Введение к работе
Актуальность темы
За десятилетие, прошедшее с выхода в свет пионерской работы А.А.Бедавина, А.М.Полякова и А.Б.Замолодчикова [8], был достигнут значительный прогресс в изучении конформных теорий поля (КТП) в двух измерениях. КТП получила большое число приложении в различных областях теоретической фпзикцот решёточных моделей статистической физики до теории струн и квантовой гравитации. В то же время велись и по сей день ведутся интенсивные математические исследования основании и методов КТП. Среди областей математики, обогатившихся от влияния КТП, можно назвать теорию представлений бесконечномерных алгебр Ли и квантовых групп, алгебраическую геометрию, теорию интегрируемых систем, теорию комбинаторных тождеств и модулярных форм, маломерную топологию и т.д. КТП и сейчас остаётся в центре внимания физиков и математиков.
Основной причиной точной решаемости КТП является наличие у них большой алгебры Ли симметрии. Пространства состояний КТП имеют структуру представлений алгебры Вирасоро и, более общо, расширенных конформных алгебр. Математической теории представлений таких алгебр посвящена первая глава диссертации.
В работе [74] А.Б.Заыолодчиков ввёл новый замечательный класс двумерных квантовых теорий поля — интегрируемые возмущения КТП. Эти теория, хоть и теряют конформную инвариантность, всё же обладают бесконечным набором интегралов движения в инволюции и поэтому могут быть точно решены. Интегралы движения этих теорий можно рассматривать как квантования иерархий солитонных уравнений. Исследованию интегралов движения посвящена вторая глава диссертации.
К сожалению, ненаписанной осталась третья глава о корреляционных функциях КТП по работам [7,20,36,38,41]. Добавление этой главы сильно превысило бы допустимый объём автореферата.
Научная ценность и новизна
Оригинальные результаты, представленные в диссертации, состоят в следующем: —г построена теория представлений алгебры Вирасоро;
определены и изучены бозонные модули (модули Вакимото) над аффинными алгебрами Каца - Муди;
определена W-алгебра, ассоциированная с простой алгеброй Ли, и построено квантование гамильтоновой редукции Дринфельда - Соколова;
доказана двойственность lV-алгебр:
доказана гипотеза Дринфельда о центре локального пополнения универсальной обёртывающей аффинной алгебры Ли на критическом уровне;
приведена гомологическая конструкция пространств классических и квантовых локальных интегралов движения теорий поля Тоды;
построено квантование обобщенных иерархий Кортевега - де Фриза;
обсуждается задача диагонализашш квантовых гамильтонианов иерархии КдФ.
Апробация работы
Диссертация содержит результаты 19 научных работ [19-37], опубликованных в России и за рубежом. Работы докладывались на семинарах в ІІТФ им. Л.Д.Ландау РАН, на мех-мато МГУ, в математическом институте RIMS (Киото), а также на международных конференциях, в том числе на Международных математических конгрессах в Киото (1990) и Цюрихе (1994) и па Международном конгрессе по математической физике (Париж, 1994).
Многие из реферируемых работ написаны в соавторстве. Мне приятно поблагодарить Т.Наканигди, Х.Оогури, Н.ІО.Решетпхшіа, Э.В.Френкеля и Д.Б.Фукса за сотрудничество.
В последнем параграфе (7) анонсируются неопубликованные результаты.