Введение к работе
АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕШ. Хорошо известно, что гомоморфизмы абелевой группы А в абелеву группу В сами образуют абелеву группу Нат(А.В), называемую группой гомоморфизмов (см. [13, глава VIII). Группа Нот как основной функтор широко изучалась Картаном и Эй-ленбергом [23. Тот факт, что гомоморфизмы образуют группу Нот оказался исключительно глубоким. Обнаружилось, что группы гомоморфизмов обладают многими замечательными свойствами и могут быть использованы в различных задачах теорий абелевых групп, колец и модулей.
Большое внимание уделялось алгебраическому строению группы гомоморфизмов. Однако точное строение группы Нот(А.В) известно лишь в некоторых случаях. Например, если А - периодическая группа или если В - алгебраически компактная группа, то группа Нот(А,В) - алгебраически компактна [13. Один из основных случаев, когда В пе имеет кручения, еще мало изучен. Даже для группы В ранга 1 описание строения группы Нот(А,В) представляет собой трудную задачу [1, проблема 303. Вопрос о строении группы гомоморфизмов Нот(А,В) ставился в самых различных видах. Исследовались также гомологические, топологические и иные ее свойства.
Мало внимания однако уделялось тому обстоятельству, что группа Нот(А,В) естественным образом является левым Е(В)-модулем и правым Е(А)-модулем над кольцами эндоморфизмов группы В и А соответственно. Говоря точнее, Нот(А,В) есть Е(В)-Е(А)-бимо-дуль. Поэтому возможен модульный подход к изучению группы гомоморфизмов. Многие задачи приводят к необходимости рассмотрения группы Нот(А,В) как модуля над кольцами эндоморфизмов. Так, в связи с известной задачей о вычислении проективной размерности абелевой группы над ее кольцом эндоморфизмов [1, проблема 123 возникает вопрос о проективности Е(В)-модуля Нот(А.В) (см. [33). Е(В)-модуль и Е(А)-модуль Нот(А.В) играют исключительно важную роль при отыскании эквивалентностей или двойственностей между различными категориями абелевых групп и категориями модулей над кольцами эндоморфизмов [4 - 73. Модульные свойства группы Нот(А,В) используются в процессе решения и многих других задач.
Следует признать, что имеется лишь небольшое количество сведений о Е(В)-модуле и Е(А)-модуле Hom(A.B) . Изучение этих модулей интересно само по себе. Другая причина изучения этих модулей заключается в том, что оно дает содержательную информацию как о группе Нот(А,В) , так и о самих группах А, В , позво-
- 4 -ляет выделить новые классы групп и обнаружить различные связи между ними. Концентрируя внимание на группе гомоморфизмов Нот(А.В) как модуле, мы получаем возможность использовать мощные теоретико-кольцевые и теоретико-модульные методы, которые позволяют получить в этом направление новые результаты.
Наконец, необходимо отметить следующее важное обстоятельство. Изучение группы Нот(А,В) как Е(В)-модуля и Е(А)-модуля объединяет такие классические направления в теории абелевых групп и их колец эндоморфизмов, как исследование групп как модулей над их кольцами эндоморфизмов и исследование самого кольца эндоморфизмов как левого или правого модуля над самим собой. Действительно, при A = Z, где Z - кольцо целых чисел, существует изоморфизм левых Е(В)-модулей Hom(Z.B) = В, а при А = В имеем Hom(A.A) = Е(А).
В настоящей работе развивается модульный подход к изучению группы гомоморфизмов Нот(А,В) . Исследуются абелевы группы А и В такие, что Нот(А.В) является инъективным левым модулем над кольцом эндоморфизмов Е(В) группы В или инъективным правым модулем над кольцом эндоморфизмов Е(А) группы А. Хорошо известно фундаментальное значение инъективных объектов в математике. Инъектив-нооть (наряду с проективностью) является важнейшим понятием теории колец и модулей. Инъективность и существование инъективных оболочек были открыты Бэром [83. Важность для теорий абелевых групп и колец эндоморфизмов круга задач, связанных с понятием инъективности, подчеркивает постановка проблем 12, 29 и 84(г) в книгах [1, 93.
В своей известной работе [103 Ричмен и Уокер описали те абелевы группы, которые являются инъективными модулями над своими кольцами эндоморфизмов. С другой стороны, Рангасвами [113 выяснил когда кольцо эндоморфизмов редуцированной абелевой группы само-инъективно справа, т.е. является инъективным правым модулем над самим собой. Позже А.В. Иванов [123 существенно расширил этот результат. Он охарактеризовал произвольные абелевы группы, кольца эндоморфизмов которых самоинъективны слева или справа. Эти статьи Ричмена и Уокера, Рангасвами, Иванова можно отнести к указанным выше двум направлениям в теории колец эндоморфизмов.
В данной работе значительно развиваются и обобщаются исследования Ричмена и Уокера, Рангасвами, Иванова. Описываются абелевы группы А и В такие, что группа гомоморфизмов Нот(А,В) является инъективным левым Е(В)-модулем или инъективным правым
- 5 -Е(А)-модулем. При этом одновременно в процессе доказательства находится строение инъективного Е(В)-модуля Hom(A,B) . Прежде характеризуются произвольные абелевы группы А и В , для которых группа Нот(А.В) алгебраически компактна. Это объясняется тем, что любой инъективный модуль алгебраически компактен как абелева группа (см. замечания в конце главы VII книги Ш). Теорема Ричмена и Уокера [10] приводится в 1, поскольку мы неоднократно используем ее. Что касается теорем А.В.Иванова С123 об абелевых группах с самоинъективными слева кольцами эндоморфизмов и Рангасвами [11] о редуцированных абелевых группах с самоинъективными справа кольцами эндоморфизмов, то они могут быть выведены из результатов настоящей работы (см. 4 и 5).
МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ. В работе используются разнообразные сведения об абелевых группах, группах гомоморфизмов и кольцах эндоморфизмов, а также кольцах и модулях, особенно инъективных модулях. Применяются методы теорий абелевых групп, колец и модулей.
ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Описать абелевы группы А и В , для которых группа гомоморфизмов Нот(А,В) является инъективным левым модулем над кольцом эндоморфизмов Е(В) группы В или инъективным правым модулем над кольцом эндоморфизмов Е(А) группы А .
НАУЧНАЯ НОВИЗНА. Все результаты диссертации являются новыми. Основными результатами работы можно считать следующие:
-
Найдены условия, при которых группа Нот(А,В) является алгебраически компактной группой.
-
Описаны абелевы группы А и В , для которых группа гомоморфизмов Нот(А.В) является инъективным левым Е(В)-модулем.
-
Найдено строение инъективного левого Е(В)-модуля Нот(А,В) для произвольных абелевых групп А и В .
-
Охарактеризованы абелевы группы А и В такие, что Нот(А,В) - инъективный правый Е(А)-модуль. Установлены связи между вопросом об инъективности Е(А)-модуля Нот(А,В) и вопросом о плоскостности группы А как Е(А)-модуля.
ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Работа имеет теоретическое значение. Результаты данной работы могут быть использованы при изучении групп гомоморфизмов абелевых групп и модулей, колец эндоморфизмов абелевых групп и модулей, абелевых групп как модулей над своими кольцами эндоморфизмов.
АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Основные результаты диссертации были представлены на симпозиуме "Абелевы группы" (Бийск, 1994), на между-
народной алгебраической конференции (Санкт-Петербург, 1997), докладывались на международной конференции "Всесибирские чтения по математике и механике" (Томск, 1997), неоднократно обсуждались на алгебраических семинарах Томского государственного университета. ПУБЛИКАЦИИ. По теме диссертации опубликовано 4 работы:
-
Крылов П.А., Пахомова Е.Г. Абелевы группы как инъективные модули над кольцами зндоморфизмов//Симпозиум Абелевы группы: Тезисы выступлений участников. Бийск: НИЦ БиГПИ, 1994. С. 15-16.
-
Пахомова Е.Г. Группа Нот(А.В) как инъективный модуль над кольцами зндоморфизмов//Симпозиум Абелевы группы: Тезисы выступлений участников. Бийск: НИЦ БиГПИ, 1994. С. 21.
-
Крылов П.А., Пахомова Е.Г. Исследование группы Нот(А.В) как инъективного Е(В)-модуля//Абелевы группы и модули. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1996. Вып. 13-14. С. 132-169.
4. Пахомова Е.Г. Об инъективности Нот(А.В) как Е(В)-моду-
ля//Межд. алгебр, конф. СПб., 1997. С. 253-254.
В совместных работах постановка задачи и выбор метода исследования принадлежат научному руководителю. Диссертанту принадлежат формулировки и доказательства результатов.
СТРУКТУРА И ОБЪЁМ РАБОТЫ. Диссертация выполнена на 86 страницах машинописного текста и состоит из введения и двух глав. Библиография содержит 29 наименований.