Введение к работе
АКТУАЛЬНОСТЬ ТІШ. Классическая локальная теория полей классов описывает абелевы расыирешш локального поля ( конечного расширения Q „ или IF» (()( ) в терминах мультипликативной группы исходного поля. В ряде работ А.Н.Парашн и К.Като построили теорию полей классов для многомерных локальных полей положительной характеристики. Оказалось, что абелевы расширения таких полей F соответствуют подгруппам в топологической К - груше \ (F) = K*(F)/K if) . где K*(F) -П- -я К - группа Милнора поля К Л„ (р) - пересечение всех окрестностей нуля в некоторой топологии на (Сц. (F).
А.Н.Паршин неоднократно ставил вопрос о том, как уотрое-ны абелевы расширения многомерных полных полей в случае, когда последнее поле вычетов алгебраически замкнуто. В одномерном случае - это замкнуто-полные поля, изучавшиеся Серром. Так как в случае, когда характеристика равна нулю, предпоследнее поле вычетов является квазиконечным, то естественно возникает задача построения теории полей классов для многомерных полных полей с квазиконечным полем вычетов. С другой стороны, в 40 -50-х годах в работах Накаяма, Шиллинга и Уэпплса локальная теория полей классов была обобщена на случай одномерных полных дискретно нормированных нолей о квазиконечным полем вычетов.
В настоящей работе теория нолей классов строится для многомерных полных полей положительной характеристики с квазиконечным полем вычетов.
ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Целью работы является описание абелевых расширений многомерных полных полей положительной характеристики с квазиконечным полем вычетов.
НАУЧНАЯ НОВИНА. Все ооновныэ результаты диосертадии являются новыми. В диссертации дается определение топологических К -групп Паршина и приводится описание топологического базиса в таких группах. Далее, полученные результаты используются для построения теории полей классов по методу Нойккрха -Оеоенко. Наконец, дается описание нормешшх подгрупп в ^ -группах Паршина в терминах так называемых аналитических подгрупп.
ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Результаты и методы работы применимы в теории полей классов. На том ze пути можно получить творив полей классов и в случае квазшсонечного поля вычетов нулевой характеристики.
АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Результаты работы докладывались на семинаре им.Д.К.Фаддеева Санкт-Петербургского отделения Математического института им.В.А.Стеклова Российской АН и на международной конференции по алгебре и. логике (Барнаул, 1991 г.)
ПУБЛИКАЦИИ. По теме диссертации опубликованы две работы [I] - [2] .
ОБЪЕМ РАБОТЫ. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав и занимает 59 страниц машинописного текста. Библиография содержит 22 наименования.