Введение к работе
Актуальность теш. Диссертационная работа посвящена изучению стационарных режимов в задачах типа "реакция-диффузия", содержащих участки резкого изменения решения (пограничные слои, "всплески", внутренние переходные слои), вызывающие сейчас большой интерес в связи с развитием таких областей как синергетика, нелинейная оптика, химическая и биологическая кинетика. Для описания математических моделей в таких задачах применяют нелинейные уравнения эллиптического типа, содержащие один или несколько малых параметров, что позволяет с успехом использовать асимптотические методы теории сингулярных возмущений для их исследования.
В настояние время одним из наиболее эффективных асимптотических методов решения сингулярно возмущэнных нелинейных краевых задач математической физики является метод пограничных функций, предлояэнный А. Б. Васильевой, М. И. Вишиком и Л. А. Люстер-ником и развитый позднее в работах А. Б. Васильевой, В. Ф. Бутузова и их учеников, а также ряда других научных групп.
В данной диссертационной работе метод пограничных функций получил дальнейшее развитие в применении к новому классу задач для эллиптических уравнений.
Цель работы состоит в следующем: і. Ери помощи метода пограничных функций разработать алгоритмы получения и обоснования равномерных асимптотических приближений периодических решений слабо нелинейных неавтономных уравнений эллиптического типа с малыми параметрами в критическом и некритическом случаях.
-
Развить алгоритмы построения и обоснования асимптотических разложений периодических по всем переменным решений сингулярно возмущенных уравнений в многомерной области.
-
Исследовать решения типа пространственной контрастной структуры нелинейных автономных сингулярно возмущенных уравнений эллиптического типа. Получить условия существования в таких задачах решений с периодическими контрастными структурами.
Научная новизна работы. Вэвьам являются следующие результаты, полученные в диссертации:
В рамках единого подхода, основанного на методе пограничных функций в сочетании с методом Фурье, предложены и обоснованы эффективные алгоритмы построения асимптотических приближений периодических решений слабо нелинейных неавтономных уравнений эллиптического типа с двумя малыми параметрами в критическом и некритическом случаях.
Рассмотрен ряд новых задач с периодическими по всем пространственным переменным граничными условиями в многомерной области с доказательством равномерной оценки остаточного члена в классах Гельдера
Доказано существование решений типа пространственной контрастной структуры у нелинейных автономных сингулярно возмущенных уравнений эллиптического типа с несимметричным вхолде-нием малого параметра в дифференциальный оператор.
Впервые исследовались периодические контрастные структуры в решениях сингулярно возмущэнных уравнений эллиптического типа
Практическая ценность работы. Полученные в диссертации результаты могут быть использованы при изучении стационарных решений широкого класса задач типа "реакция-диффузия" в случае большой разницы в масштабах по различным пространственным переменным, применение к ним численных методов, как правило, сильно затруднено из-за наличия участков резкого изменения решения. Предложенный в работе алгоритм построения асимптотических приближений таких решений позволяет получать количественные оценки характеристик физических систем. В то же время, построенная асимптотика передает качественный характер решения и на нее можно опираться при проведении численного эксперимента, что < позволяет существенно снизить затраты времени и повысить точность результатов путем надлежащего выбора начальных приближений и масштабов расчетной сетки.
Апробация. Результаты работы докладывались на Всесоюзном совешании-семинаре "Методы малого параметра'ЧНальчик, 1987 г), на Совещании по теории сингулярных возмущений "методы теории сингулярных возмущений в прикладных задачах"(Рига, 1990 г.), на семинаре факультета ВМК МГУ под руководством профессора Ы. М. 2а-паева(Москва, 1992 г.) и неоднократно обсуждались на семинарах по теории сингулярных возмущений кафедры математики физического факультета МГУ.
Публикации. Результаты диссертации опубликованы в шести печатных работах, список которых приведен в конце автореферата
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, грех глав, заключения и списка литературы, изложена на 114 страницах машинописного текста, содержит 9 рисунков и библиографию, включающую 60 наименований.