Аппроксимируемость свободного произведения групп с одной объединенной подгруппой некоторыми классами конечных групп Азаров, Дмитрий Николаевич

Введение к работе

Актуальность темы

Настоящая диссертация посвящена исследованию аппроксимируемости свободного произведения групп с одной объединенной подгруппой некоторыми классами конечных групп.

Пусть К. - абстрактный класс групп. Говорят, что группа G аппроксимируется классом К, если для любого элемента д группы G, отличного от 1, существует гомоморфизм v> группы G на некоторую группу из К такой, что дір ф 1. Группы, аппроксимируемые классом Т всех конечных групп и классом Т_? всех конечных р-гругш называются соответственно финитно аппроксимируемыми и аппроксимируемыми конечными р-группами.

Класс всех групп, аппроксимируемых классом X, будем обозначать через дК. В частности, через rIF и rT_p будем обозначать класс всех финитно аппроксимируемых групп и класс всех групп, аппроксимируемых конечными р-группами.

К числу наиболее важных аппроксимационных свойств группы, наряду с аппроксимируемостью классом , относится также и аппроксимируемость классом К относительно сопряженности. Говорят, что группа G аппроксимируется классом К относительно сопряженности, если для любых не сопряженных между собой элементов X и у группы G существует гомоморфизм <р группы G на некоторую группу В из К такой, что элементы х<р и уір не сопряжены в группе В. Группа, аппроксимируемая относительно сопряженности классом Т всех конечных групп называется группой, финитно аппроксимируемой относительно сопряженности.

Хорошо известно, что свободная группа финитно аппроксимируема. Более того, свободная группа аппроксимируется классом T_v относительно сопряженности для любого простого числа р (см. напр. [11 с. 47).

Многие апппроксимадионные свойства групп наследуются свободными произведениями групп. К числу таких свойств относятся финитная аппроксимируемость, аппроксимируемость конечными р-грудпами, а также финитная аппроксимируемость относительно сопряженности (см. напр. [15],[11]).

Наряду с изучением аппроксимационных свойств обычных свободных произведений, на протяжении последних четырех десятилетий велись достаточно интенсивные исследования аппроксимационных свойств свободных произведений групп с объединенной подгруппой.

Эти исследования в немалой степени стимулировались тем обстоятельством, что свободное произведение с объединением двух групп, обладающих данным аппроксимационным свойством, может, вообще говоря, и не обладать этим свойством даже в случае, когда данное свойство наследуется обычными свободными произведениями групп. Пусть

G=(A*B; H,K,(fi)

- свободное произведение групп А и В с подгруппами Я и К, объединенными относительно изоморфизма (р.

Наиболее продуктивным направлением изучения аппроксимацион-ных свойств группы G оказалось исследование этих свойств при определенных ограничениях, накладываемых на свободные сомножители А и Я, объединяемые подгруппы Н ш К т& изоморфизм tp. Из нескольких десятков результатов, относящихся к этому направлению и доказанных в разное время, мы здесь приводим только некоторые утверждения, наиболее значимые для дальнейшего изложения.

В 1963г. Г.Баумслаг [4] доказал, что G Є r?, если выполняется хотя бы одно из следующих условий:

1. А,В Єя^ш |#| < со.

2. А, В - конечно порожденные нильпотентные группы и Я - циклическая.

3. А, В - свободные группы и Я - циклическая.

В 1980г. Д.Дайер [9] доказала, что финитная аппроксимируемость относительно сопряженности групп А и В наследуется группой G в случае, когда \Н\ < со. В той же работе устанавливается, что условия 2 и 3 достаточны для финитной аппроксимируемости относительно сопряженности группы G.

В [8] Д.Дайер установила, что G Є rF, если А, В - почти полициклические группы и Я - циклическая.

Критерий финитной аппроксимируемости свободного произведения двух конечно порожденных нильпотентных групп с произвольной объединенной подгруппой найден в [13].

В 1964г. Хигмен [12) получил критерий аппроксимируемости конечными р-группами свободного произведения двух конечных р-групп с объединенной подгруппой. В [10] получено достаточное условие аппроксимируемости конечными р-группами свободного произведения двух свободных групп с циклическим объединением.

Различные аппроксимационные свойства свободного произведения двух групп с объединенной подгруппой исследовались также в [5]-[7],

N-[18].

В работе Ширвани [14] рассматривается свободное произведение любого (возможно, бесконечного) числа групп с одной объединенной подгруппой. Для такого свободного произведения доказывается критерий финитной аппроксимируемости при условии, что свободные сомножители удовлетворяют нетривиальному тождеству.

Многие из перечисленных выше результатов, относящихся к свободному произведению двух групп с объединенной подгруппой, могут быть без труда распространены на случай древесного произведения конечного числа групп. Тем не менее, вопросы, касающиеся аппрок-симациоштых свойств древесного произведения любого числа групп, изучены в значительно меньшей мере по сравнению с аналогичными вопросами для случая свободного произведения двух групп с объединенной подгруппой. Нам представляется весьма актуальным изучение различных аплроксимащгонных свойств свободного произведения любого числа групп с одной объедипенной подгруппой, как наиболее важного частного случая древесного произведения групп.

Цель диссертационного исследования

Пусть (G\)xeA - некоторое семейство групп. И пусть для каждого Л Є Л Яд - подгруппа группы G\. Предположим также, что для каждой пары А,^ Є Л существует изоморфизм <рд_м : Яд -» Я_м, причем для любых А, /г, і/ Е Л выполняются следующие условия: <Рх\ = й%, Ч>\1 = Ч>»\, 4>\v.4>»v = 4>\v Пусть

G = (С_Л(А Л); Ыры = h {h Є Яд, А,// Є Л))

- группа, порождаемая элементами всех групп G\ (А Є Л) и определяемая определяющими соотношениями этих групп, а также всевозможными соотношениями вида: /ирд_д = h, где h Є Яд, А,/л Є Л. Хорошо известно, что каждая группа G\ естественным образом вложима в группу G, и если отождествить G\ с соответствующей подгруппой группы G, то для любых различных \,ц Є Л

G_A л G„ = Яд = Н„.

Обозначим через Я подгруппу группы G, совпадающую с каждой из этих подгрупп Яд. Будем говорить, что группа G является свободным

произведением групп G\ (А Є Л) с одной объединенной подгруппой // (и считать, когда это удобно, группы Gx подгруппами группы G).

Целью данной работы является изучение некоторых аппроксима-ционных свойств группы G и, в нервую очередь, аппроксимируемости группы G некоторыми классами конечных групп. Наряду с финитной аппроксимируемостью, а также аппроксимируемостью конечными р-группами в работе рассматривается и более универсальное свойство - аппроксимируемость классом Тт> всех конечных 7>-групп, где V - непустое множество простых чисел. Кроме того, исследуется нильпотентная аппроксимируемость группы G и финитная аппроксимируемость относительно сопряженности. Все перечисленные аплроксимационные свойства группы G исследуются при определенных ограничениях, накладываемых на свободные сомножители Gx и объединяемую подгруппу Я.

Научная новизна результатов

Все доказанные в работе результаты являются новыми.

Ряд результатов данной работы представляет собой обобщения некоторых из перечисленных выше теорем Г.Ваумслага, ДДайер и Хигмена, относящихся к случаю свободного произведения двух групп с объединенной подгруппой, на случай свободного произведения G любого (возможно, бесконечного) числа групп Gx с одной объединенной подгруппой Н. Вместе с тем, многие из доказанных в работе результатов, касающихся аппроксимационных свойств группы G, являются новыми даже для случая свободного произведения двух групп с объ-единанной подгруппой.

Методы исследования

Основополагающие методы исследования финитной аппроксимируемости свободного произведения групп с объединенной подгруппой были разработаны Г.Баумслагом [4] и нашли свое дальнейшее развитие в работах многих авторов (см.напр. [7], [9], [14], [19], [20]). Ряд технических приемов, используемых в настоящей диссертации, можно рассматривать как модификацию упомянутых выше методов Г.Ваумслага.

Теоретическое и практическое значение работы

Полученные в работе результаты, а также методы их доказательства могут найти дальнейшие применения в исследованиях по данной теме.

Апробация работы

Результаты работы докладывались на:

1. Международной алгебраической конференции, посвященной памяти Д.К.Фаддеева (Санкт-Петербург, 1997г.)

2. Алгебраическом семинаре под руководством А.Л.Шмелькина и А.Ю.Ольшанского (МГУ, 1997г.)

3. Семинаре по теории групп под руководством Д.И.Молдаванского (ИвГУ, 1994 - 1999гг.)

Публикации

Основное содержание диссертации отражено в восьми публикациях. Их список приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации