Введение к работе
-. -
- * «
* ' і
-т. І
. : -JJ Актуальность темы. Теория абелевьх групп является одной из важных ветвей современной алгебры. Особое место в ней занимает теория абелевьх групп без кручения конечного ранга, у истоков которой в 30-50 гг стояли Л.С.Понт-рягин [і] , А.Г.Курош [2~\ , А.И.Мальцев [з} , Л.Я.Куликов [4] , Р.Бэр [51 и др.
В современной теории абелевых групп без кручения конечного ранга переплетаются идеи и методы линейной алгебры, теории .чисел, теории групп, модулей, колец, категорий, представлений. С другой стороны сама теория абелевых групп во многом является источником идей для смегкных областе!: алгебры. Широкая применимость абелевьх групп в различных ч областях математики является одной из причин интенсивного развития теории абелевьх групп в по ел един е. годы (см. [6-8]) причем наибольшее число публикаций приходится на группы без кручения конечного ранга.
Значительным событием в теории абелевш групп без кручения конечного ранга явилось открытие Б.Ііонссоном [э] в 1959 г. понятий квазигомодарйизыа и квазиизоморфнзма, а также его теорема об однозначности квазипрямых разложений в категории квазигогоморфлзмов абелевьх групп без кручения конечного ранга и примеры аномальных прямых раэлозений,-
Тогда ае чуть позже Р.Бьшэкт и Р. ГОгрс в совместной статье ю] , отказавшись от принципа классификации с точностью до изоморфизма в пользу принципа классификации с точностью до квазиизоморфизма, дали удовлетворительное описание абелевых групп без кручения ранга 2 с точностью до квазикзошрфизма. Эта работа послужила началом серьёзных исследований абелевьх групп без кручения ранга 2, в библиографии диссертации приводится более 40 наименований публикаций го группам ранга 2.
Описание с точностью до квазиизоморфизма абелевкх 'jj групп без кручения ранга 3 было получено автором ["34"} в 1989 г. Вскоре [35, 36^ удалось распространить этот 'результат на абелевы группы без кручения произвольного конечного ранга, что и составляет основной результат предлагаемой диссертации. Применение его к группам ранга 2-дает упомянутое выше описание Бьюыонта-Пирса С10} .
Сложность и богатство класса абелевых групп без кручения конечного ранга подтверждается большим числом глубока результатов, связанных с этим классом групп, доказывается как математический факт результатом А.Б.Яковлева l_Il\ о "дикости" задачи классификации с точки зрения теории представлений и наглядно проявляется в данной диссертации. Отметим неюторые наиболее интересные направления современных исследований в классе абелевых групп без кручения конечного ранга.
Группы ранга 2. Эти исследования тесно связаны о теорией чисел 12~\ .
Кольца эндоморфизмов и квазиэндомэрфизмов. Группы как шдулк над этими кольцами. В нашей стране этими вопросами занимается П.А.Крылов в] п Томская алгебраическая школа.
Аномальные прямые разложения. В настоящее время имеется глубоко продвинутая теория, созданная усилиями Б.Конссона, А.Корнера, Е.А.Благовещенской и А.В.Яковлева
№.
--. Группы Батлера. Это направление развивается в основной на Западе. Недавно получено описание с точностью до квазішзоіюрфизма этих групп при пошца некоторых инвариантов ібЗ »
Имеются также к другие направления исследований, ' однако наиболее актуальной задачей, в теории абелевых групп без кручения конечного ранга является задача находденкя удобных способов задания групп этого класса. В " диссертации как раз и предлагается принципиально новый способ задания
груші с точностью до квазиизомор4изгла при помощи так называемых (^ s... fCtnr") -пространств и развиваются новые методы исследования этих групп, близкие к методам линейной алгебры.
Всё вышесказанное позволяет считать тему диссертации актуальной.
Цель работы. I. Разработать новые методы изучения абелевых групп без кручения конечного ранга и новый способ задания этих групп с точностью до квазпизошрфизма.
2. Применить эти методы к изучению класса групп с одним 'Й'-адическим соотношением 32] , который содержит в качестве подклассов многие ранее изучавшиеся классы групп или двойственные к ним, в частности, содержит класс групп-без кручения ранга 2.
Общая методика исследований» В диссертации используются методы и вдеп теорші абелевых групп, теории колец и модулей, теории категорий, топологические методы, методы линейной алгебры и теории чисел. Разработанные в диссертации методы близки к методам линейной алгебры, применение этих методов сводит многие теоретико-групповые вопросы к теоретико-числовым.
Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми. Основными результатами данной работы можно считать следующие.
1. Теорема об эквивалентности категории квазигото-
морфлзмов юредуцированных абелевых групп без кручения
конечного ранга с фиксированным типом Ричмена
^Ч ^ ... ^Тт- и категории (^ ,..., t"m.)-пространств /теорема II.8.3/.
2. Результаты третьей главы о группах с одним
*2Г-адическим соотношением: описание серванти ых под
групп л фактор-групп по ним, в частности множеств типов
з котипов, гольца квазиэндоморфизмов и группы квазигомэ-
морфлзшв, решётки сервантных вполне характеристических
подгрупп и псевдоцоколя, реаение юпроса о квазипрямых \\ разложениях, описание сервантно свободных групп.
Практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы в научных исследованиях по теории абелевых групп в ШГУ, в Томском и Санкт-Петербургском университетах, в Институте математики СО РАН, в ряде пединститутов, а также во многих алгебраических центрах, в которых ведутся исследования, широко' использующие теорию 'абелевых групп. Кроме того, результаты диссертации могут использоваться при чтении специальных курсов для'студентов и аспирантов.
Апробация работы. Результаты работы докладывались ка IX, X и ХЕ Всесоюзных симпозиумах по теории групп в Москве, в 1984г., в Гомеле в 1986 г., в Свердловске в 1989 г., на ХУІІІ к XIX Всесоюзных алгебраических конференциях в Кишиневе в 1985 г. и Львове в I9S7 г., на УІ Симпозиуме по теории колец, алгебр и модулей во Львове в' 1990 г., на Международных алгебраических конфе-. ренцаях:посвяцённои А.И.Мальцеву в Новосибирске в 1989 г. и посвященной А.К.Ширшову в Барнауле в 1991 г., на . Ыальцезских чтениях в Ивановском университете в 1989 г., на 2-й Сибирской школе по .алгебре и анализу в Томске в 1988 г., на конференции по Проблемам чистой и прикладной математики, организованной институтом им.В.А.Стеклова в Туле в 1988 г., а такхе неоднократно обсуздались на алгебраических семинарах в МШУ, в МГУ, в Институте математики СО АН РАН, в Томском и Санкт-Петербургском университетах. Результаты диссертации опубликованы в 9 статьях и в 10 тезисах докладов в [21 -33] .
Объём к структура работы. Диссертация состоит из введения, трёх глав, каждая из которых :разбита на восемь параграфов, и списка литературы, содержащего 98 наименований, и занимает 261 страницу машинописного-'текста.