Введение к работе
Актуальность темы. Уравнения Пенлеве возникли в рамках аналитической теории дифференциальных уравнений в конце прошлого века. Интерес к ним возобновили исследования по теории солитонов и методу обратной задачи рассеяния в конце 70-х, начале 80-х годов. В те годы было установлено, что уравнения Пенлеве-типа и, в частности, уравнения Пенлеве, неибежно возникают как редукции полностью интегрируемых систем. Начало новому подходу к теории уравнений Пенлеве — методу изомонодромных деформаций — положили работы ученых японской школы М. Джимбо, Т. Мива, М. Сато [1], [2] и Г. Флашки и А. К. Ньэлла [3].
Тогда же обнаружилось, что уравнения Пенлеве возникают во многих задачах теоретической, математической и статистической физики. Пятое уравнение Пенлеве возникает в следующих приложениях: (1) проблема N-волн, (2) уравнение Эрнста (общая теория относительности), (3) уравнение Лиувилля и уравнение типа Sin-Gordon, (4) теория одномерного бозе-газа, (5) построение спин-спиновой корреляционной функции ХУ-модели. В этих задачах требуется связать асимптотики решений пятого уравнения Пенлеве, заданные в различных областях комплексной плоскости. Эта проблема непосредственно приводит к необходимости построения формул связи. Метод изомонодромных деформаций в настоящее время является основным способом получения формул связи. Он развивался в работах русских ученых: А. Р. Итса [4], В. Ю. Новокшенова [5] и др.
Цель работы. Целью диссертации является:
Классификация решений пятого уравнения Пенлеве на вещественной оси, а именно: построение всех возможных типов асимптотик решений в окрестности двух особых точек, нуля и бесконечности, и вычисление достаточного количества членов в асимптотических разложениях;
Вычисление данных монодромии для соответствущих решений путем асимптотического анализа ассоциированного линейного уравнения, что дает возможность непосредственно получить явные формулы связи между коэффициентами асимптотических разложений;
Сопоставление полученных формул связи с уже известными частными случаями и результатами численного анализа (см. Часть 1 и Части 11 и 12).
Методика исследований. Для асимптотического анализа пя-
того уравнения Пенлеве используется метод изомонодромных деформаций (см. ссылки выше). В рамках этого метода задача сводится к вычислению данных монодромии линейного уравнения. В случае большого аргумента t, то есть при исследовании асимптотик решения в окрестности бесконечности, применяется ВКВ-метод [6]. Также используется метод сшивки асимптотических разложений. Аргумент t выбирается положительным t > 0. Для отрицательных t все результаты получаются применением преобразований из Части 21. Для обоснования формул, получаемых в рамках метода изомонодромных деформаций, применяются результаты работы [7].
Научная новизна. Все основные результаты работы являются новыми.
Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. О некоторых приложениях рассмотренных задач сказано выше. Результаты и техника работы могут быть использованы в следующих областях: теория солитонов, нелинейные специальные функции, теория линейных и нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинаре по математической физике в Санкт-Петербургском отделении математического института РАН, а также на семинаре кафедры математики в Санкт-Петербургском институте экономики и финансов. Результаты диссертации были представлены на двух международных конференциях: Centre de Mathematiques, Universite de Montreal (Quebec), Canada, Workshop on the Theory of Special Functions, 1) Theory of Nonlinear Special Functions: The Painleve Transcendents (1996) и на конференции AMS-IMS-SIAM в Mount Holyoke College в South Hadley, Massachusetts: "Random matrices, statistical mechanics, and Painleve transcendents" (1996).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [8, 9, 10, 11, 12]. Исправленные электронные версии работ [9, 10] доступны через Internet по адресу: .
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из Введения и четырех глав, разбитых на 21 часть. Объем работы — 95 страниц в TgjK'e, т.е. не менее 190 машинописных. Список литературы содержит 119 наименований.