Алгебры Новикова - Пуассона и супералгебры йордановых скобок Захаров Антон Станиславович

Содержание к диссертации

Введение

1 Алгебры Новикова - Пуассона 21

1 Основные свойства 21

2 Кольцо частных алгебры Новикова - Пуассона 25

2 Алгебры Новикова - Пуассона малых размерностей . 32

1 Двухмерные алгебры Новикова - Пуассона 32

2 Трехмерные алгебры Новикова - Пуассона 41

3 Иордановы супералгебры и алгебры Новикова - Пуассона 51

1 Дубль Кантора для алгебры Новикова - Пуассона 51

2 Специальность дубля Кантора

Библиография

• Основные свойства
• Кольцо частных алгебры Новикова - Пуассона
• Трехмерные алгебры Новикова - Пуассона
• Дубль Кантора для алгебры Новикова - Пуассона

Введение к работе

Актуальность темы исследования. Данная работа посвящена изучению алгебр Новикова - Пуассона и соответствующих им йордановых супералгебр. Алгебры Новикова изначально возникли в работах И. М. Гельфанда и И. Я. Дорфмана в [1] как формализм, описывающий условие гамильтоновости операторов определенного вида, действующих на гладких конечномерных многообразиях со значениями в алгебрах Ли векторных полей. В работе А. А. Балинского и С. П. Новикова в [2] алгебры Новикова были введены для изучения скобок Пуассона гидродинамического типа.

Е. И. Зельманов в [3] показал, что всякая конечномерная алгебра Новикова над полем характеристики нуль является полем. В. Т. Филлиповым в [4] были построены примеры неассоциативных конечномерных простых алгебр Новикова над полем ненулевой характеристики и бесконечномерных простых алгебр Новикова над полем нулевой характеристики. Изучению простых алгебр Новикова с идемпотентом посвящены работы М. Дж. Осборна [5, 6, 7]. В частности, были описаны простые алгебры Новикова с идемпотентом над полем простой характеристики. Развив результаты М. Дж. Осборна, К. Кey в [8] описал конечномернные алгебры Новикова над алгебраически замкнутым полем характерики р > 2.

К. Ксу в [9] ввел понятие алгебр Новикова - Пуассона. А именно, это — алгебра (A,-,о) с двумя умножениями и о, причем (A,) — ассоциативная коммутативная алгебра, {А, о) - алгебра Новикова, то есть верны тождества

(x о у) о z = (х о z) о у, (х о у) о z - х о (у о z) = (у о х) о z - у о (х о z),

ху о z = х(у о z\ zx о у — x о yz = zy о x — у о XZ.

Пусть {А, ) — ассоциативная коммутативная алгебра с дифференцированием D. Зададим на A новое умножение о, полагая а о Ъ = а,В{Ъ) + -fab, где ₇GА Тогда {А, о) - алгебра Новикова (см. [1, 9]). Алгебры Новикова, определенные вышеуказанным способом, будем называть алгебрами Новикова векторного типа. При этом

0Здесь и далее по тексту будем считать, что операция перед о имеет приоритет. Как правило, символ мы будем опускать.

(А,-, о) - алгебра Новикова - Пуассона, которую так же будем называть алгебрами Новикова - Пуассона векторного типа.

Понятие алгебры Новикова-Пуассона позволяет изучать алгебры Новикова (см. работы [9, 10]). В частности, алгебры Новикова, описанные в [8] являются алгебрами Новикова - Пуассона векторного типа. В [10] при некоторых ограничениях были описаны бесконечномерные алгебры Новикова над алгбраически замкнутом полем характеристики 0. Эти алгебры также получаются из алгебр Новикова - Пуассона векторного типа. Из сказанного выше следует, что среди алгебр Новикова-Пуассона важную роль играют алгебры Новикова-Пуассона векторного типа. Поэтому возникает

Вопрос 1. При каком условии алгебра Новикова-Пуассона вкладывается в алгебру Новикова-Пуассона векторного типа.

Ч. БаБ и и. Менг в работе [11] описали алгебры Новиковк размерности 2 и 3 над полем комплексных чисел C. Естественно возникает следующий

Вопрос 2. Можно ли с помощью классификации Ч. Баия и Д. Менга описать алгебры Новикова - Пуассона размерности 2 и 3 над полем комплексных чисел C? Все ли они векторного типа?

Рассмотрим G = (е_ь е2,... |е,- = -е,еЛ алгебру Грассмана над F. Тогда алгебра Грассмана допускает ^-градуировку G = Gо + Gi, где Go,Gi это подпространства, порожденные, соответственно, произведениями четной и нечетной длины.

Пусть A = А₀ + Ai — произвольная алгебра Z2-rpaflyHpoBaHHaH. Тогда G(A) = G₀ w А₀ + Gi w Ai является подалгеброй в алгебре G (Е) A и называется грассмановой оболочкой супералгебры А. Пусть П - произвольное многообразие алгебр. Тогда говорим, что A -супералгебра многообразия П, если ее грассманова оболочка G(A) - алгебра многообразия Q. В частности, супералгебра называется йордановой, если её грассманова оболочка йорданова алгебра, то есть выполнены тождества

ху = ух, (x2y)x = x2(ух).

Одним из способов получения йордановых супералгебр является конструкция И. Л. Кантора [12]. Пусть (А,), - ассоциативная

суперкоммутативная супералгебра и А = А₀ + А_г с билинейной суперкососимметрической операцией { , }, которую мы будем называть скобка. Рассмотрим J (А) = А + А, где А - изоморфная копия А. Введем на J (А) умножение следующим образом:

а»Ъ = аЪ, а»Ъ={аЪ), < Ь = (-1)|^Ь| {аЪ), а Ь = (-1)|^Ь|{а, 6},

где а, Ъ Є Ао U А\, \а\ — четность элемента, то есть \а\ = і при а Є Аі и аЪ произведение в А. Определим ^-градуировку, полагая

J(A)0 = Ao + A^, J(A)1 = A1 + A₀^

Полученная супералгебра называется дубль Кантора, который будем обозначать J(A,{,\). Скобка {,} называется йордановой, если J(A { , }) является йордановой супералгеброй.

Пусть {А, ) — ассоциативная коммутативная супералгебра с четным дифференцированием д, то есть д(Аі) С A_t. Определим скобку следующим образом

{а,Ъ} = д(а)Ъ-ад(Ъ).

Тогда J(A,{,}) - йорданова супералгебра (см. [14, 15]), которая называется йордановой супералгеброй векторного типа и обозначается J(A,d). В этом случае скобка {,} называется йордановой скобкой векторного типа.

Пусть (А, ) — унитальная ассоциативная коммутативная супералгебра с йордановой скобкой {,} такой, что {а, 1} = 0. В этом случае алгебра J(A,{,}) называется йордановой алгеброй пуассонова типа.

Рассмотрим ассоциативную супералгебру В и определим на векторном пространстве В новое умножение

asb= )-{аЪ+{-1рЩа).

Тогда получим йорданову супералгебру, которую обозначим В^+>. Йорданова супералгебра J называется специальной, если она вложима (как супералгебра) в супералгебру В^+Ь для подходящей ассоциативной супералгебры В, иначе J называется исключительной. Алгебра называется слабо специальной, если она является гомоморфным образом специальной йордановой супералгебры.

Специальность йордановых супералгебр векторного типа независимо доказали И. П. Шестаков в [14] с одной стороны, Д. Кинг и К. МакКриммон с другой в [15]. В работе [15] показано, что йорданова алгебра пуассоновского типа не всегда специальна. Однако, В. Г. Скосырским в [16] и независимо И. П. Шестаковым [17] была показана слабая специальность супералгебр пуассонова типа. Этот результат был усилен К. Мартинес, Е. И. Зельмановым и И. П. Шестаковым в [18]. И.П. Шестаковым в работе[19] получены необходимые условия специальности.

Рассмотрим алгебру Новикова - Пуассона {А,-, о). Пусть алгебра {А,-) - унитальная. Тогда (см. [9]) {А,,о) - алгебра Новикова -Пуассона векторного типа и умножение Новикова определяется по правилу

а о Ъ = ад{Ъ) + -fab.

Зададим скобку на {А, ) следующим образом

{a,b} = аоb-bоа.

Тогда

{a, b} = ад{Ъ) - д{а)b,

то есть полученная скобка является йордановой скобкой векторного типа. Как уже было отмечено, соответствующий дубль Кантора является супералгеброй векторного типа, а значит и специальной йордановой супералгеброй. В связи с этим возникает естественный

Вопрос 3. Пусть (А, , о) - произвольная алгебра Новикова-Пуассона над полем характеристики, отличной от 2. Зададим скобку следующим образом

{a,b} = aоb-bоa.

Верно ли, что J(A,{,}) - специальная йорданова супералгебра?

В работе [20] доказано, что если у алгебры Новикова - Пуассона ассоциативная коммутативнвя часть является унитальной, то простота алгебры Новикова эквивалентна простоте соответствующего дубля Кантора. Там же сформулирован

Вопрос 4. Пусть (А, , о) - произвольная алгебра Новикова-Пуассона над полем характеристики, отличной от 2. Зададим скобку

следующим образом

{a,b} = aоb-bоa.

Верно ли, что {А, о) проста тогда и только тогда, когда J(A, { , }) -простая йорданова супералгебра?

Цель работы. Главная цель работы состоит в изучение алгебр Новикова - Пуассона, соответствующих йордановых супералгебр и связи между ними. В частности, дать ответы на поставленные ранее вопросы 1-4.

Научная новизна. Представленные в диссертации результаты являются новыми, получены автором самостоятельно (п. 1, п. 2 и п. 4) или в неразделимом соавторстве с научным руководителем В. Н. Желябиным (п. 3).

Теоретическая и практическая значимость результатов. Работа носит теоретический характер. Результаты могут быть полезны для специалистов в теории дифференциальных алгебр, алгебр Новикова - Пуассона и йордановых супералгебр, а также могут быть включены в спецкурсы для студентов и аспирантов, специализирующихся в областях алгебры.

Методология и методы исследования. В работе используются методы комбинаторной и структурной теории дифференциальных алгебр, алгебр Новикова - Пуассона и йордановых супералгебр.

Положения, выносимые на защиту. На защиту выносятся следующие основные результаты диссертации:

1. Найдены условия того, что алгебра Новикова - Пуассона вкладывается в алгебру Новикова - Пуссона векторного типа.

2. Описаны алгебры Новикова - Пуассона размерности 2, 3 над полем комплексных чисел, приведены алгебры Новикова - Пуассона не векторного типа.

3. Доказано, что коммутатор относительно умножения Новикова есть йорданова скобка на ассоциативной коммутативной части алгебры Новикова - Пуассона, а соответствующий дубль Кантора - специальная йорданова супералгебра.

4. Доказано, что простота алгебры Новикова при некоторых ограничениях на ассоциативную коммутативную часть эквивалентна простоте соответствующего дубля Кантора.

Аппробация результатов. Результаты докладывались на следующих конференциях:

5. Международная конференция “Lie and Jordan algebras, their representations and applications-VI, dedicated to Efim Zelmanov’s 60th birthday”, Бенту Гонсалвес, Бразилия, 13-19 декабря, 2015 г.

6. Международная конференция “Алгебра и математическая логика: теория и приложения”, Казань, Россия, 2-6 июня 2014 г.

7. 52-я Международная научная студенческая конференции “Студент и научно - технический прогресс”, Новосибирск, Россия, 11-18 апреля 2014 г.

8. Международная конференция “Мальцевские чтения", Новосибирск, Россия, 11-15 ноября мая 2013 г.

9. 51-я Международная научная студенческая конференции “Студент и научно - технический прогресс”, Новосибирск, Россия, 12-18 апреля 2013 г.

10. Международная конференция “Мальцевские чтения", Новосибирск, Россия, 12-16 ноября мая 2012 г.

11. Всероссийская молодежная школа-конференция “Лобачевские чтения-2012”, Казань, Россия, 1-6 ноября 2012 г.

12. Юбилейная 50-я Международная научная студенческая конференции “Студент и научно - технический прогресс”, Новосибирск, Россия, 13-19 апреля 2012 г.

13. Всероссийская молодежная школа-конференция “Лобачевские чтения-2012”, Казань, Россия, 31 октября - 4 ноября 2011 г.

10. Международная конференция по теории колец посвященная 90-летию со дня рождения А.И. Ширшова, Новосибирск, Россия, 14-18 июля 2011 г.

11. 49-я Международная научная студенческая конференции “Студент и научно - технический прогресс”, Новосибирск, Россия, 16-20 апреля 2011 г.

Также, результаты обсуждались на семинаре «Теория колец» им. А. И. Ширшова Института математики СО РАН, семинаре «Алгебра и логика» Новосибирского государственного университета.

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах [23] - [35]. В том числе, работы [23] - [26] входят в перечень ВАК российских рецензируемых научных журналов, в которых должны быть опубликованы основные результаты диссертаций на соискание ученых степеней доктора и кандидата наук. Результаты работы [25] получены в нераздельном соавторстве с научным руководителем В. Н. Желябиным.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 3 глав, заключения, списка литературы, 3 таблиц. Она изложена на 77 страницах. Список литературы содержит 40 наименований.

Основные свойства

Пусть S — произвольное мультипликативно замкнутое подмножество ассоциативной коммутативной алгебры (А, ), то есть, подмножество, замкнутое относительно умножения. Рассмотрим кольцо частных (Frs(A),) алгебры (A,) относительно множества S, то есть дробей с числителем из A и знаменателем из S. Напомним, равенство двух дробей в (Frs(A), ) задаётся следующим образом ? = ](Є5:У- bc)t = 0. о а Вообще говоря, алгебра (A,), не содержит единицу. Тем не менее, мы будем использовать обозначения 1, т и -, имея ввиду -, — и —, где р е S соответственно. 1 а J р р ра гл г Существует естественный гомоморфизм ассоциативных коммутативных алгебр ф : A -+ Frs{A) : а . Если S не содержит делителей нуля алгебры (A, ), то ф будет вложением алгебр. Далее будет предложена конструкция, позволяющая продолжить структуру алгебры Новикова - Пуассона на это кольцо частных. Для а,Ъ,с Є S определим \ аЪос+асоЪ-аоЪс Къс = . Лемма 1.2.1. Пусть а, 6, с, d, е, / Є S. Тогда \аЪс = Лdef. Доказательство. Нужно показать, что аЪос + асоЪ-аоЪс _deof + df oe-doef abc de f По определению, это эквивалентно ((def)(ab ос + асоЪ-аоЪс)- (abc)(de о / + df о е - d о ef))t = 0 для некоторого t Є S. Последнее будет следовать из тождества efb о с + е/с о 6 - е/ о be = bee о / + bef о е - be о е/, Или, что тоже самое efb о с - bcf о е + be о е/ = -е/с ob + ef obc + bceo f Заметим, что efboc-bcf ое + Ъсо ef П = Л) 6(е/ oc-cf oe + Coef) П0=2) бе о с/. -е/с ob + ef obc + bceo f П=Л) е(-/с ob + fobc + bcof) по-2) бе о с/. п Таким образом, мы можем писать А без индексов. Определим новое умножение oFr на Frs(A) следующим образом: a b ab a ob ab от — о рг — = Д + — . п т пт пт пт2 Лемма 1.2.2. Умножение oFr задано корректно. Доказательство. Достаточно показать, что верны следующие утверждения: 1. Если = ,то oFrA = oFrA; 2. Если = ,тоо у = о у. Покажем первое утверждение. Обозначим f = (Af + b-f - ). С учетом того, что единица алгебры (Frs(A), ), нетрудно заметить, что a b ab а о b ab о т а а — орг — = А 1 — = — п т пт пт пт1 пт р с Ь _ сЬ cob cbom _ с а kFrm-Xbn + m Ы Ьп р 27 Из того, что = f, то есть (ак — cn)t = 0 для подходящего t Є S, следует, что {акта/3 - cnma/3)t = 0, для некоторого t Є S. Последнее, в свою очередь, эквивалентно - = . Это и доказывает первое утверждение. Теперь покажем второе утверждение. Предположим, что — = f- По определе Г Г J г - I- 1 то/с I" 1 нию распишем произведения а Ь ab a ob ab от — Fr — = А 1 2 , п т пт пт nmz а с ас а о с ас о к nFr к= пк + к пЖ Из равенства — = f действуя аналогично доказательству первого утверждения получим А- = ХЦ. J пт пк Достаточно показать следующее равенство a ob ab о т а о с ас о к Что эквивалентно am о Ъ аЬот _акос ас о к По определению это равенство будет следовать из ((am о Ь — ab о т)пк2 — (ак о с — ас о k)nm2)s = О для некоторого s Є S. Данное равенство будет следовать из (тк2 ob -Ьк2 о т - km2 о с + cm2 о k)s = 0. По (1.7) это эквивалентно (тк obk-bkomk-kmocm + cmo km)s = 0. Это равенство, в свою очередь, будет следовать из двух равенств (bk отк-сто km)s = 0, (тк obk-kmo cm)s = 0. По условию мы имеем m = c, то есть для некоторого t Є S выполнено (bk — cm)t = 0. Перепишем первое равенство следующим образом фк оmk-cmо km)t) = фк - cm)t о km) = 0. Полагая s = t2 получим первое тождество. Рассмотрим теперь второе равенство. t(mkt о Ък - kmt о cm) п 2) t((mk о tbk - Ък о tmk + tbk о mk) (km о tern -сто mkt + cmt о km)) = (t(mk о tbk -кто tcm))-(t(bk о tmk - cm о mkt)) + (t(tbk о mk - cmt о km)). Используя (bk - cm)t = 0 получаем, t(mk о tbk - km о tern) = t(mk о (t(bk - cm)) = 0, t(bk о tmk - cm о mkt) = (t(bk - cm)) о mkt = 0, фк о mk - cmt о km) {=Л) t(t(bk - cm) о mk) = 0. Таким образом, мы доказали лемму. Рассмотрим естественный гомоморфизм ассоциативных коммутативных алгебр ф : А - Frs(A) :a j. Покажем, что он также будет гомоморфизмом обобщенных алгебр Новикова -Пуассона. Для этого нужно показать, что (Frs(A),-,oFr) будет обобщенной алгеброй Новикова - Пуассона и то, что отображение ф будет сохранять умножение Новикова.

Лемма 1.2.3. Пусть {А,-,о) - обобщённая алгебра Новикова - Пуассона. Тогда (Fr(A), -, oFr) - алгебра Новикова - Пуассона векторного типа. Доказательство. Покажем, что (Frs(A),,oFr) алгебра Новикова - Пуассона векторного типа. Ввиду того, что (Frs(A), ) — унитальная, достаточно показать, что она будет обобщенной алгеброй Новикова - Пуассона, то есть выполнение тождеств (1.1) и (1.2).

Тождество (1.1) в Frs(A) будет иметь вид а ґ Ъ с а Ъ с п{т Fr k] = » F W По определению умножения oFr это эквивалентно a be boc be о k abc ab о с abcok п[Хтк + пк mW] Х тк + шк WF что очевидно ввиду ассоциативности (Fr(A), ). Тождество (1.2) в Frs{A) будет иметь вид аґ b с. b ас аґс b ч с ab n(ro Fr к] т oFr Л = п(к Fr т] кFr По определению умножения oFr и в силу ассоциативности (Frs(A),) это эквивалентно a f be bo с bcok\ bac b о ас baconk_ n \Лmk + nk B) шк m nk + W a ( cb cob cbom\ cab coab cab о nk n \ХЫг +Ь bn2j Xk n + Ь Ъ -Достаточно показать следующее равенство ba о с abcok b о ас abconk ( к mVi] [ пкп mnW } " ас о b abc от coab abc опт ( тк т п ] ( пкп тЖУ В свою очередь, это равенство следует из двух равенств Ьа о с boac _acob coab abc ok abconk _ abc от abconm Сначала покажем (1.8). Так как знаменатели одинаковы, то достаточно показать Ъа о с - Ь о ас - ас о Ь + c о аЪ = 0, что следует из (1.4). Теперь покажем, что выполнено (1.9). Приведём к общему знаменателю, получим аЪстп о к аЪст о пк _ аЪсп о т аЪск о пт tfm42 jfe2m2n2 - /,2m2n2 " к2шЧі2 Данное равенство будет следовать из (аЪстп ок- аЪст о пк - аЪскп о т + аЪск о nm)t = 0 для некоторого tS. Ввиду (1.3) вынесем abc за скобки, получим abc(mn ок-топк-кпот + ко nm)t = 0, что будет верно по (1.2). Лемма 1.2.4. Пусть {А,-,о) - обобщённая алгебра Новикова - Пуассона, тогда отображение ф : а а будет гомоморфизмом обобщенных алгебр Новикова -Пуассона. Доказательство. Сохранение всех операций, кроме oFr, следует из свойств кольца частных. Осталось показать, что ф(а о b) = ф{а) oFr ф(Ъ). Или, что тоже самое а о b a b — = iFr Г По определению это равенство эквивалентно ах ob ах Ьх для произвольного х Є S. Выберем Л = Хххх = 2х2х хох\ Тогда по определению oFr получим эквивалентное равенство хаоЪ 2аЪх3 о х - аЪх2 о х2 ах о Ъх аЪх2 о х = і + о ч . X Xі3 х/ Xй Это равенство будет следовать из xЛаоЪ = 2аЬхо ох- аЪхО о хО + ахQ о Ъх - abx:i о Х} что эквивалентно хAа о Ь — (IXі о Ъх = abx ох — аЪх2 о х2. Ввиду (1.1), это равенство эквивалентно следующему ах2(х2 оЪ-хоЪх) = ах2(Ъх ox-bo х2). Последнее будет следовать из (1.2). Таким образом, лемма доказана. Теорема 1.2.5. Пусть {А, -, о) - обобщённая алгебра Новикова - Пуассона, и хне является делителем нуля в алгебре {А,-). Тогда {А,-, о) есть алгебра Новикова - Пуассона и вложима в алгебру Новикова - Пуассона векторного типа.

Доказательство. Пусть х не делитель нуля в алгебре (А, ). Тогда из предложе ния 1.1.1 следует выполнение тождеств (1.3) и (1.4), то есть (А,-,о) — алгебра Новикова - Пуассона. Выберем мультипликативное множество S = {хг\і Є N}. По леммам 1.2.3 и 1.2.4, алгебра (Frs(A), , oFr) будет алгеброй Новикова - Пуассона векторного типа и ф : а будет гомоморфизмом алгебр. Так как S не содер жит делителей нуля {А, ), то ф будет инъективным гомоморфизмом или, что тоже самое, вложением. Таким образом, теорема доказана.

Кольцо частных алгебры Новикова - Пуассона

С. Бай и Д. Менг [11] классифицировали алгебры Новикова размерности 2 и 3 над полем комплексных чисел C. Следуя [11], характеристической матрицей произвольной алгебры A с базисом eь ... ,en называем матрицу, где в i-ой строке и j-ом столбце СТОИТ произведение e;fij ЭЛеменТОв ЄІ и ej. Далее, F — поле комплексных чисел C. В [11] получена следующая классификация алгебр Новикова размерности 2 над полем C. В таблице 1 алгебры типа ThT2,NhN2 и N3 есть ассоциативные коммутативные алгебры. Нас интересуют алгебры с характеристическими матрицами T3,N4,N5иNe.

Лемма 2.1.2. Пусть (A,, о) - алгебра Новикова - Пуассона, и характеристическая матрица (А} о) есть Т3. Тогда алгебра (А} ) имеет характеристическую матрицу (2.1) Тип

П Лемма 2.1.3. Пусть {А,, о) - двухмерная алгебра с базисом еь62, Предположим, что характеристические матрицы алгебр (Д ) и (А} о) имеют вид (2.1) и Т3 соответственно. Тогда (A, , о) - алгебра Новикова - Пуассона. Доказательство леммы состоит в непосредственной проверке тождеств (1.1) и (1.2). Лемма 2.1.4. Пусть (A,, о) - алгебра Новикова - Пуассона с базисом еие2. Предположим, что характеристическая матрица алгебры (A, о) есть N4, N5 или N6. Тогда алгебра (A,) имеет характеристическую матрицу (2.1). Доказательство. Базисные элементы алгебры (A, , о) умножаются по правилу: Є\ о е\ = 0, е\ о е2 = Єї= е2 о Єї = іеі, е2 о е2 = 2,і + е2 (2.2t для подходящих скаляров t\,t2. В случае характеристической матрицы типа N4 tx = tt = 0. В случае характеристической матрицы типа N5 t1 = 0, t2 = 1. В случае (1.1)характеристической матрицы типа 7V6 ti 7 0, t2 = 0. Пусть еiе = а} е\ + a -62. Из коммутативности операции следует а\- = aк--. В силу тождества (1.1) eleJо6k = el{eJо6k). Приi = 1,j = 1,fc = 2 Єіеі о 62 = (aj i + a e2) о e2 = (aj: + t2o?i)ei + a2ne2, e1(e1оe2) = a;ie1 + a21e2. Отсюда получаем, что a21t2 = 0. По тождеству (1.4) (Єі о Є, k - Єг о Є,Є, = (Є, о Є))ек Є3 о ЄгЄк. При i = lj = 2,k = l получим (Єї о е2)еі — Єї о е2Єі = ЄІЄІ — Єї о (а2еі + а?2е2) = {а1п - а\2)еі + а?іЄ2, (е2 о еі)еі - е2 о еіеі = tieiei - е2(а\1е1 + а?іЄ2) = - еі + Мі-аї ез. Поэтому (t2 - 2)а?п = 0. Следовательно, а?п = 0. Также имеет место aln - а{2 = 2a2n. Поэтому aln = а\2. Рассмотрим (1.2) для элементов еье2,е2 (ei о е2)е2 - еі о е2е2 = Єіе2 - еі о (aj2ei + а222е2) = (а\2 - а\2)ел + а212е2, (е2 о еі)е2 - е2 о е1е2 = (tiei)e2 - е2 о (а\2Єі + а?2е2) = - 2а?2еі + (tia\2 - а\2)е2. Отсюда получаем а\2 - а222 = 2a\2, _ + „2 2 Uy2 — 1-11 12 t l2 Рассмотрим (1.3) для элементов е2,еьеі е2еіоеі = (а;2еі + а?2е2)оеі= 2еь е2(еіоеі) = 0. Следовательно, af2 = 0. Таким образом, а{2 = 0 и а}2 = а . Положим а = а}2 = а , [5 = а\2. Тогда характеристическая матрица алгебры (А, ) будет иметь вид / 0 аел у аел /Зеї + ае2 Лемма 2.1.5. Пусть {А,, о) - двухмерная алгебра с базисом еь62, Предположим, что характеристические матрицы алгебр (Д ) и (А} о) имеют вид (2.1) и 7V4, N5 или N6 соответственно. Тогда (A, , о) - алгебра Новикова - Пуассона.

Доказательство леммы состоит в непосредственной проверке тождеств (1.1) и (1.2). Таким образом, справедлива следующая Теорема 2.1.6. Пусть (A,, о) - двухмерная алгебра Новикова - Пуассона над полем комплексных чисел C с базисом Єї, Є2, причем (А} о) не является ассоциативной коммутативной алгеброй. Тогда характеристическая матрица алгебры {А, ) имеет вид а характеристическая матрица алгебры (A, о) имеет вид T3, А , N5 или N6 (см. таблицу 1). Все известные автору примеры алгебр Новикова - Пуассона, полученные ранее, являются алгебрами Новикова - Пуассона векторного типа. С помощью теоремы 2.1.6 могут быть получены примеры алгебр Новикова - Пуассона, не являющиеся алгебрами Новикова - Пуассона векторного типа.

Теорема 2.1.7. Пусть (A,, о) - двухмерная алгебра Новикова - Пуассона над полем комплексных чисел C. Предположим, что (A, о) не является ассоциа-тивной коммутативной алгеброй. Тогда характеристическая матрица алгебры (A, ) имеет вид

Для того, чтобы {А,, о) была алгеброй Новикова - Пуассона векторного типа, неоохооимо и достаточно ot = (J Доказательство. Алгебра (А,, о) является алгеброй векторного типа тогда и только тогда, когда существует дифференцирование d алгебры (A, ) и элемент q Е A такие, что а о Ь = ad(b) + qab. Тогда d(e;) = d-ei + d2e2, g = ад + g2e2 (2.3) для некоторых dj,q Е F,i,j Е {1,2}. Так как d-дифференцирование, то d ej) = etd(ej) + ejd(e ). Таким образом, из равенств d(e-) = 2eid(e-), d(e-e2) = e-d(e2) + e2d(ei), d(e2) = 2e2d(e2), используя таблицу (2.1) и равенство (2.3), получаем уравнения на коэффициенты ad- = 0, 0 = ad2 + dfo (3d1 = ad- + 2 /3, /3(% = d2a. Так как алгебра (A, , о) векторного типа, то ег ое? = e%d{ej) +qe er Пусть ег о е3 = 9}3еЛ + 0?-e2. Тогда, в силу (2.1) и (2.3), получим следующие равенства e\2 = ad2 + a2q2, el21=ad-+4P + a2q2, 0\i = "4 6122 = ad12 + /34 + a2q— + 2al3q2, в222 = а4 + а2д2, On = ii = 0\2 = 0. Так как алгебра {А, о) имеет характеристическую матрицу Тз, Л 4, 5 или ЛГ6? то выполнено Q\ = 0 и І2 = Ь- Таким образом, получаем следующую систему уравнений относительно неизвестных d\,dl,d2,d2,ЦхА і

Положим а = 0. Для характеристических матриц ЛГ4,ЛГ5,ЛГ6 выполнено 0. Отсюда получаем, что система неразрешима. В случае Тз имеем в\2 = —1. Поэтому четвертое и шестое уравнения имеют вид (3d\ = 0 и (3d2 = — 1, что означает неразрешимость системы уравнений. Следовательно, алгебра (A,-, о) не является алгеброй Новикова - Пуассона векторного типа.

Трехмерные алгебры Новикова - Пуассона

Напомним определение специальности йордановой супералгебры. Пусть В = В0 + В1 супералгебра с операцией умножения . Определим на пространстве В суперсимметрическое произведение a s b = (a b + (-І)ННб a), а, b e B0 U Bh Полученную алгебру обозначим B s. Если B ассоциативная супералгебра, то B(+ йорданова супералгебра. Йорданова супералгебра J=Jo + J1 называется специальной, если она вложима (как Ж2-градуированная алгебра) в супералгебру B(+)« для подходящей ассоциативной Ж2-градуированной алгебры B.

Для доказательства специальности дубля Кантора алгебры Новикова - Пуассона нам понадобится ещё один класс супералгебр, а именно (-1,1)-супералгебры. Супералгебра B называется (-1,1)-супералгеброй, если ее грассманова оболочка является (-1,1)-алгеброй, то есть выполняются тождества: (х, У, У) = 0; (ж, y, z) + (у, z, х) + (z, х} y) = 0. После линеаризации тождеств получим, что в A для однородных элементов должны быть выполнены тождества: (x,y,z) + (-l)MN(x,z,y) = 0; (3.11) (x,y,z) + (-l)MH+MN(2/,z,:r) + (-1р +ш(z,x,y) = 0. (3.12) Заметим, что если B (-1,1)-супералгебра, то B также йорданова супералгебра. Пример 4. Пусть Г - коммутативная ассоциативная супералгебра над F, D ненулевое четное дифференцирование Г, то есть (Гг) С Г и 7 G Г0. Через Г обозначим изоморфную копию пространства Г. На прямой сумме векторных пространств (Г, D,y) = Г + Г определим умножение, полагая a b = аЬ, a Ъ( = (аЬ), а( b = (-1)6а , ab = (-1)ь(yа6 + 2D(a)b + aD(b)), где a, b G Г0 U Гі и аЪ произведение в алгебре Г. Определим на B(Г,Дy) Ж2-градуировку, полагая B(Г, D, у)о = Го + Г1, B(Г, D, 7)i = Г 1 + Г0 . Тогда Б(Г,D, 7) является (-1,1)-супералгеброй и называется скрученной супералгеброй векторного типа [26]. Пусть В = В0 + В1-{-1,1)-супералгебра. Тогда векторное пространство В с новым умножением aQsb = hab + (-l) %a) будет йордановой супералгеброй, которую мы обозначим через В \ Как легко заметить, для ассоциативно коммутативной алгебры Г, Б(Г, ,7)(+) является йордановой супералгеброй векторного типа. Пусть (А, -, о) - обобщенная алгебра Новикова - Пуассона. Рассмотрим В (А) = А + А, где АС изоморфная копия векторного пространства А. Определим на В (А) новое умножение следующим образом а Ъ = аЪ, а Ъ( = а( Ъ= (аЬ), а( Ъ( = -2а о Ь - 46 о а. Предложение 3.2.1. Пусть (А, , о) - обобщенная алгебра Новикова - Пуассона. Тогда {В(А), ) - (-1,1) -супералгебра. Доказательство. Достаточно показать выполнение тождеств (3.11) и (3.12), то есть (x,y,z) + (-l) (x,z,y) = 0; (x,y,z) + (-l)WM+WW(y,z,x) + (-l)WW+MW(z,x,y) = 0. Докажем тождество (3.11). Очевидно, что (А, А, А) = (А, А, АС) = (А,А,А) = (А,А,А) = 0. Это значит, что достаточно рассмотреть следующие четыре варианта. Пусть х = а, у = Ь, z = ci (х, у, z) + (-1)№(ж, z, у) = (аЪ() с( - а(Ъ( с) - (ас() Ъ( + а(с( Ь) = -2ab о с - Ас о ab + a(2b о с + 4с о Ъ) + (2ас о 6 + 46 о ас) - а(2с о 6 + 46 о с) = -4с о аб + 4ас о 6 + 46 о ас - 4а6 о с = 0 в силу (1.2). Пусть х = а, у = 6, 2 = с (ж, у, г) + (-1)№(ж, г, у) = (а&0 с - а 6с + (а с )6 - а (&с) = -2а6 о с - 4с о аЪ - (-2а о 6с - 46с о а) + (-2а о с - 4с о а)6 - (-2а о 6с - 46с о а) = -4а6 о с - 4с о аб + 46с о а + 4а о 6с = 0. Пусть х = а, у = &, 2 = с (Ж,1/,г) + (-1) И(Ж,г,1/) = (а 6 )с-а ( ) + ас 6 -а 6с = (-2ао 6-46о а)с-(-2ао 6с-46соа) + (-2асо 6-46о ас)-(-2ао 6с-46со а) = -4ас о 6 + 4а о 6с + 46с о а - 46 о ас = 0. Пусть х = а, 2/ = 6 , я = с (Ж,1/,г) + (-1)НИ(Ж,г,1/) = (а 60 с -а (6 с )-(а сО 6 + а (с 6 ) = (-2ао6-46оа) с -а (-26ос-4со6)-(-2аос-4соа) 6 + а (-2со6-46ос) = (-2ас о 6 - 46с о а + 2а6 о с + 4ас о 6 + 2а6 о с + 46с о а - 2ас о 6 - 4а6 о с) = 0. Таким образом, (3.11) доказано. Докажем тождество (3.12). Аналогично предыдущему случаю, достаточно рассмотреть четыре варианта. Пусть х = а, у = Ь, z = ci (z, x}y) = ab( c( - a(b( c) + (& c )a - 6 ac( - ac( 6 + c( a6 = (-2а6о с-4соа6)-а(-26 о с-4co 6)+ (-26 о с-4со6)а-(-26о ас-4aco 6) (-2ac ob-4boac) + (-2coab- Aab о c) = -6ab о с - 6c о ab + бас о b + 6b о ас = О в силу (1.4). Варианты, когда х = а, у = Ь, z = с и х = а, у = Ь, z = с следуют из предыдущего случая. Действительно, мы доказали (а,&Є,сЄ) + (&Є,сЄ,а)-(сЄ,а,&0 = 0. Тогда, сделав замену а := 6, b := с, с := а, мы получим (6, СЄ, аО + (с, оЄ, 6) - «, Ь, СЄ) = "(К, Ь, Ф - (Ь, с, ОЄ) " К, , ВД = О, и замену а := с, 6 := а, с := b (с, оЄ, &Є) + «, &Є, с) - (6Є, с, а) = «, &, с) - (&, с, а) + (с, а, ВД = О, что и доказывает тождество (3.12) при условии, что один из элементов и А. Теперь пусть х = at;, у = b , z = с (x,y,z) + (-1)ЫМ+ЫМ(У,г,х) + (-1)ЫМ+МЫ(г,х,у) = (а ад сЄ-аЄ ( сЄ) + ( сЄ) а - (сЄ а ) + (сЄ а ) -сЄ (а ад = (-2а о 6 - 46 о а)с - а(-26 о с - 4с о Ъ) + (-26 о с - 4с о Ъ)а - 6(-2с о а - 4а о с) + (-2с о а - 4а о с)6 - с(-2а о 6 - 46 о а) = -2ас о 6 - 46с о а + 2а6 о с + 4ас о Ъ -2аЪ о с - 4ас о 6 + 26с о а + 4а6 о с - 26с о а - 4а6 о с + 2ас о 6 + 46с о а = О Таким образом, (В(А), - (-1,1)-супералгебра. П Заметим, что если (Л, , о) - алгебра Новикова - Пуассона векторного типа, то а Ь( = -2а о 6 - 46 о а = -2ад(Ъ) - 465(a) - 6(1 о 1)а6, т.е. полученная (-1,1)-супералгебра (Б(A), ) является супералгеброй векторного типаБ(Д-2 9,-6(1о1)). Тождество (3.11) означает, что любая (-1,1)-супералгебра является правоаль-тернативной. Хорошо известно (см., например, [14]), что для любой правоальтер-нативной супералгебры Б супералгебра Б » является специальной йордановой супералгеброй. Приведем доказательство этого факта.

Дубль Кантора для алгебры Новикова - Пуассона

В данной главе мы покажем как связаны простые алгебры Новикова и соответствующие им йордановы супералгебры. Пусть (А, -, о) - обобщенная алгебра Новикова - Пуассона, J{A,{,}) соответствующая йорданова супералгебра. Как уже отмечалось, (А, А, А) = (А, А, А) = (А, А, А) = (Л, А, А) = 0. (3.13) Тогда отображение Dxy : А А, где ж, у Є А, заданное правилом Dxy(a) = (a,x,y), является дифференцированием (Л,-). Действительно, йордановой супералгебре для однородных элементов x,y,z,t Є J верно тождество (я, у , ) = (-1)2/(:г, , 0 + (—1)1-11 1 (Ж, У} t)z. (3.14) В любой алгебре выполнено тождество х(у, z, d) = (ху, z, t) - (х, yz, t) + (х, у, zt) - (х, у, z)t. Тогда для а, Ъ Є А, ж, у Є А имеем аД б) = а(6, ж, у) = (аб, ж, у) - (а, 6ж, у) + (а, 6, жу) - (а, Ъ, ж)у П (=13) (аб, х, у) - (а, 6ж, у) П =14) (аб, ж, у) - 6(а, ж, у) + (а, 6, у)ж П (=13) (аЬ,х,у) - Ь(а,х,у) = Dxy(ab) - bDxy(a). Напомним, что алгебра {А,) дифференциально проста относительно множества дифференцирований А, если А2 ф 0 и А не имеет собственных ненулевый -инвариантных идеалов (то есть таких, что для всякого D Є А выполнено D(I) С /).

Лемма 3.3.1. Ясли J(A,{,}) проста, то (Л,-) дифференциально проста относительно А = {Д ж,?/ Є AQ. Доказательство. Пусть I - Д-инвариантный идеал. Тогда I+I-А будет идеалом J. Покажем это. (I + I А)(A + А) = 1А + (I А)A + I Л + (1 А)А. По (3.13) верно (I АО А С I(А A) С IA0 Так как I - Д-инвариантный, то есть для всех x, y выполнено Dxy(I) С I или, что тоже самое, (I, А, А) С I, то (I АО АС С (I, А, АО + I(А АО С I. Получаем, что (I + I А) J. Так как J проста, то I равно или 0, или A. Теперь покажем, что A2 = A. Очевидно, что A Д-инвариантный идеал A. По выше доказаному, (A + A АО J. Таким образом, A + A А = J или A + A А = 0. Из того, что A = 0, следует A + AAC = J. Значит A Л = А. Теперь покажем, что A2 Д-инвариантный идеал. Понятно, что A2 A С A2. Покажем, что Д А2) С A2. Пусть аб = c A2,ху А, тогда Дп,(c) = Dxy(ab) = Dxy(a)b + aDxy(b) A2. Действуя по аналогии, получим, что (A2 + A2 А) J. Значит A2 = A или A2 = 0. Если A2 = 0, то по доказаному и соотношению (3.13) имеем АС = A АС = A(A A)C = A2АС = 0. Полученное приводит к противоречию, значит A2 = A. Значит A дифференци ально проста. Теорема 3.3.2. Пусть (A, , о) - обобщенная алгебра Новикова - Пуассона. Если J (A, { ,}) - соответствующий ей дубль Кантора, является простой супералгеброй, тогда {А, ) содержит единицу, алгебра Новикова {А, о) - проста и умножение о задается формулой аоb = ад(b) + (1о1)аЪ, гдед(a) = 1оa-ао1. Доказательство. В силу леммы 3.3.1 алгебра {А, ) имеет дифференциально проста относительно А = {Dxy\x,y Є А(}. По теореме 5 из [27], {А, ) имеет единицу. Тогда по [24] умножение о задается формулой аоЪ = ад(Ъ) + (1о1)аЪ. Следовательно скобка {,} задается формулой {а,Ъ} = ад(Ъ)-д(а)Ъ. Так как J(A,{,}) - простая супералгебра, то дифференцирование д ф 0. Дей ствительно, пусть д = 0. Тогда {а, Ъ} = 0 для любых а, 6 є А. В этом случае Л идеал супералгебры J(A, {, }). Ввиду [15], алгебра (А, ) - 9-проста. Тогда в силу следствия 1 из [24] алгебра Новикова (А, о) - проста. Лемма 3.3.3. Пусть (А,-, о) - алгебра Новикова - Пуассона. Определим отображение дху : А - А по правилу дху(а) = ха о у - х о ау. Тогда дху будет дифференцированием алгебры {А,-). Доказательство. Покажем, что дху{аЪ) = дху{а)Ъ + адху{Ъ). Это эквивалентно следующему утверждению: (хаЪ) оу-хо (аЪу) = а((хЪ) оу-хо (уЪ)) + ((ха) оу-Хо (ау))Ь (хаЪ) оу-хо (аЪу) = (ахЪ) о у - (ах) о (уЪ) + (хаЪ) о у - (хЪ) о (ау) -х о (аЪу) = -(ах) о (уЪ) + (хаЪ) о у - (хЪ) о (ау) По (1.1) и (1.2): х о (аЪу) = х о ((ау)Ъ) = (ау) о (хЪ) - ((ау) о х)Ъ + (х о (ау))Ъ = (ау) о (хЪ) - (bay) о х + (Ъх) о (ау). Подставим в предыдущее -((ау) о (хЪ) - {bay) о х + (Ъх) о (ау)) = -(ах) о (УЪ) + (хаЪ) о у - (ж&) о (ау). Приводим подобные -(ау) о (хЪ) + (бда/) о х = -(ах) о (у&) + (хаЪ) о у; (Ьоу) о х - (хаЪ) о у = (ау) о (ж&) - (ах) о (у&). Последнее тождество верно по предложению 1.1.2. Лемма 3.3.4. Пусть (А, , о) - алгебра Новикова - Пуассона. Если (А, о) проста иА-А = А, то (А,-) дифференциально проста относительно D = {дху\х, у Є А}. Доказательство. Мы хотим показать, что (А, ) - дифференциально проста, то есть в ней нет собственных ненулевых D-инвариантных идеалов и А А = А. Равенство А А = А верно по предположению. Пусть / - D-инвариантный идеал (Д-). Значит для всякого d Є D имеем d(I) С I. Пусть К = AI, тогда в силу ассоциативности и коммутативности А АК = КА= (1А)А = 1(А -А) = 1А = К. Кроме того, d(K) = d(IA) = Id(A) + d(I)A С К. Тогда К = IA также будет D-инвариантный идеалом (Д-). Покажем, что К идеал (А, о). Действительно, К о А с IA о А с 1(А о Л) с IA = К. Пусть х Є АиЬє К. Тогда, так как КА = К,тоЬ = $ , где аг Є К,уг є А. Отсюда имеем ж о 6 = х о ед = Дю (ад) - (жаі) о Уг + (жаі) о№) = ((-Dxyi(ai) + ТАМ о УІ) = J2(-Dxyi(ai) + аг(х о Уі)) e K. Поэтому А о К C K. Тогда верно либо 1А = K = А, либо ІА = K = 0. Если ІА = = = А, то получим, что A = K C I и I = A. Если М = 0, то выберем ceДрp I. Так как A = АА, то c = Л,« Л e А Тогда по (1.1) и (1.2) верно J2 аг(Ъг оp) = ((-P (oik) + аг о (pk) + (6гр о fli)) = = — р о c. Следовательно, элементы из A антикоммутируют с элементами из K относительно о, то есть I о A = A о I. Теперь покажем, что A о I будет идеалом (А} о). По (1.3) (A о I) о A C (A о A) о I C A о I. В силу (1.4), справедлива следующая цепочка включений A о (A о I) C A о (I о A) C (A о I) о A + (I о A) о A + I о (A о A) C (A о A) о I + (A о A) о I + I о (A о A) C A о L Мы получаем, что I о A = 0 или I о A = A. Если I о A = A, то 0=AA = A(IоA) = I(AоA) = 1А = 0. То есть I о A = 0, тогда I (A, о), и, как результат, I = A или I = 0. Теорема 3.3.5. Яустъ (A,, о) - алгебра Новикова - Пуассона и J(A,{,}) -соответствующей ей дубль Кантора. Если алгебра Новикова (A, о) проста и A A = A, то либо (A, о) - поле, либо J (A, {, }) - проста. Причем, скобка { , } задается формулой {a,b} = ад(b) - д(a)b. Доказательство. По лемме 3.3.4 алгебра (А, ) дифференциально проста, а значит имеет единицу. Тогда отображение ад = іоо-(іоі)о будет дифференцированием алгебры (Л,-), и умножение в алгебре Новикова задаётся правилом аоЪ = ад(Ь) + (1 о l)ab. В силу леммы 1 из [24] алгебра (А, ) - 9-проста. Если д нулевое дифференцирование, то а о Ь = (1 о 1)аЬ. Поэтому (А, о) - поле. Если д ненулевое дифференцирование, то супералгебра J (А, {, }) — проста.