Введение к работе
АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ И ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Основные темы диссертации - теория представлении сплетений конечномерных полупростых алгебр с групповыми алгебрами симметрических групп и перечислительная теория фибоначчиевых разбиений.
Первая тема является, как структурно, так и методически, разделом теории представлений локальных стационарных алгебр, или. в более узком контексте, теории представлений симметрических групп. Теории представлений сплетений конечных групп с симметрическими группами посвящены, например, разделы монографий [4] и [6] (см. также приведенную там литературу по более раннему периоду). Новый импульс развитию событий придала работа [9], рассматривающая теорию представлений симметрических групп с точки зрения общей теории локальных стационарных алгебр в смысле [13, 14]. Важным пунктом нового подхода является индуктивное построение теории представлений таких алгебр, при этом используются методы теории локально-полупростых алгебр, получившей в последние годы большое распространение (см. обзор [18]). На основе некоторой модификации техники, предложенной в [9], в настоящей работе удалось описать неприводимые представления сплетений произвольной конечномерной полупростой алгебры с групповыми алгебрами симметрических групп и, притом, в более удовлетворительной форме, чем это было сделано ранее для частного случая групповых алгебр сплетений конечных групп с симметрическими. В работе также предложено изложение теории представлений групп Кокстера серии D, не использующее теорему Клиффорда об ограничении неприводимых представлений на нормальные делители.
Разбиения натуральных чисел на различные числа Фибоначчи (фи-боначчиевы разбиения) также изучались довольно давно; отметим работы [2, 3, 12, 20]. Полученная в настоящей работе структурная теорема-для решеток фибоначчиевых разбиений позволяет свести получение перечислительных результатов о них к изучению свойств некоторой подгруппы группы GL2[C] (в особых случаях Сз[С]). В работе полностью рассмотрен случай, когда эта подгруппа конечна.
Связь между двумя частями работы носит двоякий характер: во-первых, в обеих частях естественно возникают дистрибутивные решетки.
.1
и, во-вторых, обе части имеют непосредственное отношение к теории локальных локально-полупростых алгебр (см.. напр. [18]). Более глубокие смысл этой связи еще предстоит исследовать.
НАУЧНАЯ НОВИЗНА. Основные результаты работы получены вне}) вые; кроме того предложены концептуально новые доказательства некоторых ранее известных фактов.
МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЙ. В работе применяются методы теории представлений и перечислительной комбинаторики. Особого упоминания заслуживает предложенный в [9] метод описания спектра алгеб} Гельфанда-Цетлина.
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Изучение і первой части структуры некоторых локальных локалыю-иолупростьп алгебр дало возможность последовательного построения теории представлений сплетений конечномерных полупростых алгебр с групповыми алгебрами симметрических групп. Результаты второй части дают приме} реализации классической схемы решения комбинаторной задачи сведением к анализу структуры некоторого частично-упорядоченного множе ства; показано, что построение перечислительной теории для фибоначчи евых разбиений может базироваться на дистрибутивности решетки эти; разбиений, упорядоченных по измельчению.
НАУЧНАЯ АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Результаты работы докладьша лись на алгебраическом семинаре им. Д.К. Фаддеева и на семинаре ш теории представлений и динамическим системам ПОМИ РАН, на алге браической конференции памяти Д.К. Фаддеева, проходившей 24-30 ию ня 1997 г. в СГІ6ГУ, на сессии семинара по теории представлений и дина мическим системам ПОМИ РАН 27-30 августа 1996 г.
ПУБЛИКАЦИИ. Основные результаты опубликованы в работах [22 23, 24] перечисленных в конце настоящего автореферата.
ОБЪЕМ И СТРУКТУРА ДИССЕРТАЦИИ. Диссертация содержит 15! страниц машинописного текста и состоит из введения, двух глав и списк; литературы из 48 наименований.