Введение к работе
Актуальность темы. Широкое применение в последнее время получило изучение числовых характеристик различных алгебраических объектов. Например, понятие роста подгрупп играет важную роль в современной теории групп, этому понятию посвящена недавняя монография А. Люботского и Д. Сегала1. При этом изучение числовых характеристик алгебр и их многообразий приобретает все большее значение, случай ассоциативных алгебр изучается в монографии А. Джамбруно и А. Зайцева2. Многообразия алгебр Ли — это устоявшаяся область исследований в современной алгебре3. Асимптотические задачи также получили широкое распространение4. Таким образом, тематика исследований является актуальной. Основными объектами изучения настоящей работы являются (ограниченные) алгебры Ли. Предметом исследования являются некоторые асимптотики (ограниченных) алгебр Ли.
Цель работы. Целью диссертационной работы является исследование:
1) асимптотики роста числа максимальных подалгебр в свободной
конечно порожденной ограниченной алгебре Ли над конечным полем;
производящей функция инвариантов однородного действия конечной группы на свободной модулярной алгебре Ли;
роста числа идеалов в свободной метабелевой ограниченной алгебре Ли с ниль-коммутантом над конечным полем.
Методы исследования. В работе использованы методы теории многообразий (оганиченных) алгебр Ли, теории колец, комбинаторные методы.
1 Lubotzky A. and Segal D., Subgroup growth. // New York etc.: Springer-Verlag, 2003, 453 p.
2 Giambruno, A. Zaicev M. Polynomial identities and asymptotic methods. // Mathematical Surveys
and Monographs, 122. American Mathematical Society, Providence, RI, 2005, 352 p.
3 Бахтурин Ю.А., Тождества в алгебрах Ли. // Москва, Наука, 1985, 448 с.
4 Мищенко СП. Рост многообразий алгебр Ли. // Успехи Мат .Наук, т. 45, вып. 6(276), 1990, с.
25-45.
Научная новизна. В диссертации получен ряд результатов для многообразий ограниченных алгебр Ли. Все полученные результаты являются новыми.
Научные положения, выносимые на защиту.
1) Рост числа максимальных подалгебр в свободной конечно
порожденной ограниченной алгебре Ли над конечным полем;
2) Производящая функция инвариантов однородного действия конечной
группы на свободной модулярной алгебре Ли;
3) Верхняя оценка на рост числа идеалов в свободной метабелевой
ограниченной алгебре Ли с ниль-коммутантом над конечным полем.
Достоверность результатов. Достоверность результов, полученных в данной работе, определяется обоснованными теоретическими выкладками и строгими доказательствами, опирающимися на методы теории многообразий (ограниченных) алгебр Ли, теории колец, комбинаторные методы.
Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут найти применение в исследованиях многообразий (ограниченных) алгебр Ли и их числовых характеристик, в частности, разрешимых и нильпотентных (ограниченных) алгебр Ли.
Апробация работы. Основные результаты диссертации
докладывались на Международной конференции по алгебре и теории чисел, посвященной 80-летию В.Е.Воскресенского (Самара, 2007), на конференции Алгебры Ли, алгебраические группы и теория инвариантов (Самара 2009), на VII Международной алгебраической конференции на Украине (Kharkov, 2009), семинарах кафедры алгебро-геометрических вычислений УлГУ.
Личный вклад автора. Задача перечисления максимальных
подалгебр в свободных ограниченных алгебрах Ли поставлена научным руководителем и решена совместно при равном участии. Задача изучения свойств производящей функции свободного однородного порождающего множества для подалгебры инвариантов свободной модулярной алгебры Ли поставлена научным руководителем и решена совместно при равном участии. Задача о нахождении верхней оценки на рост идеалов в метабелевой ограниченной алгебре Ли с ниль-коммутантом поставлена совместно с научным руководителем и решена автором самостоятельно.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 4 работы, список которых приведен в конце автореферата, в том числе 1 статья в журнале из списка ВАК.
Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы. Содержит 58 страниц машинописного текста, список литературы из 33 наименований.