Введение к работе
;;----, . :
Актуальность темы.'""'"
В теории групп и смежных с ней дисциплинах очень важное значение имеют группы Шевалле. В свою очередь, ти группы порождаются длинными и короткими корневыми унипотентными элементами. Отсюда происходит немалый интерес к'понимапиго"струтг,уі подгрупп, которые ими когут быть порождены. Так, до сих пор полностью не решена проблема описания неприводимых подгрупп, порожденных корневыми подгруппами и елементами. и" С одной стороны,"геометрия длинных корневых подгрупп дсста-' точно' хорошо' изучена. -В'результате многочисленных работ, па-'чиная с [1], были описаны неприводимые подгруппы, порожденные -длинными корневыми1 подгруппами и'лементами. "Для классических групп это описание завершено в [2] - [б]. Для исключительных — в [б] - [8].
Ключевым моментом в изучении неприводимых подгрупп и в другихклассификационных'задачах явилось описание подгрупп, порожденных парой длинных корневых подгрупп (см. [9]). Впоследствии 'этот факт часто передонаэывался (см. {4], [б], [10]) и нашел применение при решений многих вопросов(си. по атому поводу обзор [11] и ' последние исследования по fc-корневых подгруппам в [1?,] - Г14ІУ
С другой стороны, ситуация с короткими корневыми подгруппами совершенно иная. Известно лишь описание неприводимых подгрупп, порожденных короткими корневыми подгруппами; в случае -классических групп (см. [15],'[16]).
'" В данной диссертации делается следующий шаг в этом напра
влении. А именно, классифицируются пары подгрупп, порожденные
короткими корневыми подгруппами и описываются орбиты группы
Шевалле, действующей одновременным сопряжением на таких па
рах..!;!.:'''- : -''"-г '.;- . ...'.,'.-. .; ; і- ;
- i-
Ha примере ортогональной группы в диссертации демонстрируется как на основе полученной классификации можно описать неприводимые подгруппы^ порожденные, короткими корневыми подгруппами. При втом метод и техника доказательства совершенно не зависят от геометрии данной группы и могут быть использованы при описании неприводимых подгрупп в любой группе Шевалле. В втом состоит главное отличие данной работы от предшествующих работ, которые опирались на специфические свойства, связанные с представлениями конкретных групп.
В перспективе полученное описание, подобно аналогичному описанию для пар длинных корневых.лодгрупп, может сыграть решающую роль при решении разного рода задач,, связанных с порождениями корневыми подгруппами и их обобщениями, в группах типа
^iiCcii..[G],[ll],[17],[12]). , ,.,.., ; ..,, . .,,
Цель работы.
Описать подгруппы, порожденные парой коротких корневых уни-потентных:подгрупп в,группах Шевалле типа B|,Cj и Р<; получить аналогичное описание дляпар, состоящих из длинной и короткой корневых подгрупп в группе Шевалле типа Gj. На основе получен-:тт*х классификаций развить методы и технику описания неприводимых подгрупп, порожденных короткими корневыми подгруппами.
Общая методика исследования. , \
Используется аппарат теории групп Шевалле, также применя
ются-общие методы линейной алгебри, проективной геометрии и
теории абстрактных групп. ;
Научная новизна. . .;,-.-.. .. . "; -.; Ш
Все основные результаты диссертации являются новыми.
-Б -
Теоретическая и практическая денность.
Работа носит теоретический характер. Ее методы и результаты иогут быть испсльзовглш в вопросах изучения порождений групп, описании неприводимых подгрупп в группах Шевалле и других вопросах, связанных со строением групп Шевалле над произвольный полем.
Апробация работы.
Результаты работы докладывались на совместном семинаре лаборатории алгебраических методов ПОМИ АН РФ и кафедры высшей алгебры и теории чисел СПбГУ, на конференции в Обервольфе (Германия) и обсуждались в школе-семинаре на Крите (Греция).
Публикации.
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [N1], [Н2],,[НЗ].
Структура п объем роботы.
Диссертация состоит из введения и трех глав, подразделенных на 13 параграфов, ее объем составляет 72 ТеХ-страницы. Библиография содержит 46 наименований.
Содержание; работы