Представления алгебр токов, квази-частицы и конформная теория поля Стояновский, Александр Васильевич

Введение к работе

Актуальность темы.

D последнее десятилетие двумерные конформно-инвариантные квантовые теории поля (ККТП) иптепепвпо изучались как физиками, так и математиками. Интерес к ККТП во многом вызван тем, что эти теории точно решаемы, т. е. корреляционные фупкции в них могут бить явно вычислены. Основная причина точной решаемости ККТП — наличие у них бесконечномерных алгебр Ли внутренних симметрии: алгебры Вирасоро и, более общо, расширенных конформных алгебр.

Замечательным примером ККТП являются модели Весса - Зумино - Новикова -Виттена (WZNW-модели). В пионерской работе [1] В.Г. Книжпяк и А.Б. Замолодчиков показали, что расширенные конформные алгебры симметрии WZNW-моделей — это аффинные алгебры Каца - Муди (или алгебры токов). Таким образом, гильбертовы пространства состояний WZNW-моделей (в голоморфном секторе) имеют структуру представлений аффинных алгебр со старшим весом.

Возникает математическая задача изучения представлений аффинных алгебр и применения результатов к решению проблем ККТП (исследованию трансформационных свойств локальных полей под действием генераторов симметрии, нахождению корреляционных функций и т. д.). Интерес к этой задаче огромен, см., папример, фундаментальную монографию [2] и список литературы к пей.

В пастоящей диссертации развивается новый подход к теории представлений аффинных алгебр Каца - Муди и к ККТП.

Пусть 0 — конечномерная комплексная простая алгебра Ли, Lg — алгебра Ли петель

(отображений окружности в алгебру д), и g — аффинная алгебра, т. е. одномерное неї тральное расширение алгебры Ли ід. Основная идея состоит в том, что неприводимо представление V алгебры Ли 0 ограничивается на подалгебру Ли in петель со значені ями в максимальной нильпотентыой подалгебре п алгебры Ли g. Возникающая струї тура на пространстве V тщательно изучается, и это приводит к новым результата] теории представлений и к новому алгебро-геометрическому описанию пространств конформных блоков ККТП на римановой поверхности.

Особую роль в исследовании играет так называемое подпространство квази-ча . стшд W в пространстве представления V. Подпространство W получается действие] универсальной обертывающей U(Ln) алгебры Ли Ln на вакуумный вектор »еК (век тор старшего веса). Строится модель пространства W в пространстве симметрически функций от нескольких переменных с некоторыми условиями обращения в нуль на диа гопалях. Симметрические функции можно интерпретировать наглядно как волповы функции наборов «квазл-частпц», а условия на диагоналях — как правила «взаимодей ствия» этих квази-частиц друг с другом. Термин «квази-частицы» появился ранее в ра ботах Б.М. Мак-Коя и др. [3] по минимальным моделям ККТП и термодинамическом; анзатцу Бете. В настоящей работе выводится формула характера для подпростран ства W (см. формулу (*) ниже), похожая на «кваэи-частичные» формулы характер; Мак-Коя и др. для неприводимых представдепйй алгебры Вирасоро. Здесь проявляет ся сходство нашей теории с теорпей минимальных моделей (в подходе Мак-Коя и др.) до конца пока не понятое.

Напрашиваются естественные обобщения «квази-частичной» конструкции на дру

гпе типы взаимодействий (т. е. другие условия на диагоналях для волновых функций). Осповная гипотеза здесь состоит в том, что каждый новый тип взаимодействия порождает новую модель ККТП.

Цель работы состояла в изучении представлений аффинных алгебр Капа - Муди вышеуказанным методом, а также в применении полученных результатов к описанию структур ККТП.

Научная новизна работы.

1. Изучено ограничение интегрируемых неприводимых представлений аффинной ал
гебры Каца - Муди 5 на подалгебру Ли In токов со значениями в максимальной нилъ-
дотентной подалгебре алгебры Ли g; построены модели представлений с простым дей
ствием подалгебры In; найдены формулы характера для пред ставлений.

1. Исследовано «подпространство' кваэи-частиц» W — U[Lri) v в интегрируемом неприводимом представленпи, и интерпретировано как пространство симметрических функций (в пашей терминологии, волновых фуякциянаборов квази-частйц) с-некоторыми условиями на диагоналях (условиями взаимодействия).-

2. Изучена геометрия замыкания орбиты алгебры Ли In в многообразии флагов аффинной алгебры д.

3. Найдены различпые формулы характера для пространства квази-частиц, что дает доказательство и обобщения комбинаторных тождеств Роджерса - Рамануджана -Гордона.

4. Найдена простая конструкция пространства конформных блоков WZNW-моделей ККТП на компактпой римановой поверхности; исследованы связи этой конструкции с

геометрией многообразия модулей векторных расслоений на римановой поверхности. 6. Предложена общая конструкция «квази-частичных» моделей ККТП. Автор защищает результаты:

1. Подпространство кваэи-частиц W = {/(in) -v в вакуумном интегрируемом непри
водимом представленин V^ аффинной алгебры g на уровне к, к 6 Z, к ^ 0, естествен
но двойственно к пространству симметрических функций с некоторыми условиями иа
диагопалях. Это дает следующую формулу характера пространства квази-частиц (для
алгебр Ли g типа Л, D, Е):

*w=. ті—щ~> ^W

_m, _m*_r?o W» W*'

гдег —ранг алгебры Лив, (ч)т = (1 — I^і) (1~Я^т) ^исч ~ матричные элементы матрицы С = hA_t Bfc¹ — половины тензорного произведения матрицы Картава А_а алгебры Ли в на обратную симметризованную матрицу Картала Вь,

5. В случае g = sl(2) сравнение формулы (*) с другой формулой характера пространства кваэи-частиц (формулой.Лефшеца на многообразии флагов) доказывает тождества Гордона, а в случае q — sl(2n + 1) дает серию родственных комбинаторных тождеств.

6. Постороены модели неприводимых интегрируемых представлений аффинной алгебры д, д — sl(2), с простым действием подалгебры Ln; в случае произвольной алгебры Ли g найдены формулы характера для представлений.

7. Пространство конформных блоков SL(2)k WZNW-модели ККТП на компактной

римановои поисрхности А' естественно язоморфпо пространству мероморфиих симметрических дифференциалов на Х^ш с единственным полюсом порядка 2/V в отмеченной точке х₀ Є X по каждому множителю, обращающихся в пуль на (к -{- 1)-даагояали

Здесь Л^г — любое число, большее или равное роду поверхности X. Это описание эквивалентно геометрической аппроксимации Бертрама - Таддеуша [4] многообразия модулей векторных расслоений ранга 2 на римановои поверхности.

5. Доказана эквивалентность двух определений (теоретико-представленческого и алгебро-геометрического) для модулярного функтора, па компактной римановои поверхности в случае g = sl(n).

Структура диссертации.

Диссертация состоит из Введения, трех глав, Заключения и списка литературы из 52 наименований. Объем диссертации 78 стралиц, включая оглавление, 2 рисунка и список литературы.