Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Предварительные сведения и результаты 12
1.1 Кольца и поля 12
1.2 Теория представлений 14
1.3 Групповые кольца 16
Глава 2. Центральные единицы целочисленных групповых колец групп диэдра и близких к ним групп 20
2.1 Группы диэдра 20
2.2 Описание групп центральных единиц целочисленных групповых колец групп диэдра 25
2.2.1 Группа диэдра D\Q 25
2.2.2 Группа диэдра D\% 29
2.2.3 Группа диэдра D24 34
2.2.4 Группа диэдра Z)2o 39
2.3 Квазикватернионные группы 48
2.4 Обобщенные квазидиэдральные группы 52
2.5 Связь с циклическими группами 61
Глава 3. Центральные единицы целочисленных групповых колец метациклических групп Фробениуса 63
3.1 Ранги групп единиц целочисленных групповых колец метациклических групп Фробениуса 63
3.2 Описание группы центральных единиц целочисленного группового кольца группы Фробениуса 70
Библиография 77
- Теория представлений
- Описание групп центральных единиц целочисленных групповых колец групп диэдра
- Обобщенные квазидиэдральные группы
- Ранги групп единиц целочисленных групповых колец метациклических групп Фробениуса
Введение к работе
Актуальность, темы. Диссертационная работа посвящена изучению мультипликативной структуры групповых колец конечных разрешимых групп.
В изучении групп центральных единиц (равносильно, центров групп единиц) целочисленных групповых колец достигнут определённый прогресс.
В 1940 году была опубликована статья Хигмана „The units of group rings" [23], в которой была построена теория групп единиц конечных абелевых групп. Результаты этой работы определили развитие теории единиц групповых колец и нашли свое применение в других областях.
Р. Ж. Алеев в своей докторской диссертации [2] перенес хигманову теорию центральных единиц на группы центральных единиц целочисленных групповых колец произвольных конечных групп, и эти результаты активно используются в данной работе. Так как группа центральных единиц совпадает с центром группы всех единиц и полные описания групп всех единиц целочисленных групповых колец получены лишь для некоторых групп небольшого порядка, то получение информации о центре этой группы — важная часть информации о группе всех единиц. Дополнительную значимость этому придает результат [18, Теорема 3.7], который утверждает, что в большинстве случаев на центре заканчивается верхний центральный ряд группы единиц.
В [2] построена теория центральных единиц целочисленных групповых колец групп PSL{2, 2П), описаны группы центральных единиц для знакопеременных групп Л5 и А6, циклических групп порядков п ^ 10 и п — 12 и для линейной группы PSL(2,16).
Усилиями Р. Ж. Алеева, О. В. Перавиной и О. В. Митиной в [6] и [16] были исследованы группы центральных единиц для групп PSL(2,q), где q нечетно.
За последнее время Р. Ж. Алеев и О. В. Митина [4] исследовали группы центральных единиц для групп PGL(2,q), где q нечетно. Р. Ж. Алеев, В. В. Соколов и А. В. Каргаполов [5], [14] исследовали группы центральных единиц для знакопеременных групп.
В работе [25] рассматриваются группы центральных единиц конечных ниль-потентных групп. Таким образом, группы центральных единиц разрешимых ненильпотентных групп не подвергались тщательному изучению.
Важнейшей характеристикой группы центральных единиц является ее ранг. Р. Ж. Алеевым и его учениками получены эффективные формулы для вычисления рангов центральных единиц для циклических групп и групп PSL(2,q), PGL(2, q), зависящие от q. В работе [19] указана формула для вычисления ранга группы центральных единиц целочисленных групповых колец конечных абеле-вых групп. Отметим, что у Р. Ж. Алеева в [2] вычисление ранга выполняется с использованием таблиц характеров соответствующих групп, а метод Сегала [26] и Ферраза [21] для вычисления ранга требует изучения классов сопряженных элементов соответствующих групп.
Целью работы является изучение групп центральных единиц целочисленных групповых колец для следующих групп:
группы диэдра D2n = (a, b \ а2 = Ъп = 1, aba — b~l), где п > 2;
квазикватернионные группы Q4n — (a,b\ а2 — bn, a~lba = b~l) , где n ^ 2 и neW,
обобщенные квазидиэдральные группы
QD8n = {a, b I а2 = ЪАп = 1, aba = b2n~l), где п ^ 2 и п Є N;
метациклические группы Фробениуса FTO>n;(7 = (b)m X (а) с ядром (Ь) порядка т и дополнением (а) порядка п.
В случае, когда п не является степенью 2, группы )2п, Q^n, QD8n являются разрешимыми ненильпотентными.
Методы исследования. Основными методами исследования являются методы теории конечных групп, теории характеров и теории чисел.
Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми.
Теоретическая и практическая ценность. Диссертационная работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы в теории групп и ее приложениях.
Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на международной школе-конференции по теории групп (Нальчик, 2006 г.), на международной конференции „Алгебра и ее приложения", посвященной 75-летию В.П. Шункова (Красноярск, 2007 г.), на 38-й и 39-й Молодежной конференции „Проблемы теоретической и прикладной математики" (Екатеринбург, 2007 и 2008 гг.), на международной школе-конференции по теории групп (Челябинск, 2008 г.), на международной конференции „Мальцевские чтения" (Новосибирск, 2006 и 2008 гг.).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в [27]- [35].
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы из 35 наименований. Общий объем диссертации составляет 79 страниц.
В главе 1 диссертации приводятся используемые обозначения и вспомогательные результаты.
Теория представлений
Актуальность, темы. Диссертационная работа посвящена изучению мультипликативной структуры групповых колец конечных разрешимых групп.
В изучении групп центральных единиц (равносильно, центров групп единиц) целочисленных групповых колец достигнут определённый прогресс. В 1940 году была опубликована статья Хигмана „The units of group rings" [23], в которой была построена теория групп единиц конечных абелевых групп. Результаты этой работы определили развитие теории единиц групповых колец и нашли свое применение в других областях. Р. Ж. Алеев в своей докторской диссертации [2] перенес хигманову теорию центральных единиц на группы центральных единиц целочисленных групповых колец произвольных конечных групп, и эти результаты активно используются в данной работе. Так как группа центральных единиц совпадает с центром группы всех единиц и полные описания групп всех единиц целочисленных групповых колец получены лишь для некоторых групп небольшого порядка, то получение информации о центре этой группы — важная часть информации о группе всех единиц. Дополнительную значимость этому придает результат [18, Теорема 3.7], который утверждает, что в большинстве случаев на центре заканчивается верхний центральный ряд группы единиц. В [2] построена теория центральных единиц целочисленных групповых колец групп PSL{2, 2П), описаны группы центральных единиц для знакопеременных групп Л5 и А6, циклических групп порядков п 10 и п — 12 и для линейной группы PSL(2,16). Усилиями Р. Ж. Алеева, О. В. Перавиной и О. В. Митиной в [6] и [16] были исследованы группы центральных единиц для групп PSL(2,q), где q нечетно. За последнее время Р. Ж. Алеев и О. В. Митина [4] исследовали группы центральных единиц для групп PGL(2,q), где q нечетно. Р. Ж. Алеев, В. В. Соколов и А. В. Каргаполов [5], [14] исследовали группы центральных единиц для знакопеременных групп. В работе [25] рассматриваются группы центральных единиц конечных ниль-потентных групп. Таким образом, группы центральных единиц разрешимых ненильпотентных групп не подвергались тщательному изучению. Важнейшей характеристикой группы центральных единиц является ее ранг. Р. Ж. Алеевым и его учениками получены эффективные формулы для вычисления рангов центральных единиц для циклических групп и групп PSL(2,q), PGL(2, q), зависящие от q. В работе [19] указана формула для вычисления ранга группы центральных единиц целочисленных групповых колец конечных абеле-вых групп. Отметим, что у Р. Ж. Алеева в [2] вычисление ранга выполняется с использованием таблиц характеров соответствующих групп, а метод Сегала [26] и Ферраза [21] для вычисления ранга требует изучения классов сопряженных элементов соответствующих групп. Целью работы является изучение групп центральных единиц целочисленных групповых колец для следующих групп: группы диэдра D2n = (a, b \ а2 = Ъп = 1, aba — b l), где п 2; квазикватернионные группы Q4n — (a,b\ а2 — bn, a lba = b l) , где n 2 и neW, обобщенные квазидиэдральные группы QD8n = {a, b I а2 = ЪАп = 1, aba = b2n l), где п 2 и п Є N; метациклические группы Фробениуса FTO n;(7 = (b)m X (а) с ядром (Ь) порядка т и дополнением (а) порядка п. В случае, когда п не является степенью 2, группы )2п, Q n, QD8n являются разрешимыми ненильпотентными. Методы исследования. Основными методами исследования являются методы теории конечных групп, теории характеров и теории чисел. Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми. Теоретическая и практическая ценность. Диссертационная работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы в теории групп и ее приложениях. Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на международной школе-конференции по теории групп (Нальчик, 2006 г.), на международной конференции „Алгебра и ее приложения", посвященной 75-летию В.П. Шункова (Красноярск, 2007 г.), на 38-й и 39-й Молодежной конференции „Проблемы теоретической и прикладной математики" (Екатеринбург, 2007 и 2008 гг.), на международной школе-конференции по теории групп (Челябинск, 2008 г.), на международной конференции „Мальцевские чтения" (Новосибирск, 2006 и 2008 гг.). Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в [27]- [35]. Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы из 35 наименований. Общий объем диссертации составляет 79 страниц. В главе 1 диссертации приводятся используемые обозначения и вспомогательные результаты. Глава 2 диссертации посвящена изучению групп центральных единиц целочисленных групповых колец диэдральных и близких к ним групп. Результаты параграфов 2.1, 2.3, 2.4 и 2.5 опубликованы в [33], а результаты параграфа 2.2 депонированы в [27]. В параграфе 2.1 доказывается следующая теорема, в которой получена формула для вычисления ранга групп центральных единиц целочисленных групповых колец групп диэдра и указан вид центральных единиц.
Описание групп центральных единиц целочисленных групповых колец групп диэдра
Ясно, что если силі и Wrfi алгебраически сопряжены, то соответствующие характеры Xk и Xd алгебраически сопряжены. С другой стороны, ик\ = 2 cos = (п + Сиk алгебраически сопряжен todl = 2 cos = (n/d + Qjd, где d = (k, n) — наибольший общий делитель чисел кип. Поэтому максимальное число попарно алгебраически несопряженных характеров Хк равно числу делителей d числа п, которые меньше [тг]. Отсюда + v{n) — 1 при нечётном п, 4 + и{п) — 2 при чётном п. jIrr(D2n, alc)\ = По лемме 1.4 для любого делителя d ф. {1,2} числа п Следовательно, при нечётном п имеем ХЄІгг(Огп, ale) d\n, 1ф\ = (п-1)-Кп)-1)=[]+1-Кп). Аналогично при чётном п имеем r(U{Z{ZD2n))) = Yir{U{I(Q{x))))= Г-К")-2) ХЄІгг(02п, ale) rfn, d l,2 = 1(п-2)-(и(п)-2)=[ ]+1-и(п). Первое утверждение доказано. Докажем второе утверждение. Найдем порождающие элементы группы V. Пусть сначала п — 2т, + 1. Рассмотрим в С-пространстве CD2n два упорядоченных базиса : Y(D2n) = (уо,Уи Ут+г), где у0 = г/(1) = 1, ух = у(Ь),..., ут = у(Ьт), Ут+і у(а) (базис из классовых сумм для центра комплексной групповой алгебры СДзп); E(D2n) = (е0,еі,... ,em+i), где е0 = е( о), ei = e(V i), е2 = e(xi), ..., em+1 = e(xm) (базис из минимальных центральных идемпотентов центра комплексной групповой алгебры CD2n) Пусть T(D2n) и S(D2n) — матрицы перехода от базиса Y(D2n) к E{D2n) и от базиса E(D2n) к Y(D2n) соответственно, т. е. По формулам из пункта 1 леммы 1.17 получаем /1 1 4 \ /1 2 „ \ T(D2n) = — 1 1 2wfcj- и S(D2n) = 1 2 -n . (2.1) її -і 0 / \1 и, ,- 0 J Здесь матрицы записаны в сокращенной форме, по типу таблиц характеров, в частности, в матрице T(D2n) блок во второй строке является квадратным блоком порядка гп. Пусть и — произвольный элемент из V. Тогда U = 70І + ЪУ\ Н Н 7т+1?Ут+1 = /30е0 + 1- /Wiem+i, где коэффициенты 7 целые, a / являются обратимыми элементами колец целых соответствующих полей характеров (по леммам 1.23, 1.29 и теореме 1.22). По формулам из пункта 2 леммы 1.17 получаем /?1 является обратимым элементом кольца целых поля характеров Q(f/ i). Поэтому /Зі Є {—1,1}. Так как / = 1, то / = 1 и Tm+i = 0, что доказывает второе утверждение для нечётного п. Пусть теперь п = 2т. Рассмотрим два упорядоченных базиса С - пространства CD2n: Y(D2n) = (уо,Уі, - - . ,Ут+2), ГДЄ у0 = у(1) = 1, ух = у(6), . . . , ут = у(&Ш), ym+i = у(а), Ут+2 = у(аЬ) (базис из классовых сумм для центра комплексной групповой алгебры СДгп); (базис из минимальных центральных идемпотентов центра комплексной групповой алгебры CD2n) Пусть T(D2n) и S(D2n) — матрицы перехода от базиса Y(D2n) к E(D2n) и от базиса E(D2n) к Y(D2n) соответственно, т. е. По формулам из пункта 1 леммы 1.17 получаем где коэффициенты 7t целые, a ft являются обратимыми элементами колец целых соответствующих полей характеров (по леммам 1.23, 1.29 и теореме 1.22). По формулам из пункта 2 леммы 1.17 получаем ft, ft,ft являются обратимыми элементами колец целых полей характеров Q(V i), Q(V;2), Q ) соотвественно. Поэтому ft,ft,ft {lj—1}- Поскольку 7m+l + 7m+2 = (ft - ft) ЯВЛяеТСЯ цеЛЫМ ЧИСЛОМ И / = 1, ТО ft = 1. Так как 7m+i = _7m+2 = 2k (ft ft) является целым числом, то / = ft и 7m+l = 7т+2 = 0. Итак, для произвольного элемента и из V м = 7ol+7i2/i + -+7тУт- Теорема доказана. П Следствие 2.1. Группа центральных единиц целочисленного группового кольца группы диэдра Х п тривиальна только при п Є {2, 3, 4, 6}. Доказательство. Заметим, что п 2и{п) при нечетном п 3, т.к. делителями нечетного п не являются i четных чисел и число п — 2 и и(п) n—l — Y- . Рассмотрим случай n = 2т + 1. Выясним, когда г = т + 1 — и{2т + 1) = 0. Так как и{2т + 1) Щ - т + 1 при 2т +1 3, то г 0 при п 3. В случае п = 3 получаем г = 0. Пусть п = 2?тг = 2 /, где t 1 и НОД(2,/) = 1. Выясним, когда г = 2t 1l + 1 — {t + 1) (/) = 0. Так как и{1) при / 3, и t + 1 2і для натурального t, то г 0 при I 3. В случае I = 1 получаем г = 2і-1 + 1 - (і + 1) = 2t_1 - t 0, при і 2 и п 4. Если n = 2 или n = 4, то г = 0. В случае / = 3 получаем г = 3-2 +1-2( +1) = 3-2t_1-2-l 3 —2 —1 0, при t 1 и п 6. Если п = 6, то г = 0. Следствие доказано. Вычислим согласно теореме 2.1 ранги групп центральных единиц целочисленных групповых колец групп диэдра Din Для п 20:
Обобщенные квазидиэдральные группы
Пусть u — произвольный элемент из V. Тогда где коэффициенты 7t целые, а / являются обратимыми элементами колец целых соответствующих полей характеров (по леммам 1.23, 1.29 и теореме 1.22). По формулам из пункта 2 леммы 1.17 получаем
ТаккакС0 = 1; С/ =2,j Є {1,..., n-1}; Cn = 1; Cn+i = я; Cn+2 = n, то по определению V и лемме 1.20 є (и) = 7о + 2тН Ь27п-і+7?г + п7п+і + "7п+2 = 1 Из соотношений (2.31) и (2.32) получаем являются обратимыми элементами колец целых полей характеров Q( i) QC02), Q ) соответственно. Поэтому /ЗІ Є {±1} и /?2,/?3 Є {±1, =Ьг}. Поскольку 7n+i + 1п+2 — (/Зо Pi) является целым числом и ро = 1, то /?! = 1 и 7n+i + Тп+2 = 0. Так как уп+1 - — (/ - /) является целым числом, ТО р2= Р3Я 7п+1 = 7п+2 = 0. Таким образом, для произвольного элемента и из V получили, что и = 7о1 + 7іУі 1 ІпУп- Теорема 2.6 доказана. D Следствие 2.2. Группа центральных единиц целочисленного группового кольца группы Qin тривиальна только при п — 2 и п — Z. Доказательство. Следует из доказательства случая п — 2т следствия 2.1. 2.4 Обобщенные квазидиэдральные группы В этом разделе QD8n = (a, b а2 = Ь4п = 1, aba — Ь2п 1) — обобщенная квазидиэдральная группа порядка 8п, где п 2 и п Є N, (b) — максимальная циклическая подгруппа QD%n порядка An. Положим М = {n, s, 2n + s s — 1,..., п — 1} и М = {0,2п} для четного п и М = {s, 2п + s s = 1,..., п — 1} и М = {0, п, 2п, Зп} для нечетного п . Предложение 2.2. Таблица характеров группы QDgn, где п четно, имеет вид cos r2, если к четно, гдеКзеМ uukj={ . 4;; 2г sin - р, если kj нечетно. Доказательство. Перечислим классы сопряженных элементов группы QD&n: С0 = {1}; С,- = {V, Ь 1Щ, где jj М; С2п = (211}) Со = {а 1-") і Є {1,..., 2n}}; d = {ab2t n +1 ] і Є {1,..., 2n}}. Из теоремы (47.8) и следствия (47.15) в [15, 47] следует, что существует 4 различных линейных представления и 2п — 1 различных неприводимых представлений степени 2. Матрицы представлений степени 2 имеют вид: 2fsin2 2, если A;j нечетно, Пусть -фо = lfj. Осталось вычислить значения фі,ф2,Фз-Положим А = фв(ЬУ = ф8{Ьі), (JLS = Ф$(а), при s Є {1, 2, 3}. Тогда As Є {Qn \ j Є {1,..., An}} и/х, Є {-1,1}. По первому соотношению ортогональности (лемма 1.8) для se{l,2,3} получим: J2 Ф (дШ9 1) = 1 + 2 АІ + А " + 2n//s(l + As) = 0. (2.33) Пусть Лі = 1. Тогда 2 + 2(2п — 1) + An i = 0, откуда /Лі — —1. Теперь для se {2,3}: J2 (д)Фі(д-1) - 1 + 2J24 + Af - 2п//я(1 + Ae) = 0. (2.34) geQDan JGM Из соотношений (2.33) и (2.34) получаем 4n/is(l + Xs) = 0, откуда A2 = Аз = —1. По второму соотношению ортогональности (лемма 1.8) получаем 0 = Sxeirr(QD8n) () (1) = 1-1 + / 2 + / 3, откуда /i2 = -/i3. Пусть М2 = 1 и /Лз = — 1. Предложение доказано. Предложение 2.3. Таблица характеров группы QD&n, где п нечетно, имеет вид где k,j Є М и u)kj = 2 cos - -, если /cj четно, 2i sin -, если кj нечетно. Доказательство. Перечислим классы сопряженных элементов группы QDgn: Со = {1}; С,- = {V, Ь -1Щ, где j Є М- Csn = {b}, где s Є {1,..., 3}; С, = {об2 1-»)-»- 11 Є {1,..., 2п}}, где s Є {0,..., 3}. Из теоремы (47.8) и следствия (47.15) [15, 47] следует, что существует 4 различных линейных представления и 2п — 2 различных неприводимых представлений степени 2. Матрицы представлений степени 2 имеют вид: V n -(2n-l)fc ) . где к Є М. X (а) = (г 0) . х (б) Пусть фа, где s Є {0,..., 7}, — характеры линейных представлений, а Хк, где к Є М, — характеры представлений степени 2. Тогда Хк{&) — 0 для любого к. Вычислим значения /кі\ г з , Aj{2n-i) /2со82і?. kJ четно, Х (И = С4п + С4„ = U. . Ski , те кем. {2гsin - -, «j нечетно, Пусть -0о = 1G- Осталось вычислить значения -0а, где s = 1,..., 7. Положим Лі = фа{ЬУ = ), /is = s(a), где 5 Є {1,...,7}. Тогда As Є {Cn j Є {1,..., 4п}} и/ вє{-1,1}. По первому соотношению ортогональности (лемма 1.8) для зє{1,..., 7} получим: М9)М9 1) = l + 2j24 + K + n + n + nMl + \s + \2s + \3s)=0. (2.35) geQD&n jeM Пусть Лі = 1. Тогда 4 + 2(2n -2) + 4n/j,i = 0, откуда (л-і = —1. Теперь для se{2 7}: J2 МдШд 1) = i+2Y/4+K+ Zn+ n-n(is(i+As+\2s+Xl) = o. (2.36) geQD8n jeM Из соотношений (2.35) и (2.36) получаем 2nfis(l + Xs + Л + Af) = 0, откуда As Є {-1, -г, і}. Пусть Л2 = Аз = -1, Л4 = А5 = г, А6 = А7 = -і и ц2 = № = Ha = 1, / і = А з = Ць = 7 = — 1- Предложение доказано. D Теорема 2.7. Группа центральных единиц целочисленного группового кольца группы QDsn имеет вид U{Z{ZQD%n)) = (-1) х Z(QDSn) х V, где V — прямое произведение циклических групп бесконечного порядка, и: 1) ранг группы U(Z{7LQDzn)) равен г = 2п + 1 — [] — (4п), 2) группа V порождается элементами вида ЪУ ) г е Ъ целые числа. jeMvM Доказательство. По теореме 1.24 группа центральных единиц целочисленного группового кольца группы QD$n имеет вид U(Z(ZQDBn)) = (-1) х Z(QD8n) х V, где V — прямое произведение бесконечных циклических групп. В силу теорем 1.22 и 1.26 имеем v(U(Z(ZQD8n))) = r(U(I(Z(QQD8n)))) = (tf(/(Q ( )))). XGlrr(QZJ87., « с) Воспользуемся таблицами характеров из предложений 2.2 и 2.3. Линейные характеры ф6 имеют значения {±1} или {±1,±г} и для них ранг группы [/(/( №,))) Равен 0. Ясно, что если и ы и cJdi алгебраически сопряжены, то соответствующие характеры Хк и Xd алгебраически сопряжены. Заметим, что для четного к = 2s Wki = 2cos = 2cos— = Qn + ( алгебраически сопряжен с и ц = 2 cos Ц — Ctn/d + C n/d где (s п)- Поэтому максимальное число попарно алгебраически несопряжёпных действительных характеров Хк равно числу делителей d числа 2п, которые меньше п.
Ранги групп единиц целочисленных групповых колец метациклических групп Фробениуса
Таким образом, для произвольного элемента и из V получили, что и = 7о1 + Теорема 2.7 доказана.
Следствие 2.3. Группа центральных единиц целочисленного группового кольца группы QD$n тривиальна только при п = 2 и п = 3. Доказательство. Как и в следствии 2.1, п 2и(п) при нечетном п 3. Рассмотрим случай n = 2m + 1. Выясним, когда r = 4m + 3-m- i/(4(2m + 1)) = Зт + 3 - Зг/(2т + 1) 0. Так как и (2т + 1) - т + 1 при 2т + 1 3, то г 0 при п 3. В случае п — 3 получаем г = 0. Теперь п = 2т = 2 /, где t 1 и НОД(2, /) = 1. Выясним, когда г = 3 2 -1/ + 1 - (i + 3)і/(0 0. Так как I и(1) при г 3, и 2і $s і + 1 9 для натуральных і, то г 0 при I 3. В случае/ = 1 получаем г = 3-2t_1 + l-(t + 3) = 3-2 -1-n-2 3t —t —2 0 при і 1 и п 2. Если п = 2, то г = 0. В случае = 3 получаем г = 9-2 _1+l-2(t+3) = 9-2 _1-2t-5 9t—2t—5 0. Следствие доказано. П Пусть — каноническая инволюция на ZG, т. е. \Ylg Gag9) — J2QeGag9 1-Определение. Элемент а из ZG называется симметрическим, если а — а. Лемма 2.14. Пусть А есть конечная абелева группа. Тогда U(ZA) = {—1) х А х V, где V есть прямое произведение циклических групп бесконечного порядка, пороэюденпых симметрическими элементами нормализованной группы единиц V(ZA). Доказательство. Следует из леммы 2.6 [20]. Теорема 2.8. Пусть (Ь) — максимальная циклическая подгруппа порядка п, 2п и An в группах G = D2n, G = Q\n или G = QD8n соотвественно. Тогда согласно лемме 2.14 имеем, U{Z{b)) = (—1) х (b) х V, где V есть прямое произведение циклических групп бесконечного порядка, пороэюденных симметрическими элементами нормализованной группы единиц V(Z(b)). Если G 9 D2n или G = Qin, то U(Z(ZG)) = (-1) х Z(G) х V. В случае G QD8n имеем U{Z{ZG)) = (-1) х Z(G) х VQ, где V0 = Су(Ф) = {v Є V I ф(и) = v} и ф— автюморфизм группы V, определяемый равенством ф{Ъ) =ь2п-\ Доказательство. По лемме 2.14 группа единиц U(Z(b)) = (—1) х (6) х V, где V есть прямое произведение циклических групп бесконечного порядка, порожденных симметрическими элементами нормализованной группы единиц V{Z(b)). Пусть t = \Ь\ и G D2n или G = QAn. По теоремам 2.1 и 2.6 U(Z(ZG)) = (—l)xZ(G) х VQ, где Vo порождается элементами вида Yjj=o 7?1/( ) где 7j — целые числа. Элементы и — Y jLo ЪУ№) являются симметрическими, так как Ясно, что любой элемент и из VQ содержится и в У. Докажем обратное. Пусть и Є V. Обратимость элемента v очевидна, требуется проверить v Є Z(ZG). Положим v = 2jl0ajb , где aj Є Z, тогда v = I0ftjH. Поскольку элемент 61 Следовательно, vg = gv для всех g Є G и г Є Vo, что и требовалось. Пусть теперь G = Q 8n. По теореме 2.7 U(Z(ZG)) = (-1} х Z(G) х Vo, где Vo порождается элементами вида 52ЪУ№) (см- обозначения разд. 2.4). Ясно, что любой элемент и из Vo содержится и в У. Докажем, что если V Є Су{Ф), то и Є Vo для автоморфизма $ группы V, определяемого равенством ф(Ь) = b2n l. Пусть v Є Су(ф). Обратимость элемента v очевидна. Требуется проверить, что v Є Z(ZG). Положим v = Y Lo1 ЩІЇ, ГДС аз Є Z. Тогда 0(и) = Е ауМ2"- . По" скольку ф(у) = v, то ay = o;(2n-i)j- Тогда v = 224V+ - ) + 52 = Е амп jeA jeA JGAUA где при четном п A = {n, s,2n+s \ s Є {1,..., n— 1}} a A = {0,2п}, а при нечетном гг Л = {s, 2n + s s Є {1,..., п — 1}} а А = {О, п, 2п, Згг}. Следовательно, ug = gv для всех д Є G, и w Є Vo, что и требовалось. Теорема 2.5 доказана. Таким образом, зная группу центральных единиц целочисленного группового кольца циклической группы (Ь), мы можем определить группу центральных единиц целочисленного группового кольца группы диэдра D2n, обобщенной группы кватернионов Q±n и обобщенной квазидиэдральной группы QD%n. Пример. По теореме 2.8 и теореме 5.6 [2] получаем:
