Введение к работе
АКТУАЛЬНОСТЬ TEJffl. Задачи, 'связанные со свойствами модулей представлений конечных групп, возникающие при расширении базового кольца окаляров, над которым реализуются ети представления, являются в определенном смысле традиционными. Идеи и методы классических работ И.Шура, М.Доиринга и Э.Нетер.в которых рассматриваются представления групп и алгебр над расширениями поля скаляров., явились основой для развития нескольких направлений в теория представлений групп и порядков над различными классами колец, среди которых существенную роль играют дедекиндовы кольца. Обобщениями классической теоремы Доирпнга-Нетер занимались Г.Цассенхауз, И.Райнер* Х.Роггепкамп, А.Бялыняцки-Бируля, Д.Эстс и Р.Гуралник. При исследовании неразложимых и неприводимых, представлений конечных групп вазиую роль играют теоремы о конечности числа таких представлений. Значительное место в отих исследованиях занимают работы ленинградских математиков Д.К.Фаддеева,, З.И.Борэвича, А.В.Яковлева и- их учеников. А.В.Ройтер и Л.А.Назарова уточнили классическую теорему Жордана-Цассенхау-за о конечности числа представлений конечных групп для случая неабелевых р-групп G, доказав, что для подходящего корня є из 1 число 2L(e) - представлений, не вквкзалентных заданному точному абсолютно неприводимому представлению О, изоморфных над <&nU), делится на р. Многочисленные вопросы
теории целочисленных представлений конечных групп над расширениями области скаляров связаны с результатами о целочисленных групповых кольцах, модулях Галув и индексах Шура,которые получены К.Роггеш{ампсы,В.Ллескенш,.А.Вейссои, Ю.Рлттерои, Да.Клиффоы, А.Зрелихом и другими математиками.: Наконец, ряд интересных проблем возникает, когда расширение области скаляров связано с квадратичное форсуй, заданной па,
рассматриваемом RG-иодуле. Это, прездо всего, классическая
і теорема Шпрингора об анизотропности квадратичных форм при і
расширения полей почетной степени, рад теореи
шпрингеровского типа для квадратичних форм п их ешнорных
і родов. К отому напровленда относится в известная проблема;
Китаокн о группах '" целочисленных нзсштрай положительно \
определенных квадротачннх ёорм, которая имеет значение для
классификации квадратичная решток. В случае полозительного |
решения проблема Китаокн имеет прллоаэдая к одномерным :
некоммутативным когонологаяы І^алуа, найденные Бартельсш.Оиа \
связана,кроме того,с некоторыми арифметическими задачами.
Существует ряд направлении в теории арифметических групп, в частности, при исследовании когомологий j арифметических групп и ког'омологии аррелла-Тейта, которые ' тесно примыкают к проблематике, о которой вдет речь. і
Эти различные по существу .задачи и направления отражают і теоную связь мевду теорией, целочисленных представлений і конечных групп и .алгебр над дедекиндовши кольцами, j
алгебраической теорией чисел, -квадратичными формами и теорией Галуа.
ЦЕПЬ РАБОТЫ. Диссертация посвящена рассмотрению двух задач из теории целочисленных представлений конечных групп, объединенных общим подходом к их решению.
Вопрос о конечности числа неэквивалентных над кольцом R абсолютно неприводимых представлений конечной невбелевой р-группы G связан с описанием кручения в ядрах редукции по модулю простого идеала р дедекиндова кольца DcR. В случав, когда D — максимальный порядок конечного расширения поля О рациональных р-вдических чисел и р — его простой идеал, делящий р, свойства всякой конечной подгруппы G(p)cGLn(D) матриц, сравішмнх о единичной по модулю р, существенно зависят рт индекса ветвления е идеала р и при е>р-1 не подчиняются разумным условиям жесткости, формулировка которых может быть получена как обобщение классических результатов Минковского. Это обстоятельство можно использовать для построения бесконечного числа попарно неэквивалентных целочисленных (в подходящем расширении R кольца D) представлений группы G, каждое из которых содержится в G(p') для простого идеала р* максимального порядка D' некоторого конечного расширения О , такого, что D'cR. Более того, конструкция, используемая нами, пригодна для построения точных абсолютно неприводимых представлений групп G произвольно заданного класса нильпотентности,
содержащихся в G(p'). В качестве R мошо вибрать кольцо
целых элементов поля Ю ( оо),полученного присоединением к С
1 Р 3 всех примитивных корней из 1 степеней р ,р ,р .... .
С другой стороны,соображения, использующие определенные свойства кручения в ядре редукции GL^D) (modf) , применимы при исследовании другой арифметической задачи — проблеми Китаоки. С етой проблемой связана вторая часть диссертационной работы (4-7). в которой описываются конечные арифметические подгруппы GcGLn(0) о коэффициентами в дедекиндовых подкольцая О числового поля К, устойчивые при естественном действии автшорфигшов отого ноля. Целью етой части работы является характери^ация некоторых классов групп G ц полей К, в которых возиоана ех реализация.
ШГОда ИССЛЕДОВАНИИ. Наш метод списания свойств конечных целочисленных груш иатрдц, ЕсзЕшгахаргх tifsi расширении кольца скаляров, оск^ваы ьа прі-меноіиш теорса целочисленных представлений и р-адачеешк прадставлешй конечных групп в сочетании о различайся нотодаыи теории Галуа и теории представлений конечных груші над полязш, кок классическими, восходящими к Минковскому, Клиффорду, Шуру и Цассенхаузу, так к современными, связаілядкі с десташенияш ленинградских млтеметшеов к о резудь»згііц .1. Супруцешсо. При построешк бескспоздіси сера'.' цьло<уалш1}2 (в кольце целых елеиентов полк с ( »)) нсс-іхі-БОлонтгшх пр.-.дставловий р-групг: испольгї^тсл теерзиа їхіХір^-Ш^ьці-іса, геор^я
Юоды для индуцированных представлений и техника комбинаторных вычислений. Для решения задачи об описании конечных линейных групп G,' устойчивых при действии Галуа, над некоторыми дедекпцдевшп подкольцомп числового ПОЛЯ К применяется метод работы 16 1, позволяющий, в частности, редуцировать эту задачу к случаю' коммутативных групп G. Используются тахсэ методы алгебраической теории чисел, теории Голуо и тоор:га матриц, необходимые для исследования алгебрт-і KG как модуля Галуа. При доказательство результатов, связанных с огрзлячспнжл ка размерность отой алгебры, применяется теория ІСлпіїфордз об ограничении представлений группы на ее нормальные дэлятоли. При доказательство колкчеотвзпшс результатов об описшзооїяи группах G в 4 нспользуэтел некоторые еооОроазЕЯя я асимптотические оценки из аналитической теорззг чгсел.
НАУЧНАЯ ПОВІЯНА. Основные рээультаты, полученные в работе — новые. 3 .диссертации впервые рассмотрены конечные арифлотичоскзв группа е дэЗотвком Галуа для нового класса полей, над которкнп спи реализуются.
АПР0ВАЦШІ РАБОТЫ. Результаты диссертации докладывались в Новосибирской университете в 1936 г., па семинарах ЛОМИ в 1936, 1933 г.г., на Международном коллоквиуме в Тарту, посвященном 150-летта со дня рождения Ссфуса Ли и 200-летию со дня рождения Н.И.Лобачевского в 1992 г., на Международной математической конференции, посвящеішой 200-летию со дня
рождения Н.И.Лобачевского в Белорусской университете в Шшске в 1992 г., на Первой летней школе Ыездународного центра "Софус Ли в Москво в 1993 г.
ПУБЛИКАЦИИ. Основне результаты диссертации опубликованы в работах [1-7І.
СТРУКТУРА К ОБЪЕМ РАБОТЫ. Диссертация состоит из введения, сеш параграфов и библиографии из 77 названий. Объем диссертационной работы — 164 страницы.
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Работа носит теоретический характер. Получошшо в ней результати иогут быть использованы в теории целочисленных представлений нод дедекиндовіши кольцами п при классификации положительно определенных квадратичных решеток.