Введение к работе
Актуальность темы. Уравнения Тоды1 и, в частности, уравнения То-ды, ассоциированные с полупростыми алгебрами Ли2, играют существенную роль в построении и анализе моделей современной конформной теории поля. Известны многочисленные приложения уравнений Тоды в теории гравитации и теории Янга-Миллса, в классической дифференциальной геометрии,задачах классификации нелинейных уравнений в частных производных, установлена их связь с интегрируемыми динамическими системами, фробениусовыми многообразиями и структурами ассоциативных алгебр. В перечисленных выше областях математической физики непосредственно к уравнениям Тоды сводятся задачи изучения таких систем, как антиавтодуальные вакуумные уравнения Эйнштейна, уравнения Янга-Миллса, структурные уравнения комплексных кривых в кэлеровых многообразиях, динамика инвариантов Лапласа дифференциальных уравнений, уравнение Кортевега-де Фриза, уравнение WDW (Witten-Dijkraaf-H. Verlinde-Е. Verlinde) и т.д.
Алгебраический подход к изучению гиперболических уравнений Тоды UXy = ехр{Ки) был развит в работах А.Н.Лезнова и М'.В.Савельева2, В.Г.Дринфельда и В.В.Соколова3, Б.А.Дубровина и др., в которых уравнения Тоды интерпретированы как уравнения плоских связностей на полупростых комплексных алгебрах Ли (или их обобщениях) с матрицей Картана К. Известно, что такие уравнения, называемые уравнениями, ассоциированными с алгебрами Ли, точно интегрируемы2; в фундаментальной работе3 им были поставлены в соответствие интегрируемые иерархии Дринфельда-Соколова — аналоги бигамильтоновых уравнений Кортевега-де Фриза. Между тем, алгебраический подход не в полной мере учитывает геометрические
Тода М, Теория нелинейных решеток. — М„ 1984. — 264 с.
Лезнов А. И, Савельев М. В, Групповые методы интегрирования нелинейных динамических систем. — М., 1985. — 276 е.
* Дришрелчд В. Г.. Соколов В. В. Алгебры Ли и уравнения типа Кортевега-де Фриза / В сб.: Современные проблемы математики. Новейшие достижеш*. 24; — м Rm-ufTH г ]9>Ц. — С 81-
180. I ЮС НАЦИОНАЛЬНА.*
| БИБЛИОТЕКА
свойства самих уравнений Тоды, например, такие как структура алгебры Ли нетеровых симметрии, наличие у этих уравнений операторов рекурсии и взаимосвязь допускаемых уравнениями Тоды законов сохранения с гамильтоновыми структурами для уравнений Кортевега-де Фриза. В частности, до настоящего времени не было известно, что перечисленные свойства уравнений Тоды сохраняются при переходе к значительно более общему случаю уравнений ttjj, = ехр(Кы), ассоциированных с невырожденной симметризуемой матрицей К — не обязательно матрицей Картана.
Мощным средством изучения алгебро-геометрических структур служат гомологические методы4, развитые в работах И. С. Красильщика, В. В. Лычагина, А. М. Виноградова5 и их научных школ. В связи со значительными успехами методов геометрии дифференциальных уравнений было естественным применить их к исследованию уравнений Тоды.
Тема диссертационной работы соответствует «Перечню приоритетных направлений фундаментальных исследований», утвержденных Президиумом РАН (раздел 1.1 — Математика, подраздел 1.1.3 — Математический анализ, дифференциальные уравнения и математическая физика).
Цель работы. Целью диссертационной работы является анализ геометрических свойств уравнений Тоды, построение на их основе новых интегрируемых систем и установление взаимосвязи между уравнениями Тоды и иными уравнениями математической физики.
Предмет исследования. Диссертационная работа посвящена изучению алгебро-геометрических свойств уравнений Тоды
tfe, = GXp(tfu), (1)
* Vinogradov А М. The C-spectral sequence, Lagrangian formalism, and conservation laws, I. The linear theory. II. The nonlinear theory. // J. Math. Anal. Appl. - 1984. - 100. - С 1-129. .5 БочаровА/L, Вербовецкий A. M., Виноградов А М. и др. Симметрии и законы сохранения
уравнений математической физики / Ред. А. М. Виноградов и И. С. Красильщик. — М., 1997. — 464 с.
і. «»-»*»'/ ' \
где К — невырожденная симметризуемая постоянная матрица, бездисперсионного уравнения Тоды
Uxy = ехр(-«„) (2)
и нелинейных многокомпонентных уравнений Шрёдингера (мультисо-литонных комплексов)
*е«№«, + Щ|*|)Ф, (3)
где Ф — да-компонентный вектор и ;* — мнимая единица. Кроме того, установлена взаимосвязь между уравнениями Тоды (1) и иерархиями уравнений Кортевега-де Фриза
Г| = -АГиж+ЗТГ„ *(~-0*« + ^, /3 = const. (4)
Задачи исследования. В работе решены следующие задачи:
-
Получить явное описание алгебры Ли нётеровых симметрии лагранжиана уравнений Тоды (1), ассоциированных с невырожденной симметризуемой матрицей ранга г.
-
Зная алгебру Ли точечных симметрии бездисперсионного уравнения Тоды (2), найти новые классы решений этого уравнения -и реконструировать для него законы сохранения. Построить набор законов сохранения для нелинейного уравнения Шрёдингера (3).
-
Построить операторы рекурсии для уравнений Тоды (1), указать коммутативную иерархию их локальных гамильтоновых симметрии, порождаемую нелокальным оператором рекурсии, и установить ее взаимосвязь с иерархиями уравнений Кортевега-де Фриза (4) и операторами рекурсии для них.
-
Проанализировать свойства однопараметрических семейств преобразований Беклунда для уравнения Лиувилля и изучить переход от преобразований Беклунда к представлениям нулевой кривизны для этого уравнения. Построить явно пары решений, связанные преобразованиями Беклунда, найти нелокальные симметрии этого уравнения.
-
Построить представления TV-местных аналогов алгебры Ли конформных симметрии уравнений Тоды (1) — алгебр Шлезингера-Сташефа — в пространствах дифференциальных операторов высших
порядков, указать свойства этих алгебр и их связь с определителями Вронского. Получить обобщения определителей Вронского функций многих переменных, удовлетворяющие тождествам Якоби для алгебр Шлезингера-Сташефа.
Метод исследований. Использованный метод исследований состоит в систематическом применении методов геометрии дифференциальных уравнений при изучении уравнений (1)-(4) и структур на них.
Научная новизна. Результаты диссертационной работы являются новыми и состоят в следующем:
1. Дано полное описание алгебры Ли нётеровых симметрии уравнений
Тоды иХу = екр(Ки), ассоциированных с невырожденной симметризу-
емой матрицей К общего положения; показано, что уравнения Тоды
допускают континуум локальных и континуум нелокальных операто
ров рекурсии, некоторые из которых, тем не менее, генерируют ло
кальные цепочки высших симметрии уравнений Тоды.
-
Проведен исчерпывающий анализ всех инвариантных решений бездисперсионного уравнения Тоды uxv = ехр(—ии), полученных применением групповых методов, и построены 5 законов сохранения для этого уравнения. Получены т(т — 1)/2 физически существенных законов сохранения для да-компонентного аналога Ф( = №3i + (/(|Ф|) Ф нелинейного уравнения Шредингера, указывающих на сохранение корреляций напряженности полей излучения между разными модами.
-
Гиперболическому уравнению Тоды иХу = схр(А"и), которое не является интегрируемым в случае матрицы К общего положения, сопоставлена коммутативная гамильтонова иерархия й нётеровых симметрии, причем установлено, что гамильтонианами этой иерархии являются гамильтонианы высших уравнений Кортевега-де Фриза, которые описывают эволюцию тензора энергии-импульса уравнений Тоды вдоль симметрии 21.
-
Установлено, что деформации однопараметрических семейста преобразований Беклунда для скалярных уравнений Тоды, ассоциированных с алгеброй .sfefC), определены скобкой Фрёлихера-Нийенхейса структурного элемента связности Картана и тени масштабной симметрии уравнений Тоды.
5. Вычислены структурные константы ассоциативных алгебр Шлезин-repa-Сташефа, представимых в пространстве дифференциальных операторов; указана взаимосвязь структуры этих алгебр и определителей Вронского. Построены обобщения определителей Вронского функций многих переменных, удовлетворяющие тождествам Якоби для таких алгебр.
Положения, выносимые на защиту. 1. Нётеровы симметрии лагранжиана уравнений Тоды, ассоциированных с невырожденной симмет-ризуемой постоянной т х г-матрицей, находятся во взаимно однозначном соответствии с законами сохранения для этих уравнений и имеют указанный в диссертационной работе вид. Построен континуум параметризованных произвольными гладкими функциями операторов рекурсии для уравнений Тоды, причем как чисто локальных, так и нелокальных.
-
Существуют 5 классов инвариантных решений бездисперсионных уравнений Тоды, 3 из которых параметризованы произвольными функциями; сохраняющиеся токи, соответствующие нётеровым классическим симметриям этого уравнения, имеют приведенный в работе вид. Построены алгебра симметрии и набор из гп законов сохранения для ш-компонентного нелинейного уравнения Шрёдингера.
-
С произвольной невырожденной симметризуемой (г х г)-матрицей К ассоциирована коммутативная иерархия 21 аналогов потенциального модифицированного уравнения Кортевега-де Фриза, связанная с иерархией 35 деформаций тензора энергии-импульса для уравнений Тоды UXy = exp(Ktt). Установлено, что иерархий и Ш имеют общие гамильтонианы, находящиеся в инволюции.
-
Существуют и предъявлены в диссертационной работе обобщения определителей Вронского функций многих переменных, удовлетворяющие тождествам Якоби для алгебр Шлезингера-Сташефа. Теоретическая и практическая значимость. Работа в целом носит теоретический характер. Результаты работы могут быть полезны исследователям, работающим в МГУ им. М.В.Ломоносова, Математическом институте им. В. А. Стеклова РАН, Институте теоретической
физики им. Л.Д.Ландау РАН и Институте программных систем РАН, специализирующимся в области конформной теории поля и в теории интегрируемых систем.
Апробация работы. Результаты диссертации были изложены на конференциях:
V, VI, VII Международные конференции студентов и аспирантов по фундаментальным наукам «Ломоносов», секция "Физика" (Москва, 2000, 2001, 2002 г.),
XXII, ХХШ, XXIV, XXV, XXVI Конференции молодых ученых. Механико-математический факультет МГУ (Москва, 2000, 2001, 2002, 2003, 2004 г.),
Международная конференция «Current Geometry 2003» (Неаполь, 25-28 июня 2003 г., Италия),
Юбилейная научная сессия-конференция секции ЯФ ОФН РАН
«Физика фунжаментальных взаимодействий», посвященная 100-летию
со дня рождения акад. А. И. Алиханова (Москва, 1-5 марта 2004 г.),
а также на научном семинаре по геометрии на физическом факульте
те МГУ им. М. В. Ломоносова, на семинарах «Алгебра и геометрия
дифференциальных уравнений» (рук. И. С. Красильщик) и «Риманова
геометрия, алгебры Ли и математическая физика» (рук. О. К. Шей-
нман) в Независимом московском университете, в Институте теоре
тической физики им. Л. Д. Ландау РАН, в университетах Твенте
(Энсхеде, Нидерланды), Утрехта (Нидерланды) и Лечче (Италия), на
VI и VII Школах по геометрии дифференциальных уравнений и вто
ричному дифференциальному исчислению (Санто Стефано дель Соле,
Италия), а также на 1-м семинаре по геометрии дифференциальных
многообразий (2003, там же).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы автором в 5 статьях и 7 тезисах докладов на научных конференциях; автором подготовлены 3 препринта и депонированы в ВИНИТИ 2 рукописи. Список публикаций автора по теме диссертации приведен в конце автореферата.
Личное участие автора. Все основные результаты получены лично автором на основе собственных идей и рекомендаций, предложенных
научным руководителем или высказанных при обсуждении результатов работы на семинарах и конференциях.
Структура и объем диссертации. Диссертационная работа изложена на 137 машинописных страницах и состоит из введения, 5 глав, содержащих 14 разделов и списка литературы из 112 наименований. Формулируемые в работе леммы, теоремы, утверждения и следствия имеют сплошную нумерацию от 1 до 70.
Благодарность. Автор выражает благодарность своему научному руководителю, профессору И. С. Красильщику, за постановку задачи, многочисленные обсуждения на всех этапах исследования и конструктивную критику. Кроме того, автор благодарен А. М. Вербовецкому и А. В. Овчинникову за существенные замечания и советы, а также А. А. Белавину, Р. Витоло, В. А. Головко, В. Г. Кацу, П. Керстену, Б. Г. Конопельченко, В. Г. Марихину, Ю. Д. Плетнеру, А. К. Погреб-кову, Б. Л. Фейгину, Е. В. Ферапонтову, А. Б. Шабату и всем участникам семинара по геометрии дифференциальных уравнений (НМУ) за полезные обсуждения. Также автор выражает благодарность профессорско-преподавательскому составу кафедры математики физического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова. Диссертационная работа выполнена при поддержке стипендии Правительства Российской Федерации и гранта INTAS YS 2001/2-33.
