Введение к работе
Актуальность темы. Настоящая работа посвящена изучению специального класса нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными— так называемых систем Тоды, ассоциированных с алгебрами Ли. Формально эти системы являются системами уравнений гиперболического типа в двумерном пространстве-времени, а их нелинейность обусловлена наличием экспонент от неизвестных функций.
Одним из основных методов исследования систем такого типа является групповой анализ, восходящий еще к работам С. Ли, который предвосхитил определяющее значение групповых методов как мощного средства интегрирования дифферешщальных, в особенности нелинейных, уравнений. Согласно его кошсеппии, группы преобразований диф-феретшальных уравнений играют ту асе роль, что и группы Галуа для алгебраических. При этом возможность построения решений в том или ином представлении, а также само описание группы внутренней симметрии определяются свойствами алгебры соответствующей группы. После работ Э. Нётер стала ясна важная роль "обобщенных симметрии" , т.е. групп, инфинитезимальные образующие которых зависят не только от независимых и зависимых переменных системы, но также и от производных от зависимых переменных. Соответствующие групповые преобразования не будут больше геометрически действовать на пространстве независимых и зависимых переменных, поточечно преобразуя график функции; теперь это нелокальные преобразования. Э. Нётер показала, что каждая однопараметрическая группа симметрии вариационной задачи, либо геометрических, либо обобщенных, приводит к за-
кону сохранения и, обратно, каждый закон сохранения может быть получен таким способом.
Уравнения, обладающие решениями, которые могут быть получены в рамках метода обратной задачи рассеяния или эквивалентных ему, называют вполне интегрируемыми; для систем, решения которых выражаются в квадратурах и определяются набором произвольных функций, необходимым для полного решения задачи Гурса или Кожи, используется термин "точная интегрируемость". К настоящему времени существует гипотеза о связи между свойствами группы внутренней симметрии и критериями интегрируемости, именно: система точно интегрируема, если так называемая алгебра Ли—Бэклукда, генерирующая группу внутренних симметрии, конечномерна, и вполне интегрируема, если алгебра бесконечномерна, но обладает конечномерными (вырожденными) представлениями. Такова, например, алгебра Вирасоро, играющая важную роль в конформной теории поля.
Современный интерес к конформной инвариантности в квантовой теории поля обусловлен обнаружением масштабной инвариантности в глубоко неупругих процессах рассеяния пептонов нуклонами и изучением операторных разложений билокальиых операторов квантовых полей вблизи светового конуса. Конформная инвариантность является естественным обобщением глобальной масштабной симметрии в статистической физике (теория критических явлений — фазовые переходы второго рода) и квантовой теории поля.
В настоящее время построено большое число моделей теории ПОЛЯ, которые характеризуются тем, что наряду с конформной инвариантностью, связанной с тензором энергии-импульса, обладают дополнительными симметриями, генерируемыми другими сохраняющимися токами. Особое место среди таких моделей занимают модели, алгебры дополнительных симметрии которых ассоциированы с простыми алгебрами Ли и носят название W-алгебр. В частности, алгебра Вирасоро
является простейшим примером И'-алгебры, ассоциированной с простой алгеброй Ли А\. Более содержательный примс-р был впервые построен А.Б. Замолодчиковым путем непосредственного решения тождеств Якоби. Это была Р^/І2-алгебра, которая наряду с тензором энергии-импульса содержит сохраняющийся ток дополнительной симметрии спина 3, а по структуре является бесконечномерной алгеброй с квадратичными определяющими соотношениями.
В последние годы было установлено, что W-алгебры могут быть получены как алгебры обобщенных симметрии конформно инвариантных систем нелинейных дифференциальных уравнений, к числу которых относятся системы Тоды, при помощи различных процедур гамильтоно-вой редукции. При этом основное внимание было уделено квантовым задачам, а результаты в классическом (т.е. неквантовом) случае получались при помощи предельного перехода. В данной работе исследуются непосредственно конформно инвариантные модели классической теории поля, их алгебры симметрии и решения задачи Гурса.
Целью настоящей работы является во-первых, описание систем Тоды на основе лагранжева и гамильтонова формализма и получение решений задачи Гурса для простейших систем такого типа, ассоциированных с простыми конечномерными алгебрами Ли; во-вторых, вычисление образующих и соотношений для простейших классических VT-алгебр на основе установленной связи между образующими этих алгебр и дифференциальными инвариантами кривых в эквиаффинном пространстве; и в-третьих, исследование одной специальной системы Тоды, ассоциированной с бесконечномерной алгеброй Ли и не являющейся точно интегрируемой.
Научная новизна работы заключается в том, что
-
получены явные формулы, выражающие точное решение задачи Гурса для систем Тоды, ассоциированных с алгебрами Ли типов А\ и Аг, на основе гамильтоновой редукции модели Весса—Зумино к системе Тоды;
-
установлена взаимосвязь между образующими W-алгебр, являющихся алгебрами обобщенных симметрии систем Тоды, и дифференциальными инвариантами кривых в эквиаффинном пространстве и на основе этой взаимосвязи вычислены образующие и соотношения WA\-и WAi-алгебр;
-
рассмотрена простейшая система Тоды, ассоциированная с бесконечномерной алгеброй Ли — алгеброй Када—Муди типа А\ (которая, по существу, эквивалентна известному уравнению sine-Gordon.) и получено асимптотическое разложение решения задачи Гурса для нее по малому параметру, введенному в данные на характеристиках;
-
описана внутрештегеометрическая интерпретация произвольных решений уравнения sine-Gordon.
Практическая ценность. Системы Тоды являются весьма интересными моделями теории поля, и их исследование в классическом случае необходимо для последующего изучения соответствующих квантовых моделей. Кроме того, многие конкретные системы этого типа имеют важные приложения в других областях физики: физике плазмы, нелинейной оптике, физике ферромагнетиков, физике процессов горения и др. Уравнение sine-Gordon играет важную роль в вопросах изометрического погружения областей плоскости Лобачевского в трехмерное евклидово пространство. В силу сказанного результаты настоящей работы представляют несомненный практический интерес.
Апробация работы. Результаты настоящей работы докладывались на Международной конференции "First Non-Orthodox School on Nonlinearity and Geometry" (Варшава, 1995), на семинаре кафедры математики физического факультета МГУ под рук. В. Ф. Бутузова, семинаре по геометрии "в целом" под рук. И. X. Сабитова и Э. Р. Розен-дорна, семинаре кафедры математического анализа Коломенского педагогического института под рук. Е. Е. Петрова, семинаре "Nonlinearity and Geometry" Института теоретической физики Варшавского университета под рук. проф. А. Сима.
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[4].
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения и четырех глав. Объем работы — 96 страниц. Текст диссертации содержит 12 иллюстраций. Список литературы содержит 48 наименований.