Введение к работе
Актуальность темы. За пятьдесят лет развития теоретико-числового метода с 1957 года, когда вышла первая работа ['] Н. М. Коробова но этому направлению исследований, с которой а начинается отсчет в становлении теоретико-числового метода в приближенном анализе, вышло значительное количество работ десятков авторов и в пашей стране и зарубежом. Краткая история возникновения этого метода описана её основателем в [2]. Теоретлчегкир предпосылки теоретико-числового метода восходят ещё к работе [3] Г. Вейля, вышедшей в 1916 году, в которой, с одной стороны, содержался интегральный критерий равномерного распределения последовательности по модулю 1, а, с другой стороны, в этой работе были получены первые нетривиальные оценки тригонометрических -сумм. Именно применение оценок А. Вейля рациональных тригонометрических сумм было основопологающнм при исследование первого класс теоретико-числовых сеток — неравномерных сеток.
Существенное изменение теории и практики вычисления кратных интегралов связано с появлением метода оптимальных коэффициентов Н. М. Коробова. Центральной проблемой в этом направлении исследований остается вопрос о построении экономных алгоритмов вычисления оптимальных коэффициентов. Именно этому и посвящена данная диссертация, что объясняет её актуальность.
Цель первой главы — рассмотрение различных мер качества оптимальных коэффициентов и их интерпретация как нормы линейного функционала погрешности приближенного интегрирования или приближенного суммирования в подходящем функциональном пространстве.
Цель второй главы — получение нового критерия дня вычисления оптимальных коэффициентов на случай произвольного составного модуля, основанного па теореме А. О. Гельфонда, а также новое доказательство существования оптимальных коэффициентов ддя любого составного модуля N.
Цель третьей главы — построение общего алгоритма вычисления оптимальных коэффициентов по произвольному составному модулю N, используещему логарифмическую меру качества, пригодных для комбинированных сеток.
Цель четвертой главы — модификация общего алгоритма из третьей главы на случай специальных модулей Лг, для которых трудоемкость алгоритма понижается до 0{N) элементарных арифметических операций.
Научная новизна. Результаты работы являются новыми, полученными автором самостоятельно. Основными результатами данной работы можно считать следующие:
дан новый критерий оптимальности набора коэффициентов, основанный на обобщенной теореме Гельфонда, для любого модуля N;
введена новая мера оптимальности набора коэффициентов н дан обобщенный критерий оптимальности;
построен общий алгоритм вычисления оптимальных коэффициентов дтя произвольного модуля Л', основанный на минимизации обобщенной логарифмической меры качества;
построены быстрые алгоритмы вычисления оптимальных коэффициентов дтя специальных модулей.
'Коробов Н. М. Приближенное вычисление кратных интегралов с помощью методов теории чисел ,7 ДАН СССР. 1957. N 6. С. 1062 - 1065.
2Коробов Н. М. О теоретико-числовых методах приближенного интегрирования // Иотирико-матеы. исследования. СПб., 1994. Вып. XXXV. С. 285 - 301.
3Weyl Н. Uber die Gleichverteilimg von Zahlen mod. Eins. // Math. Aim. 1910. Bd. 77. S. 313-352 (пер. в кн.: Вепль Г. Математика. Теоретическая физика. М.: Наука, 1984)
Методы исследования. В работе используются методы теории конечных разностей, теории сравнений, аналитической теории чисел и геометрии чисел.
Теоретическая и практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы в исследованиях по приложению методов теории чисел к вопросам приближенного анализа.
Апробация работы. Результаты настоящей диссертации докладывались автором на следующих семинарах:
научно-исследовательский семинар "Теория аппроксимации" под руководством профессора В. И. Иванова в Тульском государственном университете;
научно-исследовательский семинар "Арифметика, алгоритмы, теория сложности вычислений" под руководством профессора В. Н. Чубарикова в Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова;
научно-исследовательский семинар "Теоретико-числовые методы приближенного анализа" под руководством профессора Н. М. Добровольского в Тульском государственном педагогическом университете им. Л. Н. Толстого;
международной конференции "Аналитические и комбинаторные методы в теории чисел и геометрии" в Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова. Москва, 2006.
Публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах автора [1], [2], [3], [4] и [5], выполненных по грантам РФФИ 05-01-00G72 и 08-01-00790.
Структура и объем работы. Диссертация изложена на 181 страницах и состоит из введения, четырех глав и списка литературы, включающего 56 наименований.
