Введение к работе
Актуальность темы.-Понятие динамической полугруппы обобщает
понятие группы отображений, действующих в гейзенберговской картине
квантовой механики на операторы з гильбертовом пространстве, и
понятие полугруппы операторов, порождаемой марковским процессом,
действующей на. элементы функциональных пространств. Оно
используется для описания эволюции наблюдаемых открытых
квантовых систем, а таюкэ процзссов взаимодействия между микро- и
макроскопическими объектами.' Математическое определение
* . ДЕЕашческой полугруппы было Еведено в работах йшдблада, Горини,
Сударшана е Коссєковского.в 1976г. х
-": 0 точки зрения приложений к задачЕм математической физики особый интерес, представляют. , динамические полугруппы с неограниченными производящими. отобраненияш, теория которых до настоящего времени остается изученной недостаточно. Одной из центральных проблем, связанной с вопросами' сутествовання и единственности динамической полугруппы, является вопрос" о существований и консервативности минимальных однопараметрических полугрупп нормальных вполне полокительных ежимаздих отображений, деЗствупзкх б'операторных алгебрах фон Неймана.
О алгебраической точки' зрения свойство консервативности
' означает- сохранение единицы полугруппой отобразэний, действующих в
алгебре ограниченных операторов в гильбертовом пространстве, и
следа для полугрупп/ дбйстБутаззх на алгебре операторов с
конечным следом. Вопрос об унитарности групп операторов,
действующих в соогзетствуыцем гильбертовом пространстве, а такие
вопрос об условиях отсутствия взрыва в квантовых системах с
переменным числом частиц ,. являются частными случаями проблемы
консервативности. Критерии консервативности минимальных
динамических полугрупп играют также важную, роль в теории квантовых стохастических уравнений.
В диссертации получены услощя консервативности минимальных динамических полугрупп, которые применяются для обоснования вероятностных представлений решений уравнения Шредингера с
векторным 'потенциалом, уравнения Паули и системы уравнений Дирака. Изучение вероятностных представлений является актуальным-с- точки зрения приложений в задачах туннёдарования и квантовой химш.
Цель работа состоит в - создании теории минимальных динамических полугрупп и выводе неоОходимых и-достаточных условий консервативности, а такає в приложении критериев рзгулярностя случайных процессов, ассоциированных с гамильтонианами квантовых' систем, для обоснования вероятностных представлении решений задач Кош для кваетовомкханяческих уравнений.
Научная новизна. Диссертационная работа содержит следующие
новые результати. «? ..''"<
-Получено Езобходиноэ и достаточное условие консервативности, минимальной, дангкическсй полугруппы, -икещэв вид условия" несуществования : ограниченных голожятельяых операторозначных решений спектральной задачи на полупрямой для ззвїшштезимального отображения дянаыяческой полугруппы в гейзенберговском представлении. Найдена эквивалвнгкгя формулировка необходимого и достаточного критерия консервативности, нывшая вид условия отсутствия ігалоаятельзнх ограниченных опэраторознзчных стационарных точек у вполне положительного сгиыаящэго отобрэкення, характеризукщэго минимальную данамггздскую - полугруппу. Показано, кэкиг образом тгуя Онть построены консервативные расширения 'минимальной динажчзской полугруппы в том случае, если необходимое условие консервативности для нее нарушено.
-Разработана техника проверки достаточных условий консервативности, основанная на использовании новых неравенств иенсеновского типа для ваолнэ положительных отображений. Получены конструктивные "достаточные условия, гмэхщие* вид условий относительной ограниченности снизу 'коммутаторов коэффициентов ин$инитезимального отображения динамической -полугруппы в гейзенберговском представлении.
-Обосновал нонзй «ход регуляризации класса фбйнмановских континуальных интегралов в Ездульсном представлении, основанный на сведении оценки гнтеграла к вкчнсленгв , (несобственного) матзматичеог:ого . оаидания относительно вероятностной меры
марковского скачкообразного процесса, ассоциированного с гамильтонианом квантовой системы.
-Получены новае : достаточные условия регулярности скачкообразных марковских процессов. Построены примеры и кснтрг/ршлзры, показывайте область првненЕмоети новых результатов и основные, технические пробле»ш, связанные с применением новых критериев консервативности и регулярности.
Теоретическая и практическая ценность. -Конструкция минимальной динамической полугруппы устанавливает обггую точтсу вреняя на вопросы унитарности квантовой эволюции и вопросы регулярности марковски процессов а выявляет глубокую связь кэжяу таорзкени - Струна к Фэллвра. " їаорзя минимальных днезгйхчєских полугрупп псзволкэг распространить операторные катоды для исследования , Еероктнпсяанх задач и наоборот, обобщить ряд тонкег результатов, полученных з теориз случайных процессов и в теорЕН полугрупп, для пэкоетф-зативвах алгебр фон Нвйжна.
-Коншкгеныа абсйшсю незрернЕЕЗэ преобразования
вероятностных мер скачкообразных марковских процессов, связываицие
случайнее сообщенные пуассоновские'процессы с решениями- квантовых
з?дгс Кош, расяшзсграгеш на регулярные " процессы . с
нэегршлгюнша еетєесненосі-ьз скачкоз, что позволяет использовать скасьстгчеекце метода решения ззолециоенгрс уравнений для класса квэн'гавокохснЕческнг задач с вгктэрнка потенциалом. СоотвзтстЕущая конструкция, предлагаемая в диссертационной работе,, открывает некие- возможности для численного решения гветащенаряах задач квантовой механика.
Ашдобапия работы, йнагочисленные ссикси на основные результаты, полученные автором диссертационней- работы, поаволяют сделать вывод о пржзнавзк результатов и их положительной оценке советский и'зарубеЕєн?лі специалистам.
. рсновше результаты диссертации докладывались и обсуидались
кэ еекзнарэ по вероятностным проблемам ггаэнтово2 теории в ШШ км.
З.А;Стекдрвг под руководством проф. А-С.Холэзой- а также на
сешнапах Института г. проблем механики РАЕ (рук. академик
.З.П.Маслов), кафэдры Математической онгики Физического факультета
МГУ (рук. проф. А.Г.С-єиі«ікоз), кафецда Дифферешиалькнх уравнений
^^Ф^*Г'ОЮ,ІЯН0В)- Ыатемг> Центра т. В.Вольтерра c^Zc Ж4"""" И (Рук. проф. Л.Аккарди), а . таикэ * следующих Всесовзша ж Международных конференциях:
te*^!?'* я03*8*8*» по »орш континуального интеграла Фейнмана (Марсель, 1978, Франция);
-Четвертая и Пятая Международные вильнюсские конференции по
УзССР)^ В0ЄЩвт ^^Р300 общества .Бернулли (Ташкент, 1986,
"J?7 ЗШНЯЯ ^3 m теРегической физике "Стохастические метода в математике и физике" (Карпач, 1988, ЕВ?!;
-Меадународная ЕсвфзреЕция cosaEX'89 "Стохастические методы в
экспериментальных науках" .(Склярска Пореба, 1989, ПНР) ""
^ЄЖ^ТтаЯ конференция "Квантовая вероятность и смежные
вопросы" (ТрентолэвЭ, Италия); " ' «а*В
воп^Х^^^ и"
(Мо^^?р):-КОЕЗЄРЄНЦИЯ С9ШШЙра --И-Г-Пвтровского
^Т?* ко*&&** "Квантовая вероятность и сменные вопросы (Обервольфах.1991, Германия);
-Первая Советско-Итальянская конференция го теории вероятностей и ее приложениям (іквила.1992. Италия).
Публикации ш теме дащтащи. По теме диссертации
опубликована. 21 работа в о0щ9союзных й мвадународах „J^.
Основные из этих работ приведены в списке 11-121.- Участе в
немногочисленных совместных работах выражалось в паритетном
выполнении этих работ по части, связанной с самостоятельными
исследованиями автора.. .
Структура и объем работы. Диссертация изложена на 201 странице машношсного текста и состоит из введения, четшэех " глав, заключения и сшска литературы, содержащего 87 наименований.