Введение к работе
!
~" Актуальность темы. Изучение арифметических свойств зна-
эний аналитических функций, удовлетворяющих линейным диффе-
энциальным уравнениям, является одной из ватлых классичес-
лх задач теории трансцендентных чисел. Еще в 1873 г, Ш. Эр-
игу удалось использовать функциональное ( f(^i^^z) —
- f(Zi) -f^i) ) и дифференциальное ( f (z) - f(-z)j
равнения для показательной функции ffs) —Є и устано-
кть трансцендентность числа Є . В 1882 г. Ф.Линдеман^ с
эмощьп развития метода Эрмита доказал трансцендентность зна-
зний функции в в алгебраических точках 2 = О t ,
г>едовательно, трансцендентность значений функции "і? в
игебцаических точках 2 \> 1у . Тем самым была доказана
рансцендентность числа ЗГ , и получено отрицательное ре
зине известной проблемы квадратуры круга. Ф. Линдеыану принад-
зжчт также первое утверждение об алгебраической независимости
зскольких чисел: Если «^f,..., «^ алгебраические числа,
шейно независимые над полем Q , то числа е. *...,е. "" ігебраически независимы.
В 1929 г. К. Зигель . опубликовал метод доказательства ал-збраической независимости значений одного класса целых функ-ій, названных им Е-функциями, удовлетворяющих линейным диффе-
Hermite Ch. Sur la function exponentielle // C.R. Acifl.
Soi. (Paris).-1873.-V.77.-P. 18-24, 74-79, 221-223,
285-293; Qeuvrea.-V.3.-P. 150-181.
Lindemann P. Ober die Zahl37/ Math. Ann.-1882.-Bd.20-
5. 213-225.
Siegel K.L. Ober oinige Ansrendungen Diophantisoher
Approximationen ft Abh. Preuaa. Acad. Wins..Pbya.-Math. XI.-
t92S-1930.-N.1.-S.1-70.
ренциальным уравнениям с коэффициентами из (Lfe) . В качестве основного объекта'применения своего метода К. Зигель указал обобщение гипергеоыетрические функции
ие'п.
и их последовательные производные. |
функция (I) является Е-^ункцией, если все ее параметры \l, Vj Є <} . Кроме того, функция (І) является решением линейного дифференциального уравнения порядка ~С+С
i=f . ' (2)
В 1949 г. К. Зигель изложил свой метод в форме общей теоремы об алгебраической независимости чисел где f, (*0, —»-г>>. 1*0 - совокупность Е-функций, удовлетворяющих системе т. линейных однородных дифференциальных уравнений первого порядка с коэффициентами из
о(. - алгебраическое число, отличное от нуля и особых точек этой системы. Общая теорема Зигеля сводила доказательство указанного арифметического утверждения к проверке некоторого аналитического условия нормальности для совокупностей произведе-
ий степеней рассматриваемых функций. Проверить выполнение словия нормальности. К. Зигелю удалось только для функций идя (I), удовлетворяющих однородным дифференциальным урав-іениям первого и второго порядков. Заметим, что в случае 171 ~> Z* подобная проверка для обобщенной гипергеометри-еской Е-функции и ее последовательных производных впервые далась лишь в 1988 г. Д. Браунвеллу, Ф. Бейкерсу и F. Хек-юну , создавшим новый метод, использующий средства теории редставлений групп Ли. Это позволило им с помощью общей еоремы К. Зигеля получить ряд результатов относительно ал-ебраической независимости совокупности значений произволь-< ых обобщенных гкпергеометричесютх Б-функций и их последо- . . -ельных производных.
Для применения своей общей теорэкы К. Зигель развил етод доказательства алгебраической независимости над
В 1955 г. А.Ь. Шидловский существенно обобщил метод . Зигеля. Ему удалось найти необходимое и достаточное ус-овіїе алгебраической независимости значений совокупности
Пеикегз P., BroVtaawelJ. D., Heofcnaa G. 3iegol noraalit3//Ann. of Uath.-1938.-V.127.-P.279-208.
. Шидловский А.Б. О критерии алгебраической независимости значений одного класса целых функций // ДАН СССР.-1955.-Т.І00, 1?2. - С. 221-224.
Е-функцнй -*-i(2) y...t-fM fe) . составляющей решение системы дифференциальных уравнений
9 Г Q)o + 2 %^- ,j=x,...,»v, (?;, е^). (3)
Таким условием алгебраической независимости чисел
fл(и.) )...,$ы 6"0 , где U. - алгебраическое число, от
личное от нуля и полюсов всех функций Q\ji, , является ал
гебраическая независимость функций -fife) ,-, т,ы &) над
Для применения общей теоремы А.Б. Шидлсвского к конкретним подклассам Е-фун^ций естественно возникла проблема разработки методов доказательства алгебраической независимости функций над С-(г) .Такие методы после Зигеля были разрабо-, таны А.Б. Шидловским, И.И. Белогривовым, К. Малером, К. Ваана-неном, Б.А. Олейниковым, Г.В. Нестеренко и рядом других авторов. Применял критерий А.Б. Шидловского, эти авторы получили результаты об алгебраической независимости значений различных совокупностей обобщенных гипергеоыетрических Е-функций,t а также некоторых других функций, связанных с ними. Все эти результаты относились к некоторым подклассам Е-функций, причем в ряде случаев рассматриваемые функции удовлетворяли дифференциальным уравнениям произвольных порядков.
В 1977 г. автором диссертации был опубликован метод доказательства алгебраической независимости функций, применимый к обобщенным гипергеометрическим функциям (І) в случае С -О
, - произвольное простое число. Эти исследования были прожжены в ряде работ автора, опубликованных в 1980-88 г.г. Ьдробно история вопроса изложена в монографии А.Б.Шидловс-ого6.
Целью работы является
I/ разработка новых методов исследования алгебраических эоЯств решений линейных дифференциальных уравнений с коэффи-иентами из Q(z) , применимых, з частности, к обобщенным ипергеометрическим уравнениям любых порядков;
2/ доказательство алгебраической независимости совокуп-ости значений в алгебраических точках обобщенных гипергео-етрических функций и их последовательных произвольных.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из ведения, 5 глав и списка литература Объем диссертации 266 тр. Библиография включает 101 наименование.
Общая методика исследования основана на построении и зучении алгебраических свойств специальных фундаментальных кстем решений (ф.с.р.) линейных однородных дифференциальных равнений с коэффициентами из . Эти ф.с.р. строятся дифференциальных полях, являющихся расширениями поля форельных степенных рядов. В методе существенно используются ззультати аналитической теории дифференциальных уравнений и кфференциальной алгебры. Предложенная методика применяется ля исследования алгебраических свойств решений линейных ифференциальных уравнений, обладающих иррегулярной особой эчкой, з частности, для уравнений (2).
. Шидловский А.Б. Трансцендентные числа.-М.: Наука. - 1987.