Содержание к диссертации
Введение
1. Простые числа в антье-последовательности специального вида 16
1. Вспомогательные утверждения.
2. Основная теорема для иррациональных чисела 21
3. Следствия из основной теоремы и частные случаи 24
4. Случай рационального а 25
5. Равномерные оценки 27
2. Об одном аналоге проблемы делителей Дирихле 33
1. Вспомогательные утверждения 34
2. Лемма о сумме значений функции на обобщенной арифметической прогрессии 39
3. Лемма об оценке тригонометрической суммы 44
4. Доказательство теоремы 51
5. Результаты вычислений 52
3. О распределении значений сумм мультипликативных функций 56
1. Задача о функции Мангольдта 56
2. Задача о функции Эйлера 58
3. Случай растущих коэффициентов 62
Список литературы 66
- Основная теорема для иррациональных чисела
- Лемма о сумме значений функции на обобщенной арифметической прогрессии
- Результаты вычислений
- Случай растущих коэффициентов
Введение к работе
Обобщенными арифметическими прогрессиями называются последовательности вида [ап + /?], где а — вещественное нецелое число, /3 — произвольное вещественное число, а переменная п пробегает натуральный ряд чисел (функция [х] обозначает целую часть числа х). Простые числа образуют мультипликативный базис множества натуральных чисел, поэтому в рассматриваемом круге задач важнейшей проблемой является изучение законов распределения простых чисел в такого рода последовательностях. Исследование распределения простых чисел в различных целочисленных (или арифметических) последовательностях является актуальным направлением аналитической теории чисел. Простейшим примером такой последовательности является сам натуральный ряд чисел. Еще Евклид доказал бесконечность множества всех простых чисел, но точные количественные результаты, связанные с функцией 7г(#), были получены лишь в XIX в. Отметим, что предположение Л. Эйлера к(х) = о(х) было доказано А. Лежандром, который, в свою очередь, в 1798 г. выдвинул гипотезу1 о том, что
km тг(х) = 1. (1)
z-э-оо X
Впервые точные результаты в этом направлении были получены П. Л. Чебышевым [1], [2] на рубеже 1840-х—1850-х гг. В частности, для всех достаточно больших значений х была доказана оценка
а-— п(х) Ъ Ых In х где а,Ъ — положительные постоянные, 0 а 1 Ь. Кроме того, П. Л. Чебышев исследовал приближение функции 7г(ж) интегральным логарифмом. Он ввел понятие «количества порядка Зг для обозначения такой величины А, что при т п имеем ИтхЧ,ооА : ]о%х = со, а при
:В действительности, предположение Лежандра было несколько иным, см., например, [28, с. 9].
т п имеем lim oo-A : lo mx = 0, и доказал [3, т. 1, с. 184], что «если функция 7г(ж)... может быть выражена верно до количества порядка -рг включительно алгебраически в х, log ж, ех, то такое выражение ее есть
х 1х 1-2х 1 • 2 • 3 ... (п - 1)х
+ 7-а- +-7-3- + • • + Г-7Г -»
log Ж log2 Ж l0g32T " log" X
Нестрого говоря, было показано, что лучше, чем интегральным логарифмом §2 i Функция тг{х) приближена быть не может.
Доказательство асимптотического закона распределения простых чисел (1) было получено еще через полвека. Б. Риман развил метод, использовавший теорию функций комплексной переменной. Несмотря на то, что носящая его имя функция (s) была впервые введена Эйлером (см. [4, с. 129]), именно Риман рассмотрел ее как функцию комплексного аргумента. В своей работе 1859 г. [5] Риман привел набросок доказательства асимптотического закона. Полное доказательство предложили в 1896 г. Ж.Адамар [6] и (независимо от него) Ш.Валле-Пуссен [7]. Оба автора использовали созданную Адамаром [8] теорию целых функций.
Вопрос о распределении простых чисел в арифметических прогрессиях был впервые исследован Л.Дирихле, который в 1837г. установил, что в любой арифметической прогрессии I, l-\-k, l-\-2k,..., где натуральные числа к, I взаимно просты, содержится бесконечно много простых чисел. После того, как был доказан асимптотический закон распределения простых чисел, Адамар при помощи рассмотренных Дирихле L-функций доказал теорему о простых числах в арифметической прогрессии:
Km 7г(я; к,1) = —г—. (2)
х-юо х (р[к)
При фиксированном к количество членов рассматриваемой арифметической прогрессии, не превосходящих заданной границы х, имеет порядок х. Возникает вопрос о распределении простых чисел в более редких последовательностях. Например, если положить к = In я, то количество членов арифметической прогрессии, не превосходящих заданной границы х, будет уже иметь порядок х/\пх. В 1935 г. К. Зигель доказал теорему о нулях L-рядов, из которой в 1936 г. А. Вальфиш вывел равномерную при 1 к In х оценку остаточного члена в асимптотической формуле •4 7Г(Ж, к, I) = -7ТГФ) + О (xe CsA™\ ч [к) (см. лемму 1.14). В 1940г. И. М.Виноградов [9] с помощью своих оценок тригонометрических сумм с простыми числами вида Е ,2ттра где а — постоянная величина, 0 а 1, р пробегает простые числа и т — некоторое целое число, вывел асимптотический закон распределения дробных долей функции {ра}. Используя оценки подобного рода, в 1953 г. И. И. Пятецкий-Шапиро [10] доказал асимптотический закон распределения простых чисел в последовательности вида [пс] при 0 с CQ = 12/11 = 1,0909 Тем самым впервые была установлена регулярность в распределении простых чисел в редких последовательностях, логарифмическая плотность которых меньше единицы. Г. А. Колесник [И] увеличил границу изменения параметра с до значения CQ — 10/9 = 1,1111 В дальнейшем большое количество работ было посвящено отысканию новых значений CQ. Наиболее существенные продвижения в этой проблеме были сделаны Хис-Брауном (со = Щ = 1,1404..., [12]), Колесником (со = = 1,1470..., [13]), Лю и Риватом (с0 = § = 1,1538..., [14]), Риватом (со = Ц§§ = 1; 1544..., [15]). Г. И. Архипов и В. Н. Чубариков в 1999 г. доказали следующий результат [16]. Пусть х 1 — вещественное число и 7гс(ж) — количество простых чисел вида [пс] при п х. Тогда при 1 с 22/19 = 1,1578... имеет место асимптотическая формула
( \ — х п ( х \
clog a; \(logrc)2y В 2001 г. значение со было вновь увеличено Риватом [17] (см. также [18]) ДОСо = Ц= 1,16117....
Особое место в исследовании распределения простых чисел в ариф метических последовательностях занимают метрические результаты, связанные с получением оценок количества простых чисел в параметрических последовательностях, где параметр пробегает множество некоторой меры. В 1975г. Д. Лейтман и Д. Вольке опубликовали статью [19], в которой, в частности, было рассмотрено асимптотическое поведение суммы
7TC(N) = 1,
р=[пс], гаЄМ
где символ р пробегает простые числа. Авторы доказали, что для почти всех с Є (1; 2) при N -» со справедлива асимптотическая формула
Кроме того, в той же статье было изучено асимптотическое поведение суммы
7r(N,a) = J2 1, (3)
p N neN p—[ari\
где символ р пробегает простые числа, и установлено, что для почти всех положительных чисел о; и любого є Є (0; 1/8) при N — со справедлива асимптотическая формула
,( ) = (1 + 0( -)).
В 1994 г. Р. Бейкер и Г. Харман доказали [20] (см. также [21]), что для почти всех с 1 последовательность [ср] (р пробегает простые числа) содержит бесконечно много простых чисел. Отметим, что К. Хооли доказал [22, теорема 9, с. 127], что количество простых чисел Каллена п2п -f1 при п х есть о(х) при х —ї со, а А. Мильуоло установила [23], что количество простых чисел вида 2Р ± р, не превосходящих х, есть о(7г(х)) при X — со.
Ряд математиков обращались к проблеме распределения простых чисел в последовательности [стс], где с 1 и а — положительное иррациональное число. Д. Нордон [24] установил бесконечность множества про стых чисел в таких последовательностях при с = 2. Аналогичное утверждение для случая 1 с 2 было доказано Е. Р. Сиротой [25].
В главе 1 «Простые числа в антье-последовательности специального вида» настоящей работы продолжено исследование суммы (3). Доказано следующее утверждение.
Теорема 1. Пусть положительное иррациональное число а таково, что для всех рациональных чисел a/q при достаточно больших значениях знаменателя q справедливо неравенство
«" 1_а a q
где 1/ 2 — некоторый фиксированный показатель. Тогда для любого є О справедлива асимптотическая формула
тг(JV, а) = + О (N"+) ,
где х = max (і — ; 0,8).
Установлено, что для почти всех положительных вещественных чисел а справедлива асимптотическая формула
Этот результат справедлив и для положительных иррациональных алгебраических чисел а (теорема 2) и является следствием из основной теоремы для иррациональных значений а. Отметим, что для положительных алгебраических иррациональных чисел а в статье [19] получена асимптотическая формула
ir(N,a) = тг оГ1 + 0(e"c(a)Vnr)).
Основными средствами, которые были применены авторами для доказательства этого соотношения, являлись лемма И. М. Виноградова о разложении в ряд Фурье функции, «сглаживающей» характеристическую функцию промежутка ([26, лемма 2, с. 22]), аналогичное утверждение для коэффициентов ряда Фурье функции, приближающей дробную до лю, а также оценка И. М. Виноградова для тригонометрической суммы по простым числам ([27, теорема 1, с. 63], см. также [28, теорема 6.1, с. 214]). Возникающие в доказательстве тригонометрические суммы по простым числам, не превосходящим N, были разбиты на «С N1 сумм по простым числам р из промежутков Nv р Nv+i, где 0 7 1/8 — некоторая постоянная, а последовательность {Nu} задана рекуррентно: Щ = 10, Nu+i = Nv + iV -7, v 0, при этом на каждом из промежутков применялись указанные выше леммы.
Кроме того, в работе [19] доказано, что если положительное число а иррационально, то справедлива асимптотическая формула
4 ) = (1 + 0(1)),
причем какова бы ни была функция /, монотонно стремящаяся к нулю при неограниченном возрастании аргумента, на любом интервале {а\у а 2), где 0 «і аг, найдется такое трансцендентное число , что будет выполняться неравенство
Мы покажем, что для некоторых трансцендентных чисел возможно получить явную нетривиальную оценку этой разности (теорема 3).
При рассмотрении случая иррационального числа а автор настоящей работы отходит от схемы, предложенной Д. Лейтманом и Д. Вольке. Поскольку оценки тригонометрических сумм по простым числам, где в показателе находится иррациональное число Л = 1/а (см., например, лемму 1.2), зависят от величины знаменателя рационального приближения к числу Л, нам необходимо знать границы изменения этого знаменателя. Для этого мы пользуемся оценкой степени иррациональности числа Л (т. е. такого числа is, что для любого 5 0 неравенство а Л 1 справедливо при всех достаточно больших q\ см. определение на с. 19). Кроме того, вместо примененных Д. Лейтманом и Д. Вольке лемм, содержащих оценки коэффициентов рядов Фурье, мы пользуемся, по существу, лишь леммой 1.1. Наконец, для оценки суммы по простым числам применяется лемма 1.2 (принадлежащая И.М.Виноградову). Это позволяет получить степенное понижение порядка остаточного члена, а также равномерные оценки рассматриваемой суммы ir(N, ad) на основании равномерных по d оценок знаменателей рациональных приближений к числам \d и A/d, где 1 d L, L — растущий параметр (теорема 5).
В работе [19] показано, что при положительном рациональном а формула вида
n(N, a) = (1 + 0(1))
имеет место лишь тогда, когда a = 1/q, q Є N. На самом деле при указанном а имеет место точная формула:
TT(N)
а
IT(N, а) =
Далее, для а — a/q, a l, (a, q) = 1 в статье [19] получена формула
tp(a)
где
cp(q, а) =
l r g-l,
аг
а
= Доказательство основывалось на теореме о простых числах в арифметических прогрессиях. Мы уточняем этот результат (теоремы 4, 5), применив теорему Зигеля. Заметим, что если а = a/q, а 1 и а \ q — 1, то при N а имеет место точная формула
q-1
а
7r(N,a) = - ir(N) + R{a),
где
R(a) =
если а — простое число; в противном случае.
Во второй главе «Об одном аналоге проблемы делителей Дирихле» настоящей работы получена асимптотическая формула при N — со для количества решений в натуральных числах х,у,п уравнения ху = [an + /3] при условии п N. Задача нахождения асимптотической формулы для суммы чисел делителей, распространенной на последовательности вида [an 4- Р], относится к широкому кругу проблем теории чисел, в которых изучаются средние значения арифметических функций. Некоторые из этих проблем допускают простое геометрическое истолкование. К ним прежде всего следует отнести проблему Гаусса об асимптотической формуле для количества точек целочисленной решетки («целых точек») на плоскости, лежащих внутри круга растущего радиуса R с центром в начале координат (см., например, [29, с. 11]). Эта знаменитая классическая задача носит название «проблема круга». Другой классический пример подобной задачи — проблема делителей Дирихле о количестве целых точек под гиперболой, или, что то же самое, о среднем значении числа делителей натурального аргумента (см., например, [29, с. 12]). Отметим, что под окончательным решением проблем типа проблемы круга или проблемы делителей обычно понимают получение наилучшей верхней оценки остаточного члена в асимптотической формуле. Эти классические проблемы допускают и многомерное обобщение. Пусть г (п) обозначает количество представлений натурального числа п в виде произведения к натуральных чисел с учетом порядка множителей. А. А. Карацуба [30] получил асимптотическую формулу для суммы Tj (x) = X)n«;zrfc(n) равномерную по параметрам х и к: Тк(х) = хРк-і{\пх) + " (сіпя) , где Pk-i — многочлен степени, не превосходящей к — 1, а 7 — некоторая абсолютная постоянная.
Развитие этой тематики состоит в получении асимптотический формул для суммы значений арифметических функций в том случае, ко гда суммирование распространено на различного рода последовательности натурального ряда. Здесь обычно постановка задачи сводится к получению асимптотики для возможно более редких последовательностей из рассматриваемого класса (см. [31]—[36]). В 1966 г. А. Ф.Лаврик [33] получил асимптотическую формулу для распределения среднего значения многомерной функции делителей в арифметических прогрессиях с разностью, растущей степенным образом относительно длины прогрессии. Эти исследования были продолжены М. М. Петечуком [34], который в случае прогрессии с разностью, равной степени нечетного простого числа, получил существенное улучшение результатов Лаврика и Ёдгорова, в котором показатель степенной зависимости разности прогрессии от ее длины не зависел от размерности функции делителей. Было доказано, что при D = рп, (I, D) = 1, D х« є справедлива формула xQk(lnx) (х п х п=1 (mod D) p(D) \cp(D). где Qk{z) — многочлен степени к — 1 от переменной z с коэффициентами, зависящими от к и р, к = min ( j, Jr), причем положительная постоянная {3 зависит от р. В 1985 г. Дж. Б. Фридлендер и Г. Иванец [35], [36] уточнили результат Лаврика, а также получили асимптотическую формулу для суммы y r3(n)r(w + fc) п х с остатком ж1 , где 5 — некоторое положительное число. С другой стороны, в работе [37] доказано, что если 1 с , то при N — со справедлива формула ]Г г(И) = cN In N + (27 - c)N + О (Л , где 7 - постоянная Л. Эйлера. Обобщение этой задачи на многомерный случай рассмотрено в статье [38]. Ряд математиков исследовали также задачи, связанными с нахожде ниєм асимптотики и оценкой остаточных членов для сумм г(т 2 + 1), 5 (п(» + 1)), ! №)) J (n)r(n + ft), П Х П Х П Х П Х где Р(п) — некоторый целозначный многочлен (см. [22], [39], [40]). Основным результатом второй главы настоящей работы является следующее утверждение. Теорема 6. Пусть а — положительное иррациональное число и действительное число (3 леоюит в промежутке [0;а). Тогда справедливо равенство Y т{[ап + (3]) = NlnN + (27 - 1 + lna)N + Aaj(N), где 7 — постоянная Л. Эйлера, причем если неполные частные непрерывной дроби числа а ограничены, то при N — • со справедлива оценка &аАЮ № 5+ №я ІП3 N, если число а алгебраическое, то имеет место соотношение &аАЮ «є № 5+є, причем для почти всех положительных а выполнено неравенство КАЮ е № 5+ ln4+N (число є 0 сколь угодно мало).
Для доказательства этой теоремы развит математический аппарат, позволяющий свести рассматриваемую задачу к оценкам тригонометрических сумм определенного вида (лемма 2.10). Отметим, что Гаусс первым стал рассматривать тригонометрические суммы и первым показал пользу этих сумм как средства решения задач теории чисел. Особое место в настоящей работе занимает получение оценок тригонометрических сумм с иррациональными числами, непрерывная дробь которых имеет неполные частные, ограниченные в совокупности. Аналогичные оценки справедливы и для сумм с иррациональными алгебраическими числами, однако в
первом случае удается получить также и явные значения констант в верхних оценках этих сумм (см., например, лемму 2.12).
В третьей главе «О распределении значений сумм мультипликативных функций» продолжено исследование распределения сумм мультипликативных функций на обобщенных арифметических прогрессиях. Здесь следует отметить интересные результаты, связанные с распределением средних значений мультипликативных функций, которые изменяются в пределах, имеющих порядок ниже степенного, например, р(п)/п и а(п)/п. Доказано следующее утверждение.
Теорема 8. Пусть а — положительное иррациональное число. Тогда справедливы равенства Ьіт [агс + Д 2 U аЦап + Р]) _іг2 причем если неполные частные непрерывной дроби числа а ограничены, то при N — со справедлива оценка Aa,p(N) iVlnln"+ln2 In4 N, если число а алгебраическое, то имеет место соотношение причем для почти всех положительных а выполнено неравенство (число є 0 сколь угодно мало), и, кроме того, для A aJN) справедливы точно такие же оценки. В теореме 9 исследуется остаточный член в задаче о сумме значений функции а на обобщенной арифметической прогрессии. Отметим, что в данном случае главный член имеет квадратичный порядок по сравнению с длиной промежутка суммирования, а для остаточного члена получено шл.\ корневое понижение.
В заключение автор приносит благодарность научному руководителю профессору В.Н.Чубарикову за постановку задач и внимание к работе и профессору Г. И. Архипову за полезные обсуждения.
Основная теорема для иррациональных чисела
Во второй главе «Об одном аналоге проблемы делителей Дирихле» настоящей работы получена асимптотическая формула при N — со для количества решений в натуральных числах х,у,п уравнения при условии п N. Задача нахождения асимптотической формулы для суммы чисел делителей, распространенной на последовательности вида [an 4- Р], относится к широкому кругу проблем теории чисел, в которых изучаются средние значения арифметических функций. Некоторые из этих проблем допускают простое геометрическое истолкование. К ним прежде всего следует отнести проблему Гаусса об асимптотической формуле для количества точек целочисленной решетки («целых точек») на плоскости, лежащих внутри круга растущего радиуса R с центром в начале координат (см., например, [29, с. 11]). Эта знаменитая классическая задача носит название «проблема круга». Другой классический пример подобной задачи — проблема делителей Дирихле о количестве целых точек под гиперболой, или, что то же самое, о среднем значении числа делителей натурального аргумента (см., например, [29, с. 12]). Отметим, что под окончательным решением проблем типа проблемы круга или проблемы делителей обычно понимают получение наилучшей верхней оценки остаточного члена в асимптотической формуле. Эти классические проблемы допускают и многомерное обобщение. Пусть г (п) обозначает количество представлений натурального числа п в виде произведения к натуральных чисел с учетом порядка множителей. А. А. Карацуба [30] получил асимптотическую формулу для суммы Tj (x) = X)n«;zrfc(n) равномерную по параметрам х и к: где Pk-i — многочлен степени, не превосходящей к — 1, а 7 — некоторая абсолютная постоянная. Развитие этой тематики состоит в получении асимптотический формул для суммы значений арифметических функций в том случае, ко- гда суммирование распространено на различного рода последовательности натурального ряда. Здесь обычно постановка задачи сводится к получению асимптотики для возможно более редких последовательностей из рассматриваемого класса (см. [31]—[36]). В 1966 г. А. Ф.Лаврик [33] получил асимптотическую формулу для распределения среднего значения многомерной функции делителей в арифметических прогрессиях с разностью, растущей степенным образом относительно длины прогрессии.
Эти исследования были продолжены М. М. Петечуком [34], который в случае прогрессии с разностью, равной степени нечетного простого числа, получил существенное улучшение результатов Лаврика и Ёдгорова, в котором показатель степенной зависимости разности прогрессии от ее длины не зависел от размерности функции делителей. Было доказано, что при D = рп, (I, D) = 1, D х« є справедлива формула где Qk{z) — многочлен степени к — 1 от переменной z с коэффициентами, зависящими от к и р, к = min ( j, Jr), причем положительная постоянная {3 зависит от р. В 1985 г. Дж. Б. Фридлендер и Г. Иванец [35], [36] уточнили результат Лаврика, а также получили асимптотическую формулу для суммы с остатком ж1 , где 5 — некоторое положительное число. С другой стороны, в работе [37] доказано, что если 1 с , то при N — со справедлива формула где 7 - постоянная Л. Эйлера. Обобщение этой задачи на многомерный случай рассмотрено в статье [38]. Ряд математиков исследовали также задачи, связанными с нахожде- Предисловие ниєм асимптотики и оценкой остаточных членов для сумм где Р(п) — некоторый целозначный многочлен (см. [22], [39], [40]). Основным результатом второй главы настоящей работы является следующее утверждение. Теорема 6. Пусть а — положительное иррациональное число и действительное число (3 леоюит в промежутке [0;а). Тогда справедливо равенство где 7 — постоянная Л. Эйлера, причем если неполные частные непрерывной дроби числа а ограничены, то при N — со справедлива оценка если число а алгебраическое, то имеет место соотношение причем для почти всех положительных а выполнено неравенство (число є 0 сколь угодно мало). Для доказательства этой теоремы развит математический аппарат, позволяющий свести рассматриваемую задачу к оценкам тригонометрических сумм определенного вида (лемма 2.10). Отметим, что Гаусс первым стал рассматривать тригонометрические суммы и первым показал пользу этих сумм как средства решения задач теории чисел. Особое место в настоящей работе занимает получение оценок тригонометрических сумм с иррациональными числами, непрерывная дробь которых имеет неполные частные, ограниченные в совокупности. Аналогичные оценки справедливы и для сумм с иррациональными алгебраическими числами, однако в Предисловие первом случае удается получить также и явные значения констант в верхних оценках этих сумм (см., например, лемму 2.12). В третьей главе «О распределении значений сумм мультипликативных функций» продолжено исследование распределения сумм мультипликативных функций на обобщенных арифметических прогрессиях. Здесь следует отметить интересные результаты, связанные с распределением средних значений мультипликативных функций, которые изменяются в пределах, имеющих порядок ниже степенного, например, р(п)/п и а(п)/п. Доказано следующее утверждение.
Лемма о сумме значений функции на обобщенной арифметической прогрессии
Сформулируем и докажем утверждение, позволяющее сводить задачу об оценке остатка в асимптотической формуле для суммы значений функции на обобщенной арифметической прогрессии к рассмотрению тригонометрических сумм определенного вида. Лемма 2.10. Пусть а — положительное иррациональное число, действительное число (3 лежит в промежутке [0; а) и функция определена на мнооюестве натуральных чисел. Тогда для любого целого числа L 2 при N —» со справедлива оценка и A = - причем d — наименьшее натуральное число, для которого ad 1. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Сначала рассмотрим случай а 1. Поскольку функция f(x) = ах -\- (5 удовлетворяет условиям леммы 2.2, рассмат- Глава 2. Об одном аналоге проблемы делителей Дирихле риваемая сумма может быть преобразована следующим образом: Сохраним обозначение ті для переменной суммирования и положим Л = 1/а. Определим функцию и (х) на отрезке [0; 1]: I 0 в противном случае. Тогда по лемме 2.1 при всех х Є [0;1], х 1 — X, справедливо равенство ш(х) = А + р(х + А) — р(х). Продолжим функцию ш(х) на всю числовую прямую с периодом единица. Тогда рассматриваемая сумма равна где і?дг,а = О (Y n aN+p (n)) пРичем в данном случае штрих означает то, что суммирование ведется лишь по тем числам п, для которых выполнено равенство {Х(п — /5)} = 1 — А. Если для каких-либо натуральных чисел ni,7i2 имеет место равенство {А(пі—/3)} — {А(п2—/?)}, то, очевидно, должно быть А(тц -/3)- [А(щ - /3)} = Х(п2 -р)- [А(п2 - /?)], т.е. A(ni - пг) Є Z, откуда пі = пг- Таким образом, мы получаем Далее, согласно лемме 1.1, будем иметь Перейдем к оценке Т.2. Вновь согласно лемме 1.1, положив М = [lnZ/j, получаем где коэффициенты a m допускают ту же оценку, что и коэффициенты а. в лемме 1.1. Следовательно, полученная оценка для №ЖА(п-Д) является одновременно и оценкой для всей суммы Т,2- Итак, собирая вместе полученные результаты (2.16), (2.18) и (2.19), убеждаемся в справедливости утверждения леммы. Перейдем теперь к случаю 0 а 1. Тогда найдется такое натуральное число d 2, что ad 1. Во избежание громоздких формул, будем считать, что (3 = 0 (как отмечалось выше, наличие этого сдвига не влияет на оценки коэффициентов возникающих в доказательстве рядов Фурье). Преобразуем рассматриваемую сумму, пользуясь леммой 2.1: где мы положили Л = l/(ad). Таким образом, мы пришли к выражению, аналогичному соотношению (2.15).
Отметим, что при рассмотрении сумм Ei и Ег мы пользовались, по существу, оценками коэффициентов ряда Фурье для р-функции и коэффициентов ряда Фурье остатка этого ряда, а также леммой 2.12. Поэтому в данном случае можно провести те же рассуждения и придти к тем же оценкам, поскольку множитель e2mmr/d не влияет на модули коэффициентов, получающихся при разложении функций р(А(п +1) — r/d) и р(Ап — r/d) в ряд Фурье. В самом деле, пусть г — некоторое целое число из промежутка 0 г d — 1. Если г = 0, то мы вновь сталкиваемся с суммой оценка которой была получена выше (см. (2.17) и далее). Пусть теперь l r d-І. Тогда Глава 2. Об одном аналоге проблемы делителей Дирихле где коэффициенты а т допускают ту же оценку, что и коэффициенты ат в лемме 1.1, полученная выше (см. (2.19)) оценка для является одновременно и оценкой для рассматриваемой нами суммы Ег. Итак, в последней части соотношения (2.20) находится сумма d слагаемых, для каждого из которых справедлива требуемая оценка. Следовательно, лемма верна и в том случае, когда 0 а 1. 3. Лемма об оценке тригонометрической суммы При доказательстве теоремы 6 мы воспользуемся леммой 2.10 и сведем задачу к оценкам тригонометрических сумм определенного вида. Выделим эти результаты в виде отдельной леммы 2.12 и предпошлем ей следующее вспомогательное утверждение. Лемма 2.11. Пусть А — иррациональное число. Тогда для любого Т 1 существует разбиение полуинтервала [0; \), такое, что на промеоюуток [0;#о) ие попадет ни одного значения \t, 1 t Т, причем если все неполные частные непрерывной дроби числа А не превосходят константы с\ — 1, то можно положить если А — алгебраическое число, то существует причем для почти всех А можно выбрать ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть все неполные частные непрерывной дроби числа А не превосходят с\ — 1. Согласно лемме 1.13, для любого б Є (0; \) существует такая несократимая дробь a/q, что Тогда если числа б и Т таковы, что 6Т -, то а следовательно т. е. на промежутки [0; б) и (1 — 5; 1) не попадет ни одного значения {At}, где t Т. Итак, если для заданного значения Т в представлении (2.22) определить бо равенством (2.23), то поскольку 6QT -, в этом случае лемма доказана.
aПри рассмотрении случая алгебраического числа А (а также для почти всех чисел А) достаточно провести схожие рассуждения, воспользовавшись вместо оценки (2.3) соотношением (2.4) (соответственно, (2.5)) и леммой 1.13. Рассмотрим, например, случай алгебраического числа А. Зафиксируем произвольное число є Е (0; 1). Согласно лемме 1.13, для любого б Є (0; \) существует такая несократимая дробь a/q, что A = f + :, где т = 2/5 с{є)Щ д Тб и w h Следовательно, для некоторой положительной постоянной d = d{e) спра- ведливо неравенство а следовательно Итак, по заданному числу Т мы можем выбрать число SQ1 Т1+, для которого на промежутки [0; SQ) И (1 — #О! 1) не попадет ни одного значения Лемма 2.12. Пусть X — иррациональное число и натуральное число L [7х, где 0 к 1. Тогда если неполные частные непрерывной дроби числа X ограничены сверху постоянной с\ — 1, то при U 2 справедливы неравенства ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. ДЛЯ и из промежутка [2; 4) утверждение леммы проверяется непосредственно, поэтому будем считать, что U 4. Разбивая множество, в котором изменяются переменные х, у, на два множества {(ж,у) ж у, ху С/} и {(ж,?/) ж /, in/ }) в силу леммы 2.3 получаем Представим целочисленный отрезок [1; L] в виде объединения непересекающихся промежутков Ik = (фт] jt] (количество этих промежутков не превосходит log2 L+l 2 log2 U 3 In U), а целочисленный отрезок [1; y/U] — в виде объединения непересекающихся промежутков Ji = (зтіт; 2г] (количество этих промежутков не превосходит log2 VU +1 log2 U 21nf7). Тогда получим Зафиксируем индексы к,1 и рассмотрим сумму Sk,i- При га Є /&, ж Є «/г справедливо неравенство -, а произведение = mx пробегает промежуток Hk,i = (зш- зтіт; Jr г]. Для каждого t Є #&,/ число таких пар Таким образом, мы приходим к неравенству Далее, заметим, то при U 4 справедливы неравенства 2 21п[/ и log Г "д, 2,2 InU 4In[7. Итак, справедлива оценка где постоянная С\ = 72сА зависит лишь от Л. Воспользуемся теперь леммой 2.11 для Т = тр г. Тогда в силу (2.22), (2.33) и проведенных выше рассуждений, мы можем продолжить оценку (2.32) следующим образом: поскольку Согласно произведенному в начале доказательства разбиению целочисленных промежутков Доказательство оценок (2.26) и (2.27), а также рассмотрение случаев алгебраического числа Л и почти всех чисел Л повторяет изложенные выше рассуждения, причем в этом случае вместо результата (2.10) следует применить соотношение (2.9) и не следить за возникающими константами, а вместо неравенства (2.33) воспользоваться, соответственно, оценками
Результаты вычислений
В заключение приведем результаты вычислений для различных значений а (для наглядности все элементы таблицы округлены до целых чисел). Положим Десятичные разложения чисел а содержат 10 верных знаков, т. е. округлены до последней выписанной цифры. Таблицы иллюстрируют утверждение теоремы 6, состоящее в том, что для чисел, принадлежащих определенным классам, при N — со имеем Аі,а(Ю СЄ № 5+є (число є 0 сколь угодно малб). Вычисления проводились для четырех чисел: число 1+ = 1,61803398875... имеет ограниченные неполные частные (все они равны 1), число у/2 = 1,18920711500... является алгебраическим иррациональным, числа трансцендентны. Отметим, что все эти числа выбраны близкими к единице для уменьшения влияния зависящей от а константы в остаточном члене. Здесь мы продолжим исследование вопроса о распределении значений сумм некоторых арифметических функций, используя методы, описанные в предыдущих главах. Во всех результатах этой главы предполагается, что действительное число /3, дающее «сдвиг» обобщенной арифметической прогрессии [an + /?], фиксировано, поэтому мы можем считать, что оно лежит в промежутке [0; а). 1. Задача о функции Мангольдта В этом параграфе будет доказано следующее утверждение. Теорема 7. Пусть положительное иррациональное число а таково, что для всех рациональных чисел a/q при достаточно больших значениях знаменателя q справедливо неравенство где v — некоторый фиксированный показатель. Тогда для любого є 0 справедлива асимптотическая формула Глава 3. О распределении значений сумм мультипликативных функций 57 Доказательство теоремы опирается на следующую лемму. Лемма 3.1 [69]. Пусть Тогда имеет место оценка а причем справедлива оценка Воспользуемся теперь леммой 3.1 для U = aN + (3 и будем считать, что L, U 2. Получаем оценку Глава 3. О распределении значений сумм мультипликативных функций 58 Перейдем к оценке 1. Согласно леммам 2.10 и 3.1, положив М = L[lnL], получаем причем для любого є 0 имеем Очевидно, далее, справедлива оценка Перейдем к выбору параметров. Положим т = N t , L — \N \. Тогда в силу неравенств (1.14) получаем оценку Собирая вместе оценки (3.2), (3.3), (3.4) и (3.5), поскольку получаем утверждение теоремы. 2. Задача о функции Эйлера Здесь мы получим асимптотические формулы для сумм значений двух нормированных мультипликативных функций на обобщенной арифметической прогрессии. Теорема 8. Пусть а — положительное иррациональное число.
Тогда справедливы равенства причем если неполные частные непрерывной дроби числа а ограничены, то при N —V оо справедлива оценка если число а алгебраическое, то имеет место соотношение причем для почти всех а выполнено неравенство &аАЮ ІУ »іпй-іпа 1п5+є iV (чадс/го є: 0 сколь угодно мало), и, кроме того, для А ар(Ю справедливы точно такие же оценки. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Согласно лемме 2.10, имеем Следовательно, суммы Ei и E j допускают одинаковые оценки. Далее рассуждения аналогичны доказательству леммы 2.12 и теоремы 6, поэтому мы проведем их без повторяющихся комментариев. Представим целочисленный отрезок [1; L] (L U) в виде объединения непересекающихся промежутков If. = (фт р] (количество этих промежутков С 1п7), а целочисленный отрезок [1; U] — в виде объединения непересекающихся промежутков J\ = ( т; г] (количество этих промежутков С In U). Выберем L = [U]. (Отметим, что здесь мы, по существу, рассматриваем одинаковые отрезки и производим одинаковые разбиения. Однако для сохранения логики доказательства мы продолжим использовать различные обозначения.) Тогда получим Положим Т = Пусть все неполные частные непрерывной дроби числа Л не превосходят константы с\ — 1. Представляя полуинтервал [0; ) в виде объединения непересекающихся промежутков (2.22), следуя рассуждениям леммы 2.12 и выбирая значение ( согласно лемме 2.11, приходим к неравенствам Согласно произведенному в начале доказательства разбиению целочисленных промежутков [1; 1г] и [1; С/], получаем Отметим, что оценки Глава 3. О распределении значений сумм мультипликативных функций 62 Для Ег, справедлива та же оценка. Наконец, рассмотрим главные члены. Как известно (см., например, [28, с. 308], [71, с. 99]), справедливы асимптотические формулы Очевидно, мы получаем Наконец, собирая вместе оценки (3.10), (3.11), (3.12), (3.13) и (3.14), получаем утверждение теоремы.
При рассмотрении случая алгебраического числа Л (а также для почти всех чисел Л) достаточно провести схожие рассуждения таким образом, как это делалось выше. 3. Случай растущих коэффициентов В этом параграфе мы исследуем остаточный член в задаче о сумме значений функции сг на обобщенной арифметической прогрессии. Отметим, что в данном случае главный член имеет квадратичный порядок по сравнению с длиной промежутка суммирования, а для остаточного члена получено корневое понижение. Глава 3. О распределении значений сумм мультипликативных функций 63 Теорема 9. Пусть а — полооїсительное иррациональное число. Тогда справедливо равенство причем если неполные частные непрерывной дроби числа а ограничены, то при N — оо справедлива оценка если число а алгебраическое, то имеет место соотношение причем для почти всех а выполнено неравенство &аАЮ iV1 54"! ln4+ TV (число є О сколь угодно мало). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Согласно лемме 2.10 имеем а причем справедлива оценка Am& Am&2 где А, В — натуральные числа. Представим целочисленный отрезок [1; L) (L = [y/U/ln. U],) в виде объединения непересекающихся промежутков Ij- = ( щ-; ] (количество этих промежутков «С In U), а целочисленный отрезок [1; VU] — в виде объединения непересекающихся промежутков J; = ( щ-; г] (количество этих промежутков С InU). Тогда получим
Случай растущих коэффициентов
Далее рассуждения аналогичны доказательству леммы 2.12 и теоремы 6, поэтому мы проведем их без повторяющихся комментариев. Представим целочисленный отрезок [1; L] (L U) в виде объединения непересекающихся промежутков If. = (фт р] (количество этих промежутков С 1п7), а целочисленный отрезок [1; U] — в виде объединения непересекающихся промежутков J\ = ( т; г] (количество этих промежутков С In U). Выберем L = [U]. (Отметим, что здесь мы, по существу, рассматриваем одинаковые отрезки и производим одинаковые разбиения. Однако для сохранения логики доказательства мы продолжим использовать различные обозначения.) Тогда получим Зафиксируем произвольное положительное число є и рассмотрим сумму Skj. При тп Є Ik, d Є J і справедливы неравенства L d v , произведение t = md пробегает промежуток Нщ = (фт йт; jz %] Для Глава 3. О распределении значений сумм мультипликативных функций 61 каждого t Є Hkti число таких пар (m,d), что t = md,m Є h,d Є Ji, не превосходит r(t) С (2/ 7)lnln Ll/ «С UlnlnU+ln2 = V. Следовательно, Положим Т = Пусть все неполные частные непрерывной дроби числа Л не превосходят константы с\ — 1. Представляя полуинтервал [0; ) в виде объединения непересекающихся промежутков (2.22), следуя рассуждениям леммы 2.12 и выбирая значение ( согласно лемме 2.11, приходим к неравенствам Согласно произведенному в начале доказательства разбиению целочисленных промежутков [1; 1г] и [1; С/], получаем Отметим, что оценки Глава 3. О распределении значений сумм мультипликативных функций 62 Для Ег, справедлива та же оценка. Наконец, рассмотрим главные члены. Как известно (см., например, [28, с. 308], [71, с. 99]), справедливы асимптотические формулы Следовательно, имеем также и равенства Очевидно, мы получаем Наконец, собирая вместе оценки (3.10), (3.11), (3.12), (3.13) и (3.14), получаем утверждение теоремы. При рассмотрении случая алгебраического числа Л (а также для почти всех чисел Л) достаточно провести схожие рассуждения таким образом, как это делалось выше. 3. Случай растущих коэффициентов В этом параграфе мы исследуем остаточный член в задаче о сумме значений функции сг на обобщенной арифметической прогрессии. Отметим, что в данном случае главный член имеет квадратичный порядок по сравнению с длиной промежутка суммирования, а для остаточного члена получено корневое понижение. Глава 3. О распределении значений сумм мультипликативных функций 63 Теорема 9. Пусть а — полооїсительное иррациональное число.
Тогда справедливо равенство причем если неполные частные непрерывной дроби числа а ограничены, то при N — оо справедлива оценка если число а алгебраическое, то имеет место соотношение причем для почти всех а выполнено неравенство (число є О сколь угодно мало). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Согласно лемме 2.10 имеем а причем справедлива оценка Глава 3. О распределении значений сумм мультипликативных функций 64 в силу леммы 2.3 и оценки (мы положили Z = е2тХтк) Представим целочисленный отрезок [1; L) (L = [y/U/ln. U],) в виде объединения непересекающихся промежутков Ij- = ( щ-; ] (количество этих промежутков «С In U), а целочисленный отрезок [1; VU] — в виде объединения непересекающихся промежутков J; = ( щ-; г] (количество этих промежутков С InU). Тогда получим Рассмотрим сумму 5 /. При m Є h, d G. Ji справедливы неравенства а произведение і = md пробегает промежуток Hk,i = {фг $тг; jk $] Для каждого t Є / число таких пар (га, d), что t = md, т Є h,d Є Ji, Положим Т = jt г. Пусть все неполные частные непрерывной дроби числа Л не превосходят константы с\ — 1. (При рассмотрении случая алгебраического числа Л (а также для почти всех чисел Л) достаточно провести схожие рассуждения, подобно тому, как это делалось выше.) Представляя полуинтервал [0; \) в виде объединения непересекающихся Глава 3. О распределении значений сумм мультипликативных функций 65 промежутков (2.22), следуя рассуждениям леммы 2.12 и выбирая значение #о согласно лемме 2.11, приходим к неравенствам Согласно произведенному в начале доказательства разбиению целочисленных промежутков [1;L] и [1;\/с7], получаем N « Х E I7lnt/ « 71 При выводе оценки достаточно провести аналогичные рассуждения. Перейдем к оценке Ег- Согласно лемме 2.10, получаем Очевидно, мы получаем Наконец, в силу асимптотической формулы (см. [71, с. 88]) собирая вместе оценки (3.18), (3.19) и (3.20), получаем утверждение тео ремы.