднородным и анизотропным заполнением. Операторы,
возникающие в таких задачах, являются, как правило, несамосопряженными и
незнакоопределенными.
Наряду с решением прямых задач, большое значение имеет разработка методов решения обратных задач синтеза волноведущих систем. При постановке задач синтеза существенно используется алгоритм решения прямой задачи расчета синтезируемой системы, основанный на разработанном в диссертационной работе варианте постановки спектральной задачи.
Цель работы. Целью диссертационной работы является создание и исследование математических моделей волноведущих систем на основе метаматериалов, в частности, с использованием киральных и би-изотропных сред, что включает в себя:
1) Постановку спектральных задач анализа и синтеза волноведущих систем с
неоднородным, в частности, киральным и би-изотропным заполнением.
2) Строгое математическое обоснование этих задач на основе изучения возникающих
операторов в специальных функциональных пространствах.
-
Исследование спектральных свойств волноведущих систем с неоднородным, в частности, киральным и би-изотропным заполнением.
-
Разработку и реализацию эффективных численных методов, и модернизацию известных методов исследования спектральных задач анализа и синтеза волноведущих систем с неоднородным, в частности, киральным и би-изотропным заполнением.
Научная новизна работы. Разработан и исследован вариант математической
постановки спектральной краевой задачи анализа распространения электромагнитных
волн в волноведущих системах с би-изотропным заполнением, позволяющий
существенно снизить при использовании лагранжевых конечных элементов появление не
имеющих физического смысла фиктивных решений («духов»). На основе предложенной
постановки спектральной задачи построен метод решения прямой спектральной задачи
анализа распространения электромагнитных волн в волноведущих системах с би-
изотропным заполнением на основе лагранжевых конечных элементов. Разработанный с
применением предложенного метода алгоритм использован для расчета постоянных
распространения волн и полей собственных мод в волноводах с прямоугольной
геометрией поперечного сечения и с кусочно-постоянным би-изотропным заполнением. Результаты исследования продемонстрировали высокую эффективность разработанной методики, позволяющей исследовать широкий круг волноведущих систем, построенных с использованием метаматериалов.
На основе разработанного метода решения прямой спектральной задачи анализа распространения электромагнитных волн в волноведущих системах с метазаполнением создан алгоритм решения обратной спектральной задачи синтеза таких систем и с его использованием решена практически важная задача расширения частотной полосы одномодового режима волновода с киральной оболочкой.
Практическая ценность работы. Предложенная в диссертационной работе
математическая постановка спектральной краевой задачи анализа распространения
электромагнитных волн в волноведущих системах с би-изотропным заполнением
позволяет исследовать спектральные свойства широкого класса волноведущих систем,
созданных с использованием метаматериалов. На основе данной постановки
спектральной краевой задачи разработаны эффективные методы решения прямых
спектральных задач анализа, а также задач синтеза таких систем, которые могут быть использованы для практического решения прямых спектральных задач анализа и обратных спектральных задач синтеза широкого круга волноведущих систем.
Личный вклад соискателя состоит в следующем:
1) Разработан и исследован вариант полной векторной математической постановка
спектральной краевой задачи анализа распространения электромагнитных волн в
волноведущих системах с би-изотропным заполнением, позволяющий при численной
реализации с применением метода конечных элементов значительно снизить число
фиктивных решений («духов») при использовании лагранжевых конечных элементов.
2) На основе предложенной постановки спектральной задачи реализован эффективный
метод решения прямой спектральной задачи расчета основных спектральных
характеристик и полей мод регулярных прямоугольных волноводов с заполнением на
основе метаматериалов в полной векторной постановке с использованием лагранжевых
конечных элементов, существенно снижающий число фиктивных нефизических
решений.
3) На основе предложенного метода решения прямой спектральной задачи анализа
распространения электромагнитных волн в волноведущих системах с заполнением на
основе метаматериалов создан и реализован алгоритм решения обратной спектральной
задачи синтеза таких систем.
Достоверность результатов диссертационной работы подтверждается корректностью использованных аналитических и численных методов, применением апостериорных оценок точности, сравнением с результатами модельных расчетов, полученными другими методами. Основные результаты диссертационной работы опубликованы в реферируемых научных журналах и изданиях, неоднократно обсуждались на научных конференциях и семинарах.
Защищаемые положения. На защиту выносится:
1) Исследование полной векторной постановки спектральной краевой задачи для
системы уравнений Максвелла с материальными уравнениями би-изотропной среды, описывающая процесс распространения электромагнитных волн в волноводе с заполнением, выполненным на основе метаматериалов.
2) Результаты исследования спектральных свойств волноведущих систем на основе
метаматериалов с использованием предложенной постановки спектральной задачи.
3) Метод решения задачи определения постоянных распространения электромагнитных
волн и расчета полей мод в волноводе с би-изотропным заполнением, основанный на
предложенной постановке, с использованием лагранжевых конечных элементов.
4) Метод решения обратной задачи синтеза волноведущих систем на основе
метаматериалов, обладающих заданными свойствами.
5) Программная реализация разработанных методов решения спектральных задач
анализа и синтеза волноведущих систем с неоднородным, в частности, киральным и би-
изотропным заполнением.
Апробация работы. Материалы конференции докладывались на следующих международных и всероссийских конференциях:
1) Н.А.Боголюбов. Моделирование методом конечных элементов металлических
волноводов с диэлектрическим заполнением // Материалы X международной
конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов 2011». Секция «Физика». Подсекция «Математика и информатика».
2) A. N. Bogolyubov, Yu. V. Mukhartova, J. Gao, N. A. Bogolyubov. Mathematical Modeling of Plane Chiral Waveguide using Mixed Finite Elements // PIERS. Progress in Electromagnetic Research Symposium PIERS 2012 Moscow. August 19-23. Section 3P5b “The Modern Hybrid Methods in the Problems of Computational Electromagnetics”. Moscow 2012.
3) Н.А.Боголюбов, А.А.Кобликов. Применение метода конечных элементов для моделирования металло-диэлектрических волноводов // Современная молодежная конференция – семинар «Современные проблемы прикладной математики и информатики». Дубна 22-27 августа 2012 года.
4) Н.А.Боголюбов. Моделирование неоднородных волноводов со сложным заполнением на основе метаматериалов // V Всероссийская студенческая научная школа-семинар по физике, нано-, био- и информационным технологиям. Санкт-Петербург, 15 мая 2012 г. 5) Н.А.Боголюбов, А.А.Кобликов. Расчет волноведущих систем методом
конечных элементов с использованием процедуры Банча-Кауфман // 5-я Международная конференция “Акустооптические и радиолокационные методы измерений и обработки информации” (ARMIMP-2012), 18-19 сентября 2012 г., Суздаль, Россия.
6) Боголюбов Н.А. «Математическое моделирование неоднородных волноводов методом
конечных элементов» // Материалы XI международной конференции студентов,
аспирантов и молодых ученых «Ломоносов 2012». Секция «Физика». Подсекция
«Математика и информатика».
7) A.N. Bogoliubov, Yu.V. Mukhartova, N.A. Bogoliubov, E.V. Tkach. Mathematical
modeling of bi-isotropic waveguides using the finite elements method // The eighth
international Kharkov symposium on physics and engineering of microwaves, millimeter and
submillimeter waves (MSMW’13) and workshop on terahertz technology (TERATECH’13).
Kharkov, Ukraine, June 23-28, 2013.
8) А.Н.Боголюбов, Н.А.Боголюбов, Ю.В.Мухартова. Математическое моделирование
волновода с биизотропным заполнением методом конечных элементов // 6-я
Международная конференция “Акустооптические и радиолокационные методы
измерений и обработки информации” (ARMIMP-2013), 16-18 сентября 2013 г., Суздаль,
Р,оссия.
9) Н.А.Боголюбов, Ю.В.Мухартова. Математическое моделирование волноведущих
систем на основе метаматериалов // Международный научный семинар «Актуальные
проблемы математической физики». 28-29 ноября 2014 года. Москва, Россия.
10). Боголюбов Н.А., Буткарев И.А., Мухартова Ю.В. Синтез слоистых волноведущих систем на основе метаматериалов // 8-я Международная конференция “Акустооптические и радиолокационные методы измерений и обработки информации” (ARMIMP-2015), 21-23 сентября 2015 г., Суздаль, Россия.
Соответствие диссертации паспорту научной специальности. Содержание и результаты работы соответствует паспорту специальности 01.01.03 – математическая физика. А именно соответствует области исследований №4 «Математические проблемы оптики и электродинамики». Соответствует основному направлению специальности: исследование математическими методами математических проблем, возникающих в
электродинамике. Соответствует главной научной цели специальности: исследование математическими методами математических проблем, возникающих в электродинамике, приложение полученных результатов в математике, электродинамике, разработка соответствующего математического аппарата.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и библиографии. Общий объем диссертации 132 страницы, включая 28 рисунков и 3 таблиц. Библиография включает 115 наименований.
Аналитические методы исследования волноведущих систем
Волноводы находят широкое применение в радиофизике, оптике, акустике [19]-[21]. Регулярным волноводом называется однородный по длине прямолинейный волновод постоянного сечения. Под волноведущими системами мы будем понимать системы, включающие в себя как сам волновод, так и различные связанные с ним системы: резонаторы, фазовращатели, аттеньюаторы, фильтры, различные системы возбуждения (штыри, петли и т.д.), разветвители и ответвители и т.д.
В связи с появлением большого числа систем и устройств на основе метаматериалов весьма остро встает вопрос о применении математических методов для исследования таких систем, что включает в себя, по крайней мере, три момента. Во-первых, построение математических моделей таких систем и устройств и строгое математическое исследование соответствующих краевых и начально-краевых задач на основе глубокого изучения свойств возникающих операторов в специальных функциональных пространствах. Во-вторых, модернизации известных и создании новых экономичных высокоточных алгоритмов расчета подобных устройств, позволяющих изучать наиболее полные их математические модели, а также глубокое исследование и строгое математическое обоснование этих алгоритмов. В-третьих, разработка и реализация эффективных численных методов, позволяющих проводить апостериорные оценки точности полученных конкретных результатов вычислительного эксперимента. Если рассматривать решение стационарных задач расчета волноведущих систем, то их можно подразделить на две большие группы. К первой группе относятся задачи возбуждения нерегулярных волноведущих систем. Вторую группу составляют задачи расчета спектральных характеристик регулярных волноведущих систем. При этом свойства в поперечном направлении заполняющих систему материалов, равно как и форма поперечного сечения могут быть достаточно произвольными. Под определением спектральных характеристик системы понимается расчет постоянных распространения, частот отсечки, определение модового состава поля в рассматриваемой волноведущей системе, построение дисперсионных характеристик и т.д.
Большой цикл работ по исследованию волноведущих систем на основе метаматериалов методами математического моделирования был выполнен на кафедре математики физического факультета МГУ имени М.В.Ломоносова [22]-[27]. В р22] исследован киральный резонатор с идеально проводящей грани аботе [цей. В работах [23]-[26] предложен, исследован и практически реализован алгоритм решения двумерных задач возбуждения 2D волноводов с киральным заполнением. Математическое моделирование прямоугольного волновода, заполненного киральной средой, было выполнено Цветковым И.В. и Ромашиным А.В. [27].
Для исследования волноведущих систем на основе метаматериалов применяются различные аналитические методы [26]. Одним из наиболее эффективных методов анализа электромагнитных полей в би-изотропных средах является метод факторизации. Для случая однородной среды при использовании метода факторизации система уравнений Максвелла сводится к двум независимым системам дифференциальных уравнений первого порядка для двух обычных изотропных сред. Оказалось, что в безграничных однородных киральных средах существуют две собственные волны, обладающие правой и левой круговой поляризацией и имеющие различные волновые числа. Наличие двух таких собственных волн позволяет использовать киральные структуры для изменения поляризации падающего электромагнитного излучения, а также применять их в качестве поляризационных фильтров Метод векторных цепей применяется для расчета плоских стратифицированных структур, например, для расчета плоско-параллельного кирального волновода. Он основан на использовании диадной матрицы передачи, позволяющей связать тангенциальные составляющие электрического и магнитного поля на противоположных сторонах би-изотропного слоя. Получаемые при использовании этого метода соотношения содержат всю информацию о волноводе и постоянных распространения волн.
Для численного исследования волноведущих систем на основе метаматериалов в основном применяются методы, разработанные для исследования «классических» волноведущих систем.
В 1947-1948 гг. в «Журнале технической физики» были опубликованы три фундаментальные работы А.Н.Тихонова и А.А.Самарского, сыгравшие исключительную роль в развитии математической теории волноведущих систем. В 1947 году в двух выпусках была опубликована работа «О возбуждении радиоволноводов» [28], [29], а в 1948 году – работа « О представлении поля в волноводе в виде суммы полей ТЕ и ТМ» [30]. Фундаментальные работы А.Н.Тихонова, А.А.Самарского, а также работы ряда других ученых по теории регулярных волноводов [31]-[33] позволили преобразовать высокочастотную электродинамику волноведущих систем из чисто технической науки в новое научное направление в математической физике – математическую теорию волноведущих систем.
Первая обобщенная постановка задачи для волновода произвольно сечения с би-изотропным кусочно-постоянным заполнением
Как уже было отмечено в главе 1, применение МКЭ (как и МКР) при расчете волноводов избавляет от необходимости решения жестких систем дифференциальных уравнений. Однако при применении метода конечных элементов возникает специфическая проблема, связанная с тем, что в процессе решения возникают не имеющие физического смысла фиктивные решения, так называемые «духи», борьба с которыми является весьма трудоемкой задачей и сильно снижает эффективность алгоритма [71], [72]. Следует отметить, что фиктивные решения возникают не при всех обобщенных постановках задач расчета волноведущих систем. Большим достоинством скалярной постановки является то, что ее использование не приводит к появлению фиктивные решений. Однако круг ее применений достаточно узок [73].
Значительно более универсальными являются векторные постановки, однако при их применении могут возникать нефизические решения. Так для расчета цилиндрических волноведущих структур весьма эффективна векторная z-постановка, где все компоненты выражаются через электрические и магнитные продольные компоненты [74]. Весьма широко применяется постановка с использованием поперечных компонент, а также универсальная трехкомпонентная постановка в виде Н- и Е- формулировки [75]-[78].
Для борьбы с нефизическими решениями существуют два основных подхода. При апостериорном подходе фиктивные решения выделяют уже после процесса вычислений, а при априорном подходе используются постановки задач, не вызывающие появления фиктивных решений.
Для отделения истинных мод от фиктивных после процесса вычислений (апостериорное распознавание решений) наряду с собственными значениями, необходимыми для построения дисперсионных кривых, вычисляются также собственные функции. Фиктивные собственные функции не удовлетворяют «дивергентному» условию, то есть условию равенства нулю дивергенции электромагнитного поля. Недостатком данного метода является его неэкономичность, поскольку для вычисления собственных функций требуются значительные дополнительные затраты машинного времени. Кроме того, численное значение дивергенции определяется приближенно, что усложняет реализацию проверки дивергенции на нулевое значение. Одним из достаточно старых методов исключения фиктивных решений до процесса вычислений (априорное исключение «духов») является метод штрафных функций (метод штрафов) [79]. В данном методе при решении спектральных волноводных задач применяется функционал, в который входит дополнительное «штрафное» слагаемое, величина которого определяется степенью нарушения «дивергентного» условия. В работе [80] на численных примерах показано, что с помощью этого не удаляются все нефизические решения и собственные значения, соответствующие нефизическим решениям, присутствуют в числе найденных собственных значений. Тем не менее, сама идея введения дивергентного уравнения в постановку спектральной задачи является весьма полезной. При применении векторной вариационно-разностной постановки весьма эффективным для борьбы с нефизическими решениями является использование метода смешанных конечных элементов (СКЭ) [81], [82]. Метод смешанных конечных элементов может применяться для волноводов с произвольным кусочно-непрерывным анизотропным заполнением, а также в случае сложной геометрии сечения волновода. При построении базисных функций в методе СКЭ используется лишь условие непрерывности тангенциальных составляющих полей, что наиболее адекватно соответствует исходной постановке задачи и существенным образом влияет на скорость сходимости метода. Следует отметить, что применение метода смешанных конечных элементов имеет ряд принципиальных ограничений. Даже в тех случаях, когда волноводная система имеет цилиндрическую симметрию, необходимо использование декартовой системы координат. При аппроксимации границы области, в которой ищется решение, ломаной линией, точность решения падает, что лишает преимуществ использования конечных элементов высокого порядка. Размерность задачи увеличивается, скорость сходимости алгоритма падает по сравнению с задачами прямоугольной геометрии и на порядки снижается точность получаемых результатов.
Для решения спектральных волноводных задач в векторной постановке обычно используются два основных подхода. Более ранний подход состоит в постановке задачи, в которой в качестве спектрального параметра выступает квадрат волнового числа к = — . Такой подход приводит к появлению фиктивных нефизических решений. Причиной их появления является то, что нулевое собственное значение, которому соответствует множество функций градиентного вида, имеет бесконечную кратность. При численном решении задачи на собственные значения с использованием стандартной техники МКЭ нулевое собственное значение бесконечной кратности переходит в семейство ненулевых собственных значений дискретной задачи. При этом фиктивные собственные значения, соответствующие нефизическим решениям, расположены среди истинных точек спектра и встает весьма сложная проблема их выделения и отсева.
В более позднем подходе применяются не к2- постановка, а у2-постановка, в которой в качестве собственного значения используется постоянная распространения [78]. При использовании постановки относительно продольных компонент электромагнитного поля получается задача с нелинейным вхождением спектрального параметра и по сравнению с линейной задачей численные алгоритмы определения собственных значений оказываются неэффективными. Однако данный подход позволяет применять лагранжевые конечные элементы. Это дает возможность аппроксимировать дифференциальную задачу конечными элементами высокого порядка и, что особенно важно, использовать изопараметрические конечные элементы с криволинейной границей [83]. При использовании постановки относительно поперечных составляющих электромагнитного поля получаемая алгебраическая спектральная задача является линейной, обобщенной и незнакоопределенной. При применении лагранжевых конечных элементов появляются нефизические решения . В предложенной в работе [84] постановке спектральная волноводная задача сводится к обобщенной алгебраической проблеме собственных значений относительно квадрата постоянной распространения.
Процедура Банча-Кауфман
Для нахождения собственных векторов и собственных значений обобщенной задачи на собственные значения применяется метод обратных итераций [41]. Рассмотрим стандартную алгебраическую проблему собственных значений: Ах = Лх (3.22) Метод обратных итераций по существу представляет собой примененный к матрице А 1 степенной метод, суть которого состоит в следующем. Выбирается произвольный ненулевой вектор-столбец е1 и строится алгоритм: является приближением к собственному значению матрицы А, а вектор х- приближением к соответствующему собственному вектору.
Таким образом, описываемый процесс сходится к собственному вектору, соответствующему доминирующему собственному значению, и позволяет определить само это собственное значение.
Однако, степенной метод, к сожалению, зачастую не в состоянии обеспечить достаточную точность вычислений в силу значительного накопления погрешности. Кроме того, алгоритмы, основанные на степенном методе, имеют, как правило, не слишком высокую скорость сходимости. Более эффективным, поэтому оказывается применение метода обратных итераций.
Предполагая, что А - симметричная невырожденная матрица, помножим (3.22) слева на А 1; тогда получим:
Отсюда следует, что собственные значения матрицы А1 являются величинами, обратными к собственным значениям матрицы А, а собственные векторы этих матриц совпадают. Применяя теперь к задаче (3.23) степенной метод, получим алгоритм хк = ук / ук где е1 - начальный вектор - выбирается произвольным образом. При реализации алгоритма явное умножение обратной матрицы А 1 на вектор хк привело бы к возникновению таких же трудностей, что и при использовании степенного метода. Поэтому на практике, как правило, каждый вектор ук+1 получают в результате решения системы линейных уравнений Аук+1=хк. Для решения этой системы матрица А предварительно факторизуется. Для решения обобщенной проблемы собственных значений
Метод обратных итераций сходится к собственному вектору, соответствующему ближайшему к нулю собственному значению задачи (3.24). А именно, если K -А1, 2,то обратные итерации сходятся как геометрическая прогрессия со знаменателем с0 =\\ /Х\.
Для вычисления остальных собственных значений эффективным оказывается введение сдвига 5. Рассмотрим алгоритм (3.25), где вместо матрицы А фигурирует (A-SB). Данный итерационный процесс сходится к собственному вектору, соответствующему собственному значению задачи (3.24), наиболее близкому к 5. Обозначая это собственное значение через Xs, получаем сходимость со скоростью геометрической прогрессии, знаменатель которой равен:
При удачном выборе параметра 5 скорость сходимости будет очень высокой. Это свойство выгодно отличает обратные итерации от прямых итераций (к числу которых относится и степенной метод), сходимость которых не может быть существенно улучшена за счет выбора параметра 5. Таким образом, реализуя метод обратных итераций, мы получаем возможность определить минимальное собственное значение задачи (3.24), наиболее близкое к значению параметра 8.
Как уже отмечалось, в результате применения метода конечных элементов исходная дифференциальная задача сводится к конечно-разностной задаче, то есть к системе линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) (3.26), для решения которой матрица должна быть предварительно факторизована. Причем выбор метода факторизации ограничен спецификой задачи, которая имеет ряд особенностей. Входящие в СЛАУ матрицы оказываются разреженными матрицами (очень часто ленточной структуры) весьма высокого порядка, но главное заключается в том, что матрицы, возникающие при решении электродинамических задач, как правило, оказываются незнакоопределенными. Все это затрудняет применять для обработки таких матриц стандартные методы [92].
Рассмотрим более подробно особенности решения системы (3.26). Во-первых, в силу незнакоопределенности матриц A и B, а, следовательно, и AS, становится невозможным применение метода Холецкого [93]. До публикации диссертации Джемса Банча [94] - [96] в 1969 году (Калифорнийский университет в Беркли) не существовало устойчивого алгоритма для обработки симметричных незнакоопределенных матриц.
Во-вторых, нежелательным является применение методов с выбором главного элемента по строкам либо по столбцам, ибо при перестановках, очевидно, утрачивается такое важное свойство матрицы AS как ее ленточность.
В-третьих, не представляется возможным использовать метод Гаусса без выбора главных элементов, так как на главной диагонали в процессе факторизации могут появиться малые элементы.
Программа включает в себя три основных модуля и шесть вспомогательных блоков. Блок 1 содержит параметры сетки и основные характеристики волновода, необходимые для проведения расчётов. Блок 2 и блок 3 предназначены для хранения элементных матриц. В блоки 4 и 5 записываются собранные из матриц, хранящихся в блоках 2 и 3, матрицы A и B. В блок 6 помещаются вычисленные собственные значения задачи, а также постоянные распространения Модуль 1 имеет сервисное значение. Он позволяет редактировать данные из блока 1 и вносит изменения в конфигурацию исследуемых волноводов, а также строит элементные матрицы, записывая их в блоки 2и 3. В модуле 2 осуществляется алгоритм сборки матриц. В модуле 3 происходит реализация алгоритма метода обратных итераций и стратегии Банча-Кауфман факторизации матрицы AS=A-SB Тестирование программы происходило на волноводе без заполнения, когда известно точное значение постоянной распространения (Аоч)2 =к2-7г2, а также на волноводах с кусочно-постоянным диэлектрическим заполнением .
Волновод прямоугольного сечения с кусочно-постоянным би-изотропным заполнением
Как было отмечено в первой главе, задачи синтеза (математического проектирования) волноведущих систем составляют специальный класс обратных задач математической физики, наиболее полный и универсальный подход к решению которых был предложен в работах А.Г.Свешникова и А.С.Ильинского [68], [69]. В процессе решения задачи синтеза используются вариационные постановки задач, строится оценивающий функционал и ищется его экстремум [97]-[100].При этом происходит многократное решение прямой задачи расчета волноведущей системы с направленно изменяемыми параметрами.
Задачи синтеза волноведущих систем можно разделить на две большие группы: задачи синтеза нерегулярных (неоднородных по длине) волноведущих систем и задачи синтеза регулярных (однородных по длине) волноведущих систем, которые мы в дальнейшем будем называть спектральными задачами синтеза.
Одной из классических задач синтеза нерегулярных волноведущих систем является задача синтеза волноводных переходов. Так в работах [101] [106] рассмотрены и решены полные задачи математического проектирования волноводных переходов, наилучшим образом согласующих волноводы между собой. Задача синтеза плоского волноводного перехода состоит в отыскании границы плавного волноводного перехода наилучшим образом согласующего два плоских волновода [101] . Аналогичным образом ставятся задачи в трехмерном случае [102]-[106]. В работе [104] рассматривается синтез трехмерного волноводного перехода с согласующим ребром. К аналогичным задачам синтеза можно отнести задачи синтеза волноводных антенн.
Спектральные задачи синтеза волноведущих систем заключаются в определении геометрических характеристик и характеристик материального заполнения, при которых регулярный волновод обладает заданными спектральными свойствами [107]-[109]. Ряд спектральных задач синтеза градиентных световодов, у которых коэффициент преломления сердцевины зависит только от радиуса, был решен в работе [108]. Как уже отмечалось, подход к решению задач синтеза, предложенный в работах [68], [69] предполагает многократное решение прямой задачи с направленно изменяемыми оптимизационными параметрами. Такая методика определяет структуру программы, состоящей из двух основных блоков: блока решения прямой задачи и блока решения задачи синтеза (оптимизации). Поэтому переход от задачи синтеза нерегулярной волноведущей системы к спектральной задаче синтеза сводится к замене блока решения прямой задачи и минимизируемого функционала. В этой универсальности заключается очень сильная сторона предложенной методики решения задач синтеза.
Рассматриваемая спектральная задача синтеза кирально диэлектрического волновода является нелинейной задачей с несамосопряженным оператором. Достаточно подробно для задач такого класса исследован случай квадратичной целевой функции с линейными ограничениями [110], в связи с чем, мы не можем использовать большое количество разработанных алгоритмов и программ [111], [112]. Поскольку алгоритм решения прямой спектральной задачи достаточно сложен, то для решения задач минимизации нельзя применять методы высоких порядков и следует ограничиться методами нулевого порядка (прямыми методами). А так как вид области (в большинстве случаев являющейся невыпуклой), в которой ищется решение, и вид предполагаемых ограничений заранее предсказать нельзя, то использование комплексного метода Бокса [113] также невозможно. В настоящей работе в качестве метода минимизации используется метод Нелдера-Мида (метод поиска по деформируемому многограннику) [114]. Причем, поскольку в процессе решения задачи минимизации возникает необходимость минимизации функционалов в ограниченных областях, в диссертации используется основанный на методе Нелдера – Мида метод скользящего допуска.
Метод Нелдера-Мида, предложенный в 1964 году [114], является развитием симплексного метода Спендли, Хекста и Химсфорта [115]. Множество (n+1)-й равноудаленной точки в n – мерном пространстве называется регулярным симплексом. В двумерном пространстве симплексом является равносторонний треугольник, в трехмерном – тетраэдр. Эта конфигурация используется в методе Спендли, Хекста и Химсфорта.
Основная идея метода заключается в сравнении значений функции в вершинах симплекса и перемещение симплекса в направлении оптимальной точки с помощью итерационной процедуры. В первоначальном варианте симплексного метода на каждом этапе используется регулярный симплекс. В предложенных Нелдером и Мидом модификации симплексного метода допускается использование неправильных симплексов. Таким образом, метод Нелдера и Мида отличается от симплекс-метода лишь тем, что в нем предусмотрена возможность ускорения поиска за счет деформации многогранника. В результате получился очень надежный метод прямого поиска, являющийся одним из самых эффективных при относительно небольшом числе параметров минимизации.
Метод Нелдера и Мида применим для поиска минимума функционала только в неограниченной области, а в случае области с ограничениями можно использовать метод скользящего допуска (МСД) [110].
Алгоритм МСД позволяет улучшить значение целевой функции как за счет информации в допустимых точках пространства решений, так и за счет информации при прохождении через некоторые точки, лежащие вне допустимой области, но которые являются близкими и допустимыми. В ходе оптимизационного поиска интервалы, в пределах которых точки можно считать почти достижимыми, постепенно сокращаются так, что в пределе учитываются только допустимые точки.
Данный метод позволяет учитывать как ограничения в виде неравенств, так и ограничения в виде равенств. Метод скользящего допуска можно использовать и в том случае, когда часть ограничений жесткие, а другие допускают существование почти допустимых векторов.