Введение к работе
Актуальность темы диссертации. В теории чисел важную роль играют аддитивные задачи. К ним относится задача Лагранжа о представлении натурального числа А^ в виде суммы четырех квадратов натуральных чисел. Более общую проблему о разрешимости в натуральных числах х\,Х2,- ,Хк уравнения
x1 + x% + ... + xl = N, (1)
называют проблемой Варинга. А задачу о представлении числа А^ суммой n-ых степеней простых чисел:
pnl+pn2+...+pnk = N
называют проблемой Варинга-Голъдбаха. Задача о числе решений уравнения
Pi + Р2 + Рз = N
— это тернарная проблема Гольдбаха. Задача о числе решений урав
нения
РІ+РІ+РІ+РІ+РЇ = Х
— задача Хуа Ло-Кена.
Широкий класс аддитивных задач теории чисел решается с помощью кругового метода. Его авторами являются Г. Харди и Дж. Литт-лвуд. В проблеме Варинга, к примеру, число решений уравнения (1) записывается в виде интеграла от бесконечного ряда по окружности. Харди и Литтлвуд разбили окружность интегрирования определенным образом на «большие» и «малые» дуги. На «больших» дугах выделили главный член асимптотической формулы, а на «малых» — оценили соответствующую часть интеграла как о-малое от главного члена.
И.М. Виноградов1 усовершенствовал рассуждения Харди и Литт-лвуда. В круговом методе он заменил бесконечные ряды конечными тригонометрическими суммами, а также использовал разрывный множитель другого типа. Введение тригонометрических сумм существенно упростило метод Харди-Литтлвуда. Разбиение на «большие» и «малые» дуги у Виноградова в идейном плане совпадает с соответствующими разбиениями Харди-Литтлвуда, но в техническом плане схема
Виноградов И.М. Метод тригонометрических сумм в теории чисел. —М.: Наука, 1980. Виноградов И.М. Особые варианты метода тригонометрических сумм. —М.: Наука, 1983.
значительно упростилась. В результате с помощью кругового метода и метода тригонометрических сумм И.М. Виноградов получил современные оценки в проблеме Варпнга, а также полностью решил тернарную проблему Гольдбаха2.
Первоначально классические аддитивные задачи решались без введения ограничений на переменные. Позднее в теории чисел появилась тематика — решение классических аддитивных проблем с переменными, принадлежащими некоторому специальному множеству.
Один из первых вариантов специального множества возник в работах Виноградова. В 1940 г. И. М. Виноградов3 получил асимптотическую формулу для количества простых чисел р: не превосходящих N: с условием
{fpl/c} < С (2)
где 1 < с, / — действительное число, 04, а позднее Р. М. Кауфман5. С. А. Гриценко в 1988 г. доказал, что для случая / = а = 1/2, 1 < с < 2 в простых числах вида (2) разрешимы тернарная проблема Гольдбаха, проблема Варпнга-Го ль дбаха6.
Другой известный пример специального множества — множество простых чисел р таких, что
р = [пс] (3)
для некоторого натурального п, нецелого с > 1. Аддитивные задачи с простыми числами такого вида изучались в работах7. В частности, в 1992 г. А. Балог и Дж. Фридлендер8 решили тернарную проблему
2Виноградов И. М. Представление нечетного числа суммой трех простых чисел//ДАН СССР. - 1937. - Т. 15. - С. 169-172.
3Виноградов И. М. Некоторое общее свойство распределения простых чисел//Матем. сб. — 1940. -Т. 7, вып. 2. -С. 365-372.
4Линник Ю. В. Об одной теореме теории простых чисел//ДАН СССР. —1945. —Т. 47. —С. 7-8.
5Кауфман Р. М. О распределении {^/р}//Матем. заметки. —1979. —Т. 26, вып. 4. —С. 497-504.
6Гриценко С. А. Тернарная проблема Гольдбаха и проблема Гольдбаха-Варинга с простыми числами, лежащими в промежутках специального вида//Успехи матем. наук. —1988. —Т. 43, вып. 4 (262). -С. 203-204.
7Пятецкий-Шапиро И. И. О распределении простых чисел в последовательности вида [/(п)]//Матем. сб. -1953. -Т. 33(75), №3. -С. 559-566.
Карацуба А. А. Об одной задаче с простыми числами//ДАН СССР. —1981. — Т. 259. №6. — С. 1291-1293.
Kolesnik G. Primes of the form [nc]//Pacmc J. Math. -1985. -Vol. 118. No. 2. -C. 437-447. Deshouillers J. M. Sur la repartition des nombres [nc] dans les progressions arithmetiques//Acad. Sc. Paris. -1993. -T. 277. Serie A. -C. 647-650.
8Balog A., Friedlander J. A hybrid of theorems of Vinogradov and Piatetski-Shapiro//Pacific J. Math. -1992. -Vol. 156. No. 1. -P. 45-62.
Гольдбаха в простых числах вида (3) при 1 < с < 21/20.
В 2003 г. М. Чанга в работе9 ввел специальное множество простых чисел р таких, что
-о-^{ъ\<Ъ' (4)
где /, D — натуральные числа, / < D, с > 1 нецелое число. Со специальными простыми числами вида (4) он решил аддитивные задачи: тернарную проблему Гольдбаха, задачу Хуа Ло-Кена.
В данной диссертации рассматривается задача о распределении простых чисел из специального множества на коротких промежутках, а также аддитивные задачи с числами специального вида. В тексте диссертации введены обозначения: ц — квадратичная иррациональность, а и Ъ — произвольные фиксированные действительные числа из отрезка [0,1].
Цель работы.
Изучить распределение простых чисел из специального множества на коротких промежутках.
Получить приближенные формулы для числа решений аддитивных задач с числами специального вида.
Методы исследования. Габота выполнена на основе теории дзета-функции Гимана, кругового метода Харди-Литтлвуда-Гамануджана-Виноградова и метода тригонометрических сумм.
Научная новизна работы. В диссертации представлены доказательства приближенных формул для числа решений некоторых дио-фантовых уравнений с переменными специального вида, получена асимптотическая формула для количества специальных простых чисел на коротких промежутках. Все результаты работы являются новыми.
Положения, выносимые на защиту:
1. В предположении справедливости гипотезы Гимана доказательство асимптотической формулы для количества простых чисел р
9Чанга М. Е. Простые числа в специальных промежутках и аддитивные задачи с такими числами//Матем. заметки. —2003. — Т. 73, вып. 3. —С. 423-436.
с условием
{{1/2)р1/с} < 1/2, 1 < с < 2,
на коротких промежутках [N, N + Н]) где Н > Ы1/2+ш, є > 0.
2. Вывод приближенной формулы для числа решений уравнения
Рі+Р2+Рз = N в простых числах р^ і = 1, 2, 3, таких, что
« < {пРі} < ьі
где здесь и далее ц — квадратичная иррациональность, а и Ь — произвольные фиксированные действительные числа из интервала [0,1].
3. Получение приближенной формулы для числа решений уравне
ния
p\ + pI+pI + pI + pI = n
с простыми числами рі: і = 1,2,3,4,5, на которые наложены ограничения вида
а < {f]pf} < Ъ.
4. Доказательство асимптотической формулы для числа решений
уравнения
l\ + % + l\ + l\ = N
в целых числах /j, г = 1, 2,3,4, удовлетворяющих условиям
а < {rjli} < b.
Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Ее результаты и методы могут быть использованы в дальнейших исследованиях, посвященных аддитивным задачам, а также при разработке специальных курсов по теории чисел.
Апробация результатов. Основные результаты работы были представлены на следующих конференциях:
Международная конференция «Аналитические методы в теории чисел, теории вероятностей и математической статистике», посвященная 90-летию Ю. В. Линника, Санкт-Петербург, 2005 г.
Международная научная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов — 2009», Москва, 2009 г.
Российско-китайский симпозиум «Комплексный анализ и его приложения», Белгород, 2009 г.
VII Международная конференция «Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения», посвященная памяти профессора А.А. Карацубы, Тула, 2010 г.
Публикации. Все результаты диссертации опубликованы в работах автора [1]—[6]. Из них статьи [1], [2] опубликованы в журналах из списка ВАК РФ. Список публикаций автора приведен в конце автореферата.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав и списка литературы. Список литературы содержит 38 наименований. Общий объем диссертации — 65 страниц машинописного текста.
