Задача Коши для нелинейного нелокального уравнения Шредингера Кайкина, Елена Игоревна

Введение к работе

Актуальность тени. Многие физические задачи, связанные .с- .нелинейными волнами описываются сравнительно небольшим числом универсальных математических уравнений. Одно из них -нелинейное-нелокальное уравнение Шредингера (Н.Ш.):

u_t - і\и\^ги + к (it) = О , (1)

где линейный псевдодифференциальный оператор к (и) определен

следующим образом:

-к». ^к("^} = Втс] |е^і(р'^г)К(р)и(р,г)ф .

—00

Здесь u(p,t) - преобразование Фурье функции u(x,t), К(р) -символ оператора к, N - размерность пространства х, х є fi^.

Уравнение (1) является весьма общим нелинейным уравнением с кубической нелинейностью и встречается- в различных областях физики: нелинейной оптике, химической кинетике, физике плазмы, гидродинамике, статистической механике и других. При различном выборе оператора к уравнение (1) включает в себя ряд известных уравнений.

Так, если к(и) = -(Ли, что соответствует символу й(р) = -1р^г, уравнение (1) является известным нелинейным уравнением Шредингера и описывает такие нестабильные явления, как самофокусировку электромагнитных лучей в нелинейной оптике, коллапс ленгмюровских волн в холодной плазме и др.

В случае, когда к (и) = -аАи - Ьи, что соответствует символу й(р) = -ар^г - о, уравнение (1) является обобщенным уравнением Ландау-Гинзбурга, которое, например, в неравно-

весной статистической механике является уравнением реакции-диЩ&узии и описывает турбулентное поведение концентрации реактивов в химической реакции.

Если к (u) = -lAu - I Г q{x-y)u(y,t)dy , т.е. К(р) =

= -ір^г - tq(p), уравнение (1) становится нелинейным нелокальным уравнением Щредингера и пригодно для описания процессов, связанных с диссипацией или накачкой энергии.

Перечисленные выше конкретные уравнения ранее изучались многими исследователями, а в общем случае уравнение (1) до сих пор не рассматривалось. Поэтому актуальным является вопрос о существовании решения задачи Коти в случаях, когда произвольными являются как начальные условия (не обязательно гладкие и малые), так и операторы к - антидиссипативные, диссипативше и консервативные.

Целью работы является изучение вопросов сглаживания и существования классических и обобщенных решений задачи Коши для нелинейного нелокального уравнения Щредингера с произвольным оператором к:

u_t - і\и\^ги + K(u) = О, u\_t=0 = й{х). (2)

Научная новизна результатов. В работе рассмотрена задача Коши для нелинейного нелокального уравнения Щредингера с произвольным оператором к: диссипативным, консервативным и антидиссипативным. Получены следующие результаты.

1. Доказана теорема существования решения в случае
ограниченного оператора к.

2. Доказано локальное во времени существование решения

в случае, когда диссипативная часть оператора к ограничена снизу некоторой отрицательной константой.

3. Установлено существование классического решения в
случае, когда порядок дисссипативной или консервативной
части больше N. — ...-." . і ..

1. Доказана теорема "о локальном во времени сглаживании разрывного начального возмущения в диссипативном случае.

2. Определены условия существования сглаженного решения в целом по времени в слабодиссипативном и сильнодиссипатив-ном случаях.

6.. Установлено локальное во времени существование решения в антидиссипативном случае. Практическая ценность работы. Проведено всестороннее исследование задачи.Коши для одного из важнейших уравнений современной математической физики - нелинейного нелокального уравнения Шредингера с произвольным оператором к.

Результаты диссертации могут быть использованы при изучении волновых движений с учетом различных эффектов диссипации и консервативных процессов, а также при численном моделировании волновых процессов на ЭВМ.

Структура и объем диссертации. Диссертация содержит 100 страниц и состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы, содержащего 18 наименований.