Введение к работе
Актуальность темы
Групповые кольца — естественный и важный объект современных алгебраических исследований. Результаты, относящиеся к групповым кольцам, используются не только в алгебре, но и в других разделах математики, например, в топологии.
В теории групповых колец можно выделить два следующих основных направления.
-
Исследование кольцевой структуры. Изучается строение группового кольца с точки зрения теории колец: первичность, регулярность, примитивность и т.п. групповых колец (см. [6]).
-
Исследование мультипликативной структуры. Выясняется строение мультипликативных групп (= групп обратимых элементов = единиц) группового кольца.
Это деление условно, так как зачастую невозможно достичь успеха в одном направлении без изучения свойств, связанных с другим. Наши исследования будут, в основном, касаться второго направления, то есть, мы будем изучать группы единиц групповых колец.
Сначала вопросы мультипликативной структуры рассматривались для колец целых элементов полей алгебраических чисел, упомянем знаменитую теорему Дирихле о группах единиц колец целых полей алгебраических чисел (см. [7, Теорема П.4.5]). Впоследствии получено много разнообразных и впечатляющих результатов. Укажем, к примеру, интересные и полезные результаты Синнота [24] и [25] о группах единиц колец целых абелевых полей (полей с абелевой группой Галуа над полем рациональных чисел).
В 1940 году была опубликована замечательная статья Хигма-на "The units of group rings" [20J. После неё Хигман опубликовал много работ, на его работа [20] не потеряла своей актуальности, её результаты определили дальнейшее развитие теории единиц групповых колец и нашли свое применение в других областях.
В настоящее время можно выделить в мультипликативной теории групповых колец такие основные области исследований.
-
Построение таких подгрупп групп единиц, которые имеют определённые свойства (свобода, центральность, конечность индекса и др.).
-
Выяснение свойств группы всех единиц.
Обзоры современного состояния исследований мультипликативной структуры групповых колец можно найти в работах [19J и
Классическими объектами исследований в теории групповых колец служат целочисленные групповые кольца конечных групп. Интерес к таким кольцам связан с тем, что именно для них наиболее ярко проявляются самые важные и глубокие характеристики групповых колец конечных групп. В самом деле, если рассматривать групповые алгебры конечных групп над полями характеристики 0, то классическая теория представлений сводит их изучение к матричным кольцам над телами. Если же рассматривать групповые алгебры над полями ненулевой характеристики, то часто там работают совершенно иные методы. Например, при изучении групп единиц таких алгебр используются методы теории р-групп.
Цель диссертации
Основная цель диссертации состоит в построении теории для исследования центральных единиц целочисленных групповых колец, то есть, единиц (= обратимых элементов) центров таких колец. Так как группа центральных единиц совпадает с центром группы всех единиц и полные описания групп всех единиц целочисленных групповых колец получены лишь для некоторых групп небольшого порядка, то получение информации о центре этой группы — важнейшая часть информации о группе всех единиц. Дополнительную значимость этому придаёт результат [18, Теорема 3.7], который утверждает, что в большинстве случаев на центре заканчивается верхний центральный ряд группы единиц. При изучении центральных единиц в диссертации получены как результаты о свойствах отдельных центральных единиц, так и свойства групп всех центральных единиц. Также впервые получены полные описания групп центральных единиц целочисленных групповых колец некоторых конечных групп. Для изучения
центральных единиц получены результаты о кольцах целых абе-леных полей, имеющие самостоятельное значение для алгебраической теории чисел.
Методика исследования
Для изучения центральных единиц привлекаются методы теории конечных групп, теории характеров, теории чисел и компьютерной алгебры.
Можно выделить, как один из основных подходов к изучению центральных единиц, развиваемых в диссертации — метод, который мы называем локальным и который позволяет строить центральные единицы, связанные с единственным неприводимым комплексным характером.
Применение локального метода позволяет строить подгруппы конечного индекса в группах центральных единиц целочисленных групповых колец любых конечных групп. После этого исследование мультипликативной структуры центра целочисленного группового кольца сводится к исследованиям фактор-группы группы центральных единиц по построенной подгруппе и тем самым к работе в конечной абелевой группе, что позволяет существенно упростить получение полного описания группы всех центральных единиц целочисленных групповых колец конечных групп.
Научная новизна
Все основные результаты диссертации являются новыми и снабжены полными доказательствами.
Практическая и теоретическая ценность
Работа имеет теоретический характер. Результаты и методы диссертации могут быть использованы для исследований как в алгебре и теории чисел, так и в их приложениях.
Результаты диссертации позволяют:
определять показатели групп единиц фактор-колец колец целых абелелых полей, что полезно в исследованиях по алгебраической теории чисел;
« находить центральные единицы целочисленных групповых колец конечных групп, что очень важно при исследовании мультипликативной структуры таких колец;
строить подгруппы конечного индекса в группах центральных единиц целочисленных групповых колец любых конечных групп;
полностью описывать группы центральных единиц целочисленных групповых колец любых конечных групп.
Следует отметить, что подходы изучения центральных единиц, развиваемые Сегалом и его соавторами, не позволяют работать с произвольными конечными группами, а могут применяться только к группам близким к абелевым, таким как нилыютснтные. Более подробно эта тема освещена в обзоре [21, с. 147-149].
Полученные в диссертации результаты по теории чисел и применяемые для их получения подходы имеют самостоятельный интерес и могут иметь приложения в исследованиях колец целых абелевых полей.
Апробация работы
Основные результаты диссертации докладывались на IV Сибирской школе "Алгебра и анализ" (Омск, 1990), на Международной алгебраической конференции, посвященной памяти А.И. Ширшова (Барнаул, 1991), на Международной алгебраической конференции, посвященной памяти Д.К. Фаддеева (Санкт-Петербург, 1997), на Международной конференции но теории групп, посвященной памяти С.Н. Черникова (Пермь, 1997), на Международной конференции "Мальцевские чтения" (Новосибирск, 1997) — пленарный доклад по приглашению оргкомитета, на Международной алгебраической конференции памяти А.Г. Ку-роша (Москва, 1998), на Международной конференции "Комбинаторные и вычислительные методы в математике" (Омск, 1998) — пленарный доклад по приглашению оргкомитета, на Международной конференции "Мальцевские чтения" (Новосибирск. 1998), на Международной конференции "Маломерная топология и комбинаторная теория групп" (Челябинск, 1999), на Международной алгебраической конференции, посвященной 60-летию со дня рождения Ю.И. Мерзлякова (Новосибирск, 2000), на алгебраических семинарах ЙММ УрО РАН, Челябинского, Омского и Южно-Уральского госуниверситетов.
Публикации
Основные результаты диссертации опубликованы в работах |26|~|42|.
Структура и объём работы
Диссертация состоит из введения, пяти глав, библиографии и приложений. Она изложена на 309 страницах (с библиографией, без приложений), библиография содержит 80 наименований. Нумерация теорем, лемм и т.п. в каждой главе своя, например, теорема 3.4 — четвёртая теорема третьей главы. Главы делятся на параграфы, которые делятся на разделы, которые могут делиться на пункты. Укажем, что := означает равенство по определению.