Введение к работе
рТ*ЦК'і }
Актуальность темы. В последние десятилетия сильно возрос интерес к исследованию гамильтоновых динамических систем вследствие развития вычислительной техники и открывшейся возможности приложения теории динамических систем к задачам самой различной природы.
Ныло обнаружено, что фазовое пространство общей га-мильтоновой системы с числом степеней свободы больше единицы делится на регулярную и стохастическую компоненты. Регулярная компонента является объектом теории КАМ и к настоящему времени сравнительно хорошо изучена.
Не так обстоит дело со стохастической компонентой. Ее возникновение связано с открытым А.Пуанкаре явлением расщепления сепаратрис, т.е. трансверсальным пересечением инвариантных многообразий, соответствующих неустойчивым периодическим траекториям. Со времени открытия этого явления и осознания его последствий для динамики прошло более ста лет. Однако, до сих пор в картине пересекающихся сепаратрис Многое остается неясным.
Явление расщепления сепаратрис играет заметную роль в задачах физики плазмы, таких как исследование устойчивости магнитных бутылок и стохастического ускорения частиц. Расщепление сепаратрис может приводить к несохранению адиабатических инвариантов. Сохраняющие площадь отображения возликают также в теории твердого тела. В гидродинамике расщепление сепаратрис может обуславливать стохастизанию линий тока.
Расщепление сепаратрис является одним из универсальных механизмов возникновения стохастических явлений. В связи с отим, проблемам, связанным с расщеплением сепаратрис уделяется много внимания в научной литературе. Было обнаружено, что в целом ряде задач величина расщепления сепаратрис оказывается по порядку величины меньше любой степени параметра возмущения. В подобных задачах стандартные методы теории возмущений, использующие разложения по степеням малого параметра не позволяют исследовать эффекты, связанные с
рАсщеплеткч» сепаратрис. Имеется весьма мало аналитических результатов, касающихся экспоненциально малого расщепления сепаратрис.
Цель работы.. Получить и обосновать асимптотические по параметру возмущении формулы, характеризующие расщепление сепаратрис для ряда гамилг.тоновых систем, имеющих полиномиальный характер. Пронести исследование в случаях тригонометрического и алгебраического полиномов произвольной степени. Следует отнегшь, что все известные примеры, встречающиеся в научной литературе носят полиномиальный характер.
Методика исследования. Применяются методы функционального анализа и теории функций комплексной переменной. Для выявления экспоненциально малых по параметру возмущения аффектов строится аппроксимация аналитического продолжения сепаратрис. Для получения оценок с экспоненциально малой погрешностью используются аналитические интегралы движения, существующие в некоторой окрестности отрезков комплексных сепаратрис.
Научная новизна работы. Результаты, полученные автором, существенно развивают идеи, предложенные В,Ф.Лазуткиным и являются в подавляющем большинстве новыми. Получены асимптотические формулы для ряда величин, характеризующих расщепление сепаратрис полиномиальных отображений типа стандартного. Для алгебраических полиномов степени от 2 до 6 проведены вычисления на ЭВМ значения предэкспоненциалыюй постоянной. Для отображения «с подкручиванием», описывающего движение електрона в волновом пакете, получены асимптотики для инварианта гомо(гете-ро)клинических траекторий. Впервые получено строгое обоснование асимптотики угла расщепления сепаратрис для системы с непрерывным временем. Старший член асимптотики совпадает с величиной, предсказываемой с помощью интеграла Мельникова. Однако, метод Мельникова предполагает только степенную оценку погрешности и не Позволяет доказать наличие расщепления сепаратрис в случае, когда расщепление экспоненциально
Научи а'я и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут быть интересны специалистам по теоретической и математической физики, занимающимся нелинейными задачами, а также .специалистам по теории динамических систем.
Апробация. Результаты, вошедшие в диссертацию, были представлены на рабочих семинарах по теории бифуркаций в г.Пущино (1986 и 1988 гг.), на Всесоюзной конференции по теории нелинейных колебаний (г.Горький, 1990 г.), а также на международных конференциях Dynamics Days (г.Берлин, 1991 г.) и Dynamical Systems (г. Санкт-Петербург, 1991 Г.).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 5 научных работ.
Структура и объем диссертации. Диссертация- состоит из введения, четырех глав, разбитых на параграфы, приложения, заключения и списка литературы. Объем диссертации 112 страниц текста, 12 рисунков. Библиография содержит 58 наименований.