Математические вопросы расчета нелинейных волновых процессов и численное исследование газоразрядных явлений Безменов, Игорь Витальевич

Введение к работе

Актуальность проблемы. Все возрастающий интерес, проявляемый в настоящее время к нелинейным задачам математической физики, объясняется их чрезвычайными разнообразием, содержательностью, широтой и глубиной проникновения в практику. Особенно это относится к тем задачам, постановки которых приводят к нелинейным дифференциальным уравнениями в частных производных.

Сказанное в полной мере относится к задачам из области физики газового разряда и к тем матетематическим вопросам, которые возникает при их решении. Именно таким задачам и посвящена диссертационная работа, что определяет актуальность рассматриваемых в ней проблем.

Последние 10-15 лет ознаменовались появлением целого ряда новых экспериментальных данных в области физики газового разряда. К ним в первую очередь следует отнести явление подпорогового пробоя слабоионизованного газа. явление надкритического превышения концентрации электронов в неоднородных плазменных образованиях разряда и явление аномально быстрого нагрева неравновесного газа в волновом разряде. Так как существующие аналитические методы не могут в достаточной мере объяснить весь комплекс этих и других существенно нелинейных эффектов, происходящих в низкотемпературной плазме, то численное исследование самосогласованных задач физики газового разряда представляет собой весьма актуальную задачу.

Она в свою очередь приводит к проблемам расчета таких нелинейных волновых процессов, как распространение в сильно неравновесном газе ударных волн и взаимодействие с плазмой газового разряда электромагнитных волн от внешних источников. Эти проблемы, объединенные в данной работе общей целью исследования газоразрядных явлений, являются фундаментальными. Каждая из них определяет целую область исследований. В диссертационной работе указанные нелинейные волновые процессы исследуются теоретически. Изучаются свойства решений нелинейных гиперболических уравнений и их дискретных аналогов, а также решений нелинейных задач для уравнения типа Гельмгольца, описывающего взаимодействие внешнего излучения с диссипативной средой.

Цель работы:

1. Теоретическое изучение свойств математических моделей, описывагаих распространение разрывных решения квазилинейных гиперболических уравнений (.теоремы существования, единственности и сходимости разностных решений при t * со при фиксированных параметрах дискретизации h и т).

2. Конструирование граничных условий, обладающих свойством прозрачности, для уравнения типа Гельмгольца, обоснование корректности получающейся внутренней задачи (теоремы существования и единственности классического решения), изучение свойств ее решения.

3. Разработка эффективного метода численного решения внутренней задачи для уравнения типа Гельмгольца с искусственными граничными условиями.

4. Разработка метода численного расчета самосогласованных задач физики газового разряда с учетом кинетических, электродинамических и газодинамических эффектов.

5. Численное исследование решений нестационарных самосогласованных задач взаимодействия СВЧ излучения со слабоионизо-ванным молекулярным газом (азотом) как в одномерном, так и в двумерном случаях.

Методы исследования. При теоретическом исследовании глобальных свойств конечно-разностных решений для квазилинейного уравнения, а также при доказательстве теорем существования решений нелинейных уравнений использовались общие методы теории функций, некоторые топологические методы нелинейного анализа. При доказательстве корректности новой постановки внутренней задачи для уравнения типа Гельмгольца с нелинейными граничными условиями использовались аппарат теории интегральных уравнений и методы функционального анализа. При численном исследовании газоразрядных явлений использовался метод конечных разностей.

Новизна работы. Все результаты работы, выносимые на защиту, являются новыми. Впервые доказаны: 1) теорема сходимости в -сильной—норме—разностных—распределении 1^ при п -» со (изначальное распределение, п- номер шага по t) к предельному профилю v типа "бегущей волны" для класса нелинейных монотонных конечно-разностных операторов її, аппроксимирующих квазилинейное уравнение гиперболического типа; 2) теоремы, дающие оценки

скорости сходимости итераций ТГ"и ^{к v}x ^{при п} "* ^{ю; 3)} теорема существования предельного профиля типа "бегущей волны" для класса нелинейных TVD-оператсров I, обладающих свойством не увеличивать полную вариацию сеточных распределений. Для немонотонных операторов впервые построены примеры неединственности решений типа "бегущей волны", удовлетворяющих энтропийным условиям Лакса и Олейник. Для решения многомерных задач волновой динамики в ограниченной области с искусственной границей сформулирован новый подход, основанный на вариационном принципе. Доказана корректность новой постановки задачи для уравнения типа Гельмгольца с нелинейными граничными условиями Стеоремы существования и единственности), исследованы свойства ее решения, предложен новый эффективный алгоритм отыскания ее численного решения. В рамках кинетической схемы, учитывающей метастабильные электронно-возбужденные состояния молекул азота N_aC A³S^D и N₂Ca' *Е), впервые численно решена самосогласованная задача о взаимодействии СВЧ-излучения с плотной Оо, 1-і ял>*.) азотной плазмой в двумерном нестационарном случае, в которой учитываются кинетические, газодинамические и электродинамические эффекты; впервые расчетным путем получено подтверждение ряда известных экспериментальных данных; получены некоторые важнейшие характеристики газоразрядной плазмы, которые нельзя извлечь из эксперимента.

Достоверность результатов. Результаты теоретической части работы сформулированы в виде полностью доказанных утверждений Слемм, теорем и следствий). Доказательства некоторых из них опущены лишь в тех случаях, когда утверждение непосредственно вытекает из полученных ранее результатов, либо когда доказательство аналогично одному из уже изложенных доказательств, отличаясь от него несущественными деталями.

Достоверность результатов расчетной ^ч части работы подтверждает проведенное тестирование, а также количественное и качественное совпадение полученных результатов с известными данными экспериментов.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на семинарах ИПМ им. М. В. Келдыша РАН С руководители: д. ф. -м. н. А. В. За-

бродин; д.ф.-м.н. М.В.Масленников, д.ф.-м.н. К.В.Брушлинский) в 1991-1993 гг., на семинаре МИАН им. В. А. Стеклова РАН С руководитель: академик В.С.Владимиров) в 1993 г., на семинаре ИВМ РАН (руководитель: академик Н.С. Бахвалов) в 1993 г., на Всесоюзной конференции "Актуальные проблемы математической физики и вычислительной математики", посвященной 75-летию академика А.Н.Тихонова (г. Москва, 1982 г.), на 1-й Междунар. конфер. по Промышленной и прикладной математике С г. Париж, 1987г.), на 3-м Всесоюзном совещании "Физика ударных волн" Сг. Владивосток, 1989 г.), на 2-м Японо-Советском симпозиуме по численным методам в аэродинамике Сг.Цукуба, 1990 г.), на 14-й международной конференции по численному моделированию плазмы ССША, г. Аннаполис, 1991 г.), на международной школе-семинаре Сг. Минск, 1992 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 20 работ (см. список в конце автореферата)

Обьем и структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, и заключения. Главы разбиты на разделы А и Б и имеют свою нумерацию параграфов. Глава I содержит 6 дополнений, в которых приведены доказательства отдельных утверждений. Работа изложена на 329 стр. машинописного текста, включая 43 стр. рисунков. Список литературы содержит 172 наименования.