Введение к работе
Тематика работы. Термин "гранично-контактная задача" был введен D 1961 году В. Н. Красилышковым1.
Гранично-контактной задачей называется краевая задача математический физики, в граничном условии которой на подмногообразии границы меньшей размерности ставятся дополнительные граничные условия. Эти "граничные условия в граничном условии" приняло называть гранично-контактными.
Интерес к гранично-контактным задачам в течение длительного времени был связан с запросами акустики (в особенности корабельной). Известны также отдельные работы по гранично-контактным задачам гидродинамики. В последнее время возник интерес к гранично-контактным задачам электродинамики.
Актуальность темы. Гранично-контактные задачи акустики образуют особый класс краевых задач для уравнения Гельмгольца, при постановке которых кроме краевых условий на поверхности тел ставятся дополнительные гранично-контактные условия в отдельных точках или на отдельных линиях границы. Имевшиеся в литературе доказательства единственности решения таких задач в неограниченной области в отсутствие поглощения носили частный характер. Доказательство теоремы единственности решения гранично-контактных задач в более общей постановке представляется одной из актуальных задач, решенных в диссертации.
Применение точечных моделей в гранично-контактных задачах акустики приводит к явно-решаемым задачам. Анализ явных выражений для поля позволил понять многие физические эффекты, имеющие место в акустических системах, состоящих из тонкостенных упругих элементов, находящихся в контакте со средой. К настоящему времени практи-
'КраСИЛЬНИКОВ В Н. (1961) О РЄШЄИИИ НеКОЮрЫХ і |»нииип Kfffl >,) || -| III | [ --,) ц || ли-
нейной іилродиндмики // ПММ, т. 26, N 4, с. 764 76$. ИОС ИАИ.И*J***"*'
IAU.HOI "
иьлко
СПете»
чески все явно-решаемые задачи уже исследованы, и для анализа новых более тонких эффектов взаимодействия звука и вибрации приходится рассматривать более сложные гранично-коитактиые задачи, требующие применения все более трудоемких методов решения. Расширение класса явпо-решаемых моделей является второй актуальной задачей.
Диссертация написана на основе монографии автора "Generalized point models in structural mechanics.", опубликованной в 2002 г. в издательстве "World Scientific" [18].
Цель работы состоит с одной стороны в исследовании граиично-кон-тактных задач акустики как задач математической физики, в доказательстве теорем единственности решений, в установлении контрольных тождеств типа оптической теоремы, в исследовании аналитических свойств решений. С другой стороны целью работы является разработка сравнительно простой процедуры построения асимптотических разложений поля, рассеянного на неоднородности, занимающей малый объем по сравнению с характерной длиной волны, и расширение класса явно-решаемых точечных моделей.
Научная новизна работы заключается в применении теории расширений симметричных операторов к гранично-контактным задачам акустики. Впервые методы теории расширений симметричных операторов были применены к гранично-контактным задачам в диссертации автора "Низкочастотные асимптотики в гранично-контактных задачах математической физики и теория расширений симметричных операторов1' на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. Дальнейшее развитие идеи моделирования процессов рассеяния в гра-ничио-коитактиых задачах акустики при помощи потенциалов нулевого радиуса привело к сформулированной в данной диссертации процедуре, позволяющей выбирать параметры обобщенной точечной модели на основании исследования более простых, предельных задач, в одной
из которых механическая конструкция предполагается абсолютно жесткой, D другой изолированной (отсутствует акустическая среда).
Научная и практическая ценность результат о в диссертационной работы определяемся возможностью использования разработанного метода обобщенных точечных моделей для изучения акустических и вибрационных процессов D тонкостенных механических конструкциях, находящихся в контакте с жидкостью или газом. Разработанный метод расширяет класс точечных моделей в гранично-контактных задачах акустики. Полученные в работе обобщенные точечные модели имеют более широкую область применимости, чем их классические аналоги, где таковые имеются.
Обнаруженные физические эффекты позволяют лучше понять процессы взаимодействия звука и вибрации.
Достоверность основных положений и результатов диссертации обеспечивается использованием строгих методов математического анализа, теории операторов, асимптотических методов. Достоверность результатов подтверждается сравнением с результатами других авторов, где это возможно.
На защиту выносятся следующие положения:
1. По классической теории гранично-контактных задач акустики:
(а) Представление рассеянного поля в виде интеграла по модифи
цированному контуру Зоммсрфельда от аналитического про
должения диаграммы.
(б) Формула связи каналов рассеяния, выражающая амплитуды
поверхностных волн через вычет аналитического продолже
ния диаграммы в комплексном полюсе, и аналогичная фор
мула для кромочных волн релеевского типа.
(в) Доказательство теоремы единственности решения корректно
поставленной (т.е. в случае препятствий, не излучающих энер
гии) гранично-контактной задачи акустики для упругой пла
стины с компактным препятствием общего вида в отсутствие
поглощения.
(г) Теорема единственности для рассеяния в изолированных пла
стинах и пример неединственного решения корректно поста
вленной задачи рассеяния на импедансном круговом препят
ствии.
(д) Постановка и решение гранично-контактной задачи акустики
для пластины, разделенной бесконечной прямолинейной тре
щиной и спаянной в точке.
(е) Исследование кромочных волн, распространяющихся вдоль
бесконечной прямолинейной трещины в упругой пластине, по
крывающей акустическое полупространство.
2. По гранично-контактным задачам акустики, сводящимся к инте
гральным уравнениям:
(а) Асимптотика решения задачи дифракции на трещине конеч
ной ширины в упругой пластине.
(б) Асимптотика и численный расчет решения задачи дифракции
на короткой трещине в изолированной упругой пластине и в
пластине, находящейся в контакте с акустической средой.
(в) Рассеяние на сочленении изолированных полубесконечных пла
стин вдоль короткого отрезка.
3. По обобщенным точечным моделям:
(а) Процедура построения обобщенных точечных моделей.
(б) Обобщенные точечные модели в двумерных гранично-контакт
ных задачах акустики (модели узкой трещины, отверстия с
зажатыми краями, воздушного пузырька).
(в) Обобщенные точечные модели в трехмерных гранично-кон
тактных задачах акустики (модели короткой трещины, кру
говых отверстий с зажатыми и со свободными кромками).
(г) Обобщенная точечная модель короткого спая полубесконеч
ных пластин.
(д) Обобщенная модель выступающею ребра жесткости.
4. По теории интегральных уравнений:
(а) Теорема существования и единственности решения суперсин
гулярных интегральных уравнений типа свертки.
(б) Регуляризация и теорема существования и единственности не-
интегрируемого решения интегральных уравнений первого ро
да с гладким ядром.
Апробация работы. Основные результаты диссертации доложены на Выездных научных совещаниях научного совета АН СССР по проблеме "Акустика" по теме "Колебания и излучение механических структур", Репино 1989, 1991 гг.; IV Всесоюзной конф. "Смешанные задачи механики деформируемого тела", Одесса 1989; Всесоюзном симпозиуме "Взаимодействие волн с упругими телами", Таллинн 1989; 10-ом Всесоюзном Симпозиуме по дифракции и распространению волн, Винница 1990; Всесоюзной конф. "Интегральные уравнения и краевые задачи математической физики", Владивосток 1990; NATO Advanced Research Workshop on Classical and Modern Potential Theory and Applications, Chateau Bonnas (Франция), 1993; 915-th Meeting of the AMS, Chattanooga (США), 1996; 1-ой Крымской осенней математической школе, Батилиман 1997; VIII Symposium sobie Polinomios Ortogonales у sus Applicaciones, Sevilla (Испания), 1997; The 9-th Internat. Colloquium on Differential Equations, Plovdiv (Болгария), 1998; Workshop on the Analytical and Computational Methods for Convection-dominated and Singular Perturbed Problems, Lozcnrtz (Болгария), 1998; 5-ой международной конференции "Mathematical and Nu-
merical Aspects of Wave Propagation1', Santiago de Compostella (Испания), 2000; 1-st &. 2-nd IMA Conferences on Boundary Integral Methods: Theory and Applications, Salford & Bath (Великобритания), 1998 &; 2000; Marcus Wallenberg Symposium in memory of S.Kovalcvski "Differential equations & applications", Stockholm (Швеция), 2000: ШТАМ Symposium on Diffraction and Scattering in Fluid Mechanics and Elasticity, Manchester (Великобритания), 2000; Symposium "Theoiy of partial diffeiential equations and special topics of theory of ordinary differential equations dedicated to 150-th anniversary of birthday of Sofia V. Kovalcvskaya", St.Petersburg, 2000; The 2001 Intcrnat. Congress and Exhibition on Noise Control Engineering, The Hague (Нидерланды), 2001; The 7-th Intcrnat. Conference on Integral Methods in Science and Engineering (IMSE), Saint-Etienne (Франция), 2002; а также неоднократно на Международных семинарах "День Дифракции", С.-Петербург.
Были также сделаны доклады на семинаре кафедры теории упругости математико-механического факультета СПбГУ, па семинаре по прикладной математике в университете Keele (Великобритания) и на семинаре, руководимом G. Lebeau, Ecole Polytechnique, Париж (Франция).
Результаты, вошедшие в диссертацию, неоднократно докладывались на семинаре по матемахическим вопросам теории дифракции в Ленинградском - Петербургском отделении математического института АН СССР - РАН и на семинаре по вычислительной и теоретической акустике в Институте проблем машиноведения РАН.
Публикации. Результаты диссертации опубликованы в монографии [18], 30 статьях, приведенных в конце автореферата, а также в тезисах и трудах всесоюзных и международных конференций.
Объем работы составляет 319 страниц, 24 рисунка. В списке цитированной литературы приведено 201 наименование.