Введение к работе
Аннотация. Рассматриваются различные аспекты теории оптимального управления нелинейными системами с распределенными параметрами.
Приводятся примеры нарушения условий теорем о неявной функции и Люстерника, лежащих в основе методов оптимизации. Вводится понятие расширенной производной оператора. Показано, что для нелинейных задач математической физики возможна расширенная дифференциру-емость по параметру при отсутствии классической дафференцируемос-ти. Доказывается обобщения теорем о неявной функции и Люстерника в терминах расширенных производных, которые могут использоваться при обосновании методов линеаризации.
Устанавливаются различные формы условий оптимальности для нелинейных бесконечномерных систем на основе расширенной дифферен-цируекости функции состояния по управлении. Для приближенного решения задач применяются итерационные и рёгулярнзапдонные методы.
Предлагается метод эквивалентных систем, связанный с переходом от исследуемой задачи к системе более простой структуры. В качестве приложений рассматривавтся управляемость нелинейных сингулярных систем, экстремальные задачи с фазовыми ограничениями и обратные задачи математической физики.
Актуальность. Теория оптимального управления включает в себя обширный комплекс математических задач и находит применения в различных сферах науки и техники. Начиная с классических работ Л.С.По-нтрягина, В.Г.Болтяяского, Р.В.Гамкрелидзе, Е.Ф.Мищенко, а также РіБеллмана она становится объектом глубоких математических исследований, мощным аппаратом решения прикладных задач. Это в значительной степени относится к теории оптимального управления системами с распределенными - параметрами, более точно описывающими исследуемые процессы, но обладавшими весьма сложной структурой и требующими привлечения сильных математических методов. Возникновение этой теории связано с работами А.Г.Бутковского, А.И.Егорова, К.А.Лурье, Т.К.Сиразетдинова и др. Дальнейшие результаты в этом направлении получены В.Барбу, М.Гебелем, В.И.Иваленко и В.С.Мельником, А.Д,Искендеровым, Ж.-Л.Лнонсом, В.Г.Ллтвиновым, В.И.Плотни--ковым, У.Ё.Райтумом, А.В.Фурсиковым, И.Экландом и др.
В процессе решения всё более сложных задач появляется необ-
-ходимость в совершенствовании методов оптимизации. Общие схемы решения экстремальных задач приводятся в работах В-Г.Болтянского, Р.В.Гамкрелкдзе, А.Я.Дубоыщкого и А.А.Милютина, А.Д.Иоффе и З.М. Тихомирова, Л.Нейштадта, В.И.Плотникова, Б.Н.Пшеничного, В.А.Якубовича и др. При обосновании отих результатов применяются теоремы об обратной шш неявной функции и теорема Л.А.Люстерника об аппроксимации множества нулей оператора. Так, теоремы об обратной и неявной функции устанавливают дифференцируемость функции состояния по управлению, что является, по словам Ж.-Л.Лионса, наиболее сложным этапом решения нелинейных экстремальных задач. Теорема Люстер-ника обеспечішает аппроксимация ограничений, налагаемых на систему, объектами линейной природы, что позволяет затеи применять алгебраический аппарат.
В основе упомянутых теорем лежат ограничения ликеаризацпонной природы. В теоремах о неявной и обратной функции требуется обратимость производной оператора, т.е. однозначная разрешимость линеаризованного уравнения в соответствующем смысле. В теореме Люстер-ника предполагается саръективность производной оператора. В популярном в последнее время методе штрафа наиболее существенным моменте?,!, по слешам *^.—і#'**^исііСи.j л^ляотсл доказательоАхэи ^аа^вци^лчуО— ти сопряженного уравнения, что соответствует условиям теоремы об обратной функции. Эти требования нарушается для широкого класса нелинейных задач математической физика. Возникает необходимость в разработке более эффективных методов оптимизации.
Поль ъабоуц. Привести примеры нарушения условий теорем о неявной функции и Люотерника в задачах математической физики,. Дать обобщения этих теорем л обосновать их эф- . фектазиость. Разработать общую схему решения нелинейных 'опташза- ционных задач,'основанную .на понятии расшренной производной. Применить ее для решения широкого класса экстремальных задач для систем с распределенными параметрами.Для исследования вопросов управляемости и решения обратных и оптимизационных задач для нелинейных бесконечномерных сингулярных систем воспользоваться свойствами эквивалентности.
Научная .новизна. Предлагаются новые методы исследования
задач оптимального управления для нелинейных систем с распределенными параметрами и методы линеаризации бесконечномерных систем.
В диссертации получены следующие основные результаты:
-
Приведены примеры нарушения условий теорем о неявной, функции и Листерника, что препятствует применении известных методов оптимизации для решения соответствующих экстремальных задач.
-
Вводится понятие расширенной производной оператора, с помощью которого доказаны новые варианты теорем о неявкой функции и Двстерккка, эффективность которых подтверждается примерами.
-
Установлено неизвестное райее явление ухудшения степени дафференцируемости решения уравнения по параметру по мере роста показателя нелинейности и размерности области.,
-
Разработана общая Схема исследования оптимизационных задач для нелинейных систем с распределенными параметрами, основанная на понятии расширенно! дафференцируемости. С её помощью установлены условия оптимальности для ряда нерешенных ранее задач.
-
Для приближенного решения оптимизационных задач предлагаются новые итерационные и регулярязационные методы.
-
Вводится понятие эквивалентности систем управления, с помощью которого установлены новые результаты для нелинейных бесконечномерных систем - управляемость сингулярных систем, условия экстремума для сингулярных уравнений с фазовыми ограничениями, методы решения некоторых классов обратных задач"математической
физики. I
Практическая.ценность. Разработанные методы оптимизации
позволяют решить широкий класс прикладных задач для систем с распределенными параметрами(нелинейные процессы тепло- и ыассопереноса, нелинейные колебания и др.) Предложенные алгоритмы могут быть использованы для практического решения оптимизационных и обратных задач достаточно общего вида. Метод эквивалентных систем может применяться для исследования управляемости динамических систем, анализа сингулярных распределенных систем, для решения задач идентификации математических моделей.
Установленные методы линеаризации бесконечномерных систем могут быть "использованы в теории экстремума, в теории устойчивости динамических систем, в теории нелинейных уравнений, в обратных задачах математической физики, в методах приближенных вычислений, нелинейном функциональном анализе, дифференциальной топологии, теории групп Ли,- * с
Отдельные результаты работы использовались некоторыми специ
алистами в области оптимального управления системами с распреде-.
ленным, параметрами и внедрены в учебный процесс Казахского госу
дарственного университета им. Аль-Фарабя.
АшфОбадня работы. Материалы диссертации докладывалась и обсуждались на И Всесоюзной конференции по оптимальному управлению в механических системах (Казань, IS77), Всесоюзной конференции по устойчивости движения, колебаниям механических систем и аэродинамике (Москва, 1978), Ш Всесоюзной конференции по оптимальному управлению в механических системах (Киев, 1979), Всесоюзном семинаре "Вычислительные метода газовой динамики и тепломассообмена (Алма-Ата, 1980), П конференции по дифференциальным уравнениям и их примененшз (Русе, Болгария, IS8I), Научно -техническом семинаре "Эффективность машинного решения краевых задач" (Куйбышев, 1982), УП Межвузовской конференции по математике и механике (Алма-Ата, 1984), Ш конференции по дифференциальным уравнениям и их применению (Руса, Болгария, 1985), У Всесоюзной конференции по управлении в механических системах (Казань, IS85), У Национальном конгрессе по теоретической и прикладной механике (Варна, Болгария, 1985), УП Всесоюзной конференции ^Проблемы тео-рвї-Енеукии .кибернетики- (Иркутск, їава), и ееспублшсаяской конфе- ренции "Проблема вычислительной математики и автоматизации научных исследований (Алма-Ата, 1988), 17 конференции по дифференциальным уравнениям и их применении (Русз, Болгария, 1989), Всесоюзной конференции "Условно-корректные задачи, математической физики" (Алма-Ата, 1989), Всесоюзной конференции "Идентификация динамических систем и обратные задачи" (Суздаль, 1990), Ыеадународной конференция "Некорректно поставленные задачи в естественных науках" (Mqc-» ква, 1991), а также на научных семинарах профессора СД.Айсагали-* ева (Казахский государственный университет, г, Алмати), члена» корреспондента АПН В.Г.Болтянского (НИИ системных исследований, г. Москва), профессора Ф.П.Васильева (Московский государственный университет» г, Москва), профессора А.И.Егорова (Днепропетровский институт инженеров транспорта, г. Днепропетровск), академика РАН О Д.Ладыженской и профессора Н.Н.Уралъцевой (Санкт-Летербургское отделение ШРАН, г. Санкт-Петербург), профессора В.Г.Литвинова (Институт механики АН Украины, г. Киев), члена-корреспондента НАН РК А.ТДукьянова (Казахский государственный университет,г.Ал-каты), члена-корресдондечта НАН РК М.О.Отелоаева и академика ИА
?К Ш.С.Смагулова (Казахский государственный университет, г.Алмати), профессора Н.Т.Темиргалкева (Казахский государственный университет, г. Алматы), профессора В.М.Тахошрова (Московский государственный университет, г. Москва), профессора Д.У.Умбетжа-нова и профессора М.И.Рахимбердиева (институт теоретической и прикладной математики НАН РК, г. Алматы), профессора СН.Харина (институт теоретическое и прикладной математики НАН РК, г. Алматы), члена-корреспондента РАН В.А.Якуо'овича (Санкт-Петербургский государственный университет, г. Санкт-Петербург).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы з 36 работах.
Структура и объем работы. Диссертация включает в себя
введение, четыре главы, выводы з список литературы из 184 наименований. Работа изложена на 244 страницах мадикоплсного текста.