Содержание к диссертации
Введение
1. Используемые результаты 13
1.1. Элементарные сведения 13
1.2. Группы с инволюциями 17
1.3. Сведения о конечных простых неабелевых группах 21
1.4. Группы, насыщенные конечными простыми подгруппами 24
1.5. Свободные группы конечного периода 25
2. Группы, насыщенные группами диэдра 27
2.1. Периодические группы, насыщенные группами диэдра 28
2.2. Периодические группы, насыщенные группами диэдра и имеющие вид G = H\K 39
2.3. Существование периодической части в группе Шункова, насыщенной группами диэдра 44
3. Группы, насыщенные конечными простыми неабелевыми группами 46
3.1. Периодические группы, насыщенные Ь2(рп) 47
3.2. Группы, насыщенные конечным множеством групп 53
3.3. Группы Шункова, насыщенные конечными простыми неабелевыми группами 57
Список литературы 68
Публикации автора по теме диссертации 74
- Группы с инволюциями
- Группы, насыщенные конечными простыми подгруппами
- Периодические группы, насыщенные группами диэдра и имеющие вид G = H\K
- Группы, насыщенные конечным множеством групп
Введение к работе
В теории бесконечных групп естественным образом выделились направления связанные с различными условиями конечности. Перечислим некоторые из них: периодичность, локальная конечность, условия обрыва различного рода цепочек подгрупп, конечность определенным образом порожденных подгрупп. Каждое из перечисленных выше условий само по себе или в сочетании с другими представляет собой крупное направление в теории групп. За последние годы в теории бесконечных (периодических) групп решены многие старые проблемы, предложены различные конструкции периодических групп, построено много серий примеров [1-3,10,12,13,20,21,24,26,27,29-33,43,44,62]. Примеры Е.С. Голода, А.И. Созутова, А.В. Рожкова [10,34,36,37] показали, что между классом локально конечных групп и классом всех периодических групп существует бесконечно много промежуточных классов групп с условиями конечности более слабыми, чем локальная конечность. В настоящее время бесконечные группы со слабыми условиями конечности интенсивно изучаются (см. монографии [58,59]).
При описании групп Шункова с условием примарной минимальности (А.К. Шлёпкин [64]) анализировался контрпример с заданными периодическими подгруппами и системой конкретных конечных простых неабелевых подгрупп. Естественно было рассмотреть группы без условий минимальности, но с заданными системами конечных подгрупп. Так появилось понятие насыщенности группы некоторыми системами конечных групп [48].
Группа G насыщена группами из множества групп 9\, если любая конечная подгруппа К из G содержится в подгруппе группы G (возможно совпадающей с К), изоморфной некоторой группе из D\.
Пусть группа G насыщена группами из множества дК и для любой
X є Э\ в G найдется подгруппа L ~ X. В этом случае будем гово-
(\ рить, что G насыщена множеством групп 91, а само множество 9Я
называть насыщающим множеством групп для G.
Как оказалось, насыщенность является естественным обобщением
покрытия группы. Понятие покрытия появилось в начале 60-х годов в
работах П.Г. Конторовича [17,18]. В конце 60-х годов П.Г. Конторо-
вич, А.С. Пекелис и А.И. Старостин стали рассматривать покрытия в
классах бесконечных групп [19]. Некоторый обзор результатов, полу
ченных в данном направлении, можно найти в [19,21]. В начале 80-х
^ годов В.В. Беляев [4] и независимо А.В. Боровик, С. Томас, Б. Хартли
и Г. Шют доказали следующую теорему:
Если локально конечная группа G обладает локальным покрытием, содержащим множество подгрупп лиева типа, ранги которых ограничены в совокупности, то и сама G является группой лиева типа конечного ранга.
Если группа обладает локальным покрытием, содержащим некото
рое множество конечных групп, то она, очевидно, локально конечна, а
л для групп, насыщенных тем же множеством групп, это не всегда справед-
ливо. Примеры периодических не локально конечных групп, насыщенных
заданными множествами конечных групп, хорошо известны. Так группы
Новикова-Адяна В(т,п) для нечетных п [1,2,26,27], насыщены одной
циклической группой порядка п. Примеры периодических групп без ин
волюций, насыщенных группами из множества, состоящего из любого
конечного числа конечных групп без инволюций, дают периодические
произведения [2]. Этот перечень можно существенно расширить приме-
ft рами групп из [29-32]. Бесконечная локально конечная группа не может
быть насыщена подгруппами из конечного множества. То же самое справедливо для групп Шункова с бесконечным числом элементов конечного порядка, так как по [52] они обладают бесконечными локально конечными подгруппами.
В связи с приведенной выше теоремой о локально конечных группах возникает следующий вопрос, вошедший в Коуровскую тетрадь под номером 14.101 [22]:
Верно ли, что периодическая группа, насыщенная конечными простыми группами лиева типа, ранги которых ограничены в совокупности, сама является простой группой лиева типа конечного ранга?
Частичным решениям этого вопроса посвящен ряд работ А.К. Шлёпкина и А.И. Созутова [40,41,49,50,53].
Для того, чтобы понятие насыщенности работало эффективно, необходима достаточно "густая сеть" конечных подгрупп с нетривиальными пересечениями, по которой могла бы распространяться "кристали-зация по насыщенности" до локальной конечности всей группы. В приведённом выше вопросе такая сеть состоит из диэдральных подгрупп, порождённых парами инволюций, и содержащих их конечных простых подгрупп. Здесь большая роль принадлежит простому но фундаментальному факту, что две инволюции в периодической группе всегда порождают конечную подгруппу, которая к тому же достаточно прозрачно устроена — полупрямое произведение циклической подгруппы на подгруппу порядка 2.
Как уже упоминалось, понятие насыщенности связано с известными примерами не локально конечных групп бернсайдова типа. Хорошо известно, что группы В(т,п) достаточно большого нечётного периода, периодические произведения СИ. Адяна и многие группы А.Ю. Оль-
шанского, СВ. Иванова и др. расщепляемы, при этом каждая конечная подгруппа содержится в подходящей компоненте расщепления. В частности, в этих группах нет указанных выше сетей, и с помощью понятия насыщенности возможно лишь изучение компонент расщепления. Как уже отмечено выше, инволюции в периодической группе в некотором смысле мешают её расщеплямости. Если период свободной бернсайдо-вой группы В(т,п) четен, то в ней естественно возникает сеть конечных диэдральных подгрупп. Видимо поэтому путь комбинаторной теории от нечётных периодов к чётным оказался достаточно длинным. Однако за последнее десятилетие получен ряд фундаментальных результатов по группам В(т,п) чётных периодов. Отметим здесь результаты СВ. Иванова, И.Г. Лысёнка и А.Ю. Ольшанского [24,25,29-33,62]. Как оказалось конечные подгруппы в таких группах содержатся в конечных прямых произведениях заданных групп диэдра. Другими словами, бернсай-довы группы достаточно большого чётного периода насыщены прямыми произведениями конечных групп диэдра, взятых в конечном числе.
Изучение произвольных периодических групп с инволюциями фактически началось с работ В.П. Шункова. Благодаря исследованиям П.С. Новикова и СИ. Адяна тогда уже были известны непривычные, можно сказать экзотические свойства свободных бернсайдовых групп нечётного периода п > 4381. Конечные подгруппы этих групп оказались циклическими порядка п, совпадали со своими нормализаторами в группе и попарно пересекались по единичной подгруппе. В частности, каждая из этих подгрупп составляла со всей группой пару Фробениу-са, т. е. была обособленной. Математическая общественность тем самым была подготовлена к необычному поведению произвольных периодических групп. Но в 1967 г. В.П. Шунков неожиданно доказал [54], что периодическая группа с конечной обособленной подгруппой чётного по-
рядка является локально конечной группой Фробениуса. Эта теорема —
предтеча знаменитых результатов о группах с регулярными инволюци-
^ ями. Её доказательство существенно использовало конечность обособ-
ленной подгруппы и конечность подгрупп периодической группы, порож
дённых парой инволюций. Оценив важность последнего свойства, вскоре
В.П. Шунков вводит понятия бипримитивно конечных, сопряжённо би-
примитивно конечных и других классов групп со слабыми условиями
конечности. Необязательно периодическая бесконечная группа называ
ется слабо (сопряженно) бипримитивно конечной, если в ней любая
пара (сопряженных) элементов одного и того же простого порядка по-
^ рождает конечную подгруппу [55], т. е. по данному копируют поведение
инволюций в периодической группе. Если это свойство наследуют все сечения группы по конечным подгруппам, то такая группа называется (сопряженно) бипримитивно конечной. Сейчас эти группы называются также группами Шункова. Подчеркнём, что группа Шункова, порождённая элементами конечных порядков, не обязана быть периодической. Примеры таких смешанных групп существуют уже в классе разрешимых групп [45]. Поэтому для групп Шункова актуален вопрос о расположениях элементов конечных порядков, в частности, составляют ли эле-менты конечного порядка в группе характеристическую подгруппу — периодическую часть?
Под периодической частью T(G) группы G, здесь понимается подгруппа, порожденная всеми элементами конечного порядка из G, при условии, что она периодическая.
Настоящая диссертация посвящена изучению периодических групп и групп Шункова, насыщенных либо группами диэдра, либо заданными
множествами конечных простых неабелевых групп. Основные решаемые
в диссертации вопросы в указанных классах групп:
1) конкретизация строения изучаемых периодических групп;
доказательство локальной конечности некоторых периодических групп;
характеризация локально конечных простых групп лиева ранга 1 в классе периодических групп с помощью понятия насыщенности;
установление в рассматриваемых группах Шункова периодических частей и доказательства их локальной конечности.
Изучение в диссертации периодических групп, насыщенных груп-
^ пами диэдра, с одной стороны продиктовано потребностями характериза-
ции локально конечных простых групп лиева типа в связи с указанным выше вопросом 14.101 из Коуровской тетради. С другой стороны, эти исследования оказались интересными и востребованными в связи с упомянутыми выше направлениями комбинаторной теории групп.
Остановимся подробнее на содержании диссертации. В главе 1 при
ведены известные определения и результаты, использующиеся в доказа
тельстве основных результатов диссертации (главы 2, 3). Часть из них
были получены в процессе работы и приведены с доказательствами.
vV В главе 2 исследованы периодические группы, насыщенные группа-
ми диэдра, или, если говорить в терминах определения насыщенности, группы насыщенные группами из множества <ІН, где 9\ — множество всех различных конечных групп диэдра.
Уточним здесь некоторые определения. Произвольная группа, по
рожденная двумя инволюциями, называется группой диэдра, или диэд
ром, если она к тому же конечна, то конечным диэдром. Будем называть
группу локально конечным диэдром если она является объединением
^ бесконечной возрастающей цепочки конечных диэдров. Эти новые тер-
V*
мины введены в тексте диссертации для того, чтобы избежать длинных и не совсем точных словосочетаний типа "локально конечная локально диэдральная группа".
В главе получены следующие полезные свойства групп, насыщенных группами диэдра:
Лемма 11. Для любой инволюции t Є G централизатор Cc(t) — (локально) конечный диэдр.
Лемма 14. Все силовские 2-подгруппы группы G сопряжены.
Перечислим основные результаты главы 2:
Теорема 2. Периодическая группа ограниченного периода, насыщенная группами диэдра, конечна.
Как показали И.Г. Лысёнок [24] и СВ. Иванов [62] группы В(т,п) для достаточно больших чётных п, не локально конечны и насыщены прямыми произведениями конечных групп диэдра. Теорема 2 указывает, что ограничение на число прямых множителей до одного вместе с условиями ограниченности периода и насыщенности приводит к локальной конечности группы.
Если период группы не ограничен, то насыщенность группами диэдра приводит к следующей конкретизации её строения:
Теорема 3. Если G — периодическая группа, насыщенная группами диэдра и S — её силовская 2-подгруппа, то либо S — группа порядка 2 и G — (локально) конечный диэдр, либо G = ABC = АС В = ВС А = СВА, где А — централизатор некоторой инволюции z из центра S, В = 0(Cg{v)), v — произвольная инволюция из S, отличная от z, и С = 0(Cg{zv)). При этом А — (локально) конечный диэдр, а В, С — (локально) циклические группы.
Существуют ли не локально конечные группы, удовлетворяющие теореме 3, пока не известно.
В группах Шункова изначально дана богатая сеть конечных подгрупп, поскольку в них каждая пара сопряжённых элементов любого простого порядка порождает конечную подгруппу. Этого достаточно для полного определения строения изучаемых групп:
Теорема 1. Периодическая группа Шункова, насыщенная группами диэдра, локально конечна.
Теорема 4. Группа Шункова, насыщенная группами диэдра, обладает периодической частью, которая является (локально) конечным диэдром.
В главе 3 изучаются периодические группы, насыщенные группами из множества Н, где 9 состоит из конечных простых неабеле-вых групп. Естественный вопрос о локальной конечности периодической группы, насыщенной конечными простыми неабелевыми группами изучался различными авторами [7-9,41]. Приводимый ниже результат является завершением серии работ, посвященных доказательствам локальной конечности периодических групп, насыщенных группами из множества *К = {L2(Ka)\a Є /}, где Ка — конечное поле, а / — некоторое множество индексов. Оказывается, что все такие группы (локально) конечны и изоморфны L2(P) для подходящего локально конечного поля Р.
Теорема 5. Бесконечная периодическая группа G, насыщенная группами из множества 9\, изоморфна простой группе Ь2{Р) над подходящим локально конечным полем Р.
Теорема 5 при дополнительном условии конечности её силовской 2-подгруппы ранее была доказана А.К. Шлёпкиным [52], при условии существования в ней сильно вложенной подгруппы — А.И. Созутовым и
А.К. Шлёпкиным в [41], а при ограничении на характеристику групп из КН — в работах [8]. Доказательство теоремы 5 существенно опирается на результаты главы 2 и стало возможным только после изучения групп, насыщенных группами диэдра.
Примеры периодических не (локально) конечных групп, насыщенных конечным множеством конечных групп (даже одной группы простого порядка р > 665) хорошо известны — это В(т,р). Однако, для случая, когда д\ состоит из конечного множества конечных простых неабелевых групп, аналогичные примеры не локально конечных групп неизвестны. В теореме 6 доказано, что в большинстве случаев таких примеров просто не может быть.
Выделим следующими обозначениями довольно узкий подкласс из всего массива конечных простых неабелевых групп. Обозначим через #
МНОЖеСТВО, СОСТОЯЩее ИЗ ГруПП El(q), ГДЄ q НечетНО И (зд-Іі) > 3' и
групп L5n(q), где q нечетно и либо t(n) = 2, где t(n) — число слагаемых в двоичном разложении числа n, (q — 51)2> > 3, либо п > 2, t(n) ^ 2,
(<7-<Я)2' -^ о (3,q-61) > ^-
Теорема 6. Пусть периодическая группа G, насыщена конечными простыми неабелевыми группами из конечного множества Ж, имеющего пустое пересечение с $. Тогда G конечна и изоморфна некоторой группе множества 9.
Отметим, что при доказательстве указанного результата существенно использовалось строение централизатора силовской 2-подгруппы в конечной простой неабелевой группе [16].
Густая сеть конечных подгрупп в группах Шункова позволяет получить более определённый результат. В последних двух основных резуль-
татах диссертации, как и в теореме 4, снова рассматриваются смешанные группы Шункова.
Теорема 7. Группа Шункова, насыщенная группами из произвольного конечного множества 9\ конечных групп, обладает периодической частью, изоморфной одной из групп множества 9\.
Теорема 8. Группа Шункова, насыщенная конечными простыми Z-группами обладает периодической частью T(G) изоморфной либо Ь2{Р), либо Sz(Q), где Р и Q подходящие локально конечные поля.
Результаты диссертации докладывались автором на "Мальцевских чтениях" в 2002-2004 гг., семинарах "Алгебра и Логика" и "Теория групп" (НГУ), на XLII Международной научной студенческой конференции в 2004 г. "Студент и научно-технический прогресс", проходившей в г.Новосибирске, Международной конференции, посвященной 75-летию со дня рождения профессора А.И. Кокорина "АЛиК-2004", проходившей в г.Иркутске. Они неоднократно обсуждались на семинарах при КрасГУ, КрасГАУ и КрасГАСА.
Во время работы над диссертацией автор получал поддержку Рос
сийского фонда фундаментальных исследований (грант № 03-01-00356)
9 и Красноярского краевого фонда науки (грант № 11F0202C).
Основные результаты по теме диссертации опубликованы в [67-78].
Автор выражает благодарность научному руководителю профессору А.К. Шлёпкину за постановку задачи, помощь в работе и внимание с его стороны.
*
Группы с инволюциями
Предложение 6 (теорема Шункова). Произвольная % группа с единственной инволюцией либо (локально) циклическая, либо {обобщённая) группа кватернионов (конечная или бесконечная). Доказательство. Приведем прямое доказательство этого известного утверждения В.П. Шункова, считая, что для конечных 2-групп оно из-вестно. Итак, пусть G — бесконечная 2-группа с единственной инволюцией z. Заметим, что ввиду предложения 4 каждая подгруппа порядка 2га+1 16 из С содержит характеристическую циклическую подгруппу порядка 2П. Отсюда заключаем, что G содержит квазициклическую подгруппу С — UCn, где Сп = (сп). Если G = С, то предложение верно. Пусть Gy C,teG\Cnt2eC. Тогда Т = (t2) = () для некоторого к, и пусть t Є Nc(Cn) (это имеет место, например, для п = к). То-гда Cn+i, t Є NG(Cn). Поскольку в фактор-группе Мс{Сп)/Сп подгруппа {cn+iCn,tCn) конечна, то и подгруппа V = (cn+i,t) конечна и содержит по меньшей мере две подгруппы порядка 4. Отсюда заключаем, что t2 = z, t Є NciCn+i), t Є NG{C), Q = C(t) — бесконечная обобщенная группа l кватернионов (предложение 4) и если G = Q, предложение верно. Пусть G ф Q и v — произвольный элемент порядка 4 из G\Q. По доказанному выше v Є NG{C) И, значит, подгруппа (t,v,c2) NQ{C2) конечна и является группой кватернионов вида A(t) = A(v), где А циклическая группа, и Съ А. В силу доказанного выше заключаем, что А С, что противоречит выбору элемента v. Следовательно, все элементы порядка 4 из G содержатся в Q, порождают Q (предложение 4) и Q G. Если х Є G \ Q и х2 Є Q, то \х\ = 8 и рассматривая конеч ную группу Cz{x) приходим к противоречию. Следовательно, G — Q и предложение доказано. Предложение 7. Если в периодической группе G некоторая си-ловская 2-подгруппа конечна, то все силовские 2-подгруппы из G конечны и сопряжены. Предложение 8 (теорема Шункова [56]). Периодическая группа содержащая инволюцию, централизатор которой конечен, локально конечна и почти локально разрешима. У
Предложение 9. В бесконечной 2-группе G каждая конечная подгруппа отлична от своего нормализатора. Доказательство. Пусть г — произвольная инволюция из G. Если г ф j Є J{G), то в силу предложения 3 в подгруппе D = (i,j) есть центральная инволюция z і. Если же J{G) = {і}, то G = Сс(г). Таким образом, Cc(i) = Nc({i)) т () и предложение для групп порядка 2 справедливо в любых 2-группах. Пусть предложение верно для всех подгрупп порядка 2n_1 во всех 2-группах и Q — подгруппа порядка 2п из G. Допустим NG{Q) = Q- Среди подгрупп Q9, где g Є G \ Q, выберем подгруппу R с максимальным пересечением D = QnR, и пусть G\ = NG(D). Заметим, l что в силу доказанного выше можно считать, что D Ф 1. Ввиду нор мализаторного условия в конечных 2-группах [15] Q\ = G\ П Q Ф D и i?i = RnG\ ф D. Следовательно, G\ ф Q\. В силу индуктивного предположения Oi = Qi/D отлична от своего нормализатора Ni в G\ — G\/D. Выберем элемент х Є N\\Q\ и пусть х — прообраз х в Gi. Но тогда х ф Q, Q П Qx Qi D, противоречит выбору R. Полученное противоречие означает, что Q9 = Q для некоторого д Є G\Q, и предложение доказано. Используя схему доказательства из предложения 9 и нормализатор ное условие в конечных р-группах [15] несложно доказать следующее Предложение 10. Пусть G — группа Шункова, р Є TC(G) и Р некоторая бесконечная р-подгруппа группы G. Тогда для любой конечной р-подгруппы К из Р в Р найдется конечная подгруппа N такая, что К N. Предложение 11. Пусть G — группа Шункова и S ее конечная силовская 2-подгруппа. Тогда все силовские 2-подгруппы из G сопря-жены с S. Напомним, что инволюция г группы G называется конечной, если для любого g Є G\i,ig\ оо. Предложение 12. Пусть G — группа с сильно вложенной подгруппой Н и конечной инволюцией і. Тогда 1. Все инволюции в G сопряжены и любые две инволюции из Н со У пряжены в Н. 2. Между множеством инволюций из Н и множеством инволюций любого правого смежного класса Нд, д Є G, можно установить взаимно однозначное соответствие.
При этом, если і — фиксированная, инволюция из Н, то каждой инволюции к є Н (в том числе и инволюции г) соответствует единственная инволюция jk Є Нд такая, что g lkg = jkijk. 3. Любой элемент д Є G обладает представлением g = hj, где h Є Н, a j — некоторая инволюция. 4. Для любой инволюции j EG\H в подгруппе Н существует множество Mj строго вещественных относительно j элементов той же мощности, что и множество инволюций из Н. Предложение 13. Пусть G — группа с сильно вложенной подгруппой Н и конечной инволюцией, г Є Н и j Є G\H — произвольные инволюции, Hj = HnHJ, Tj подгруппа в Н, порожденная всеми строго вещественными относительно j элементами из Н. Тогда 1. Tj Hj, Hj — подгруппа без инволюций, (j,Tj) = Tj\(j) и (j,Hj) = 2. В каждом смежном классе Сн{г) Ь, где b є Н, существует единственный строго вещественный элемент относительно инволюции j. 3. H = Tj- Сн(і) = Hj Сн(і). 4. Если b — неединичный инвертируемый инволюцией j Є G\H элемент из Н, то С нір) не содержит инволюций. Предложение 14 (теорема Санова). Произвольная группа порядка 4 локально конечна [35].
Группы, насыщенные конечными простыми подгруппами
Предложение 23. Пусть периодическая группа G насыщена конечными простыми неабелевыми подгруппами. Тогда G простая группа. Доказательство. Предположим, что Н — собственная нормальная подгруппа группы G и а Є G\H. По условиям предложения, (а) L G, где L — конечная простая неабелева группа. Очевидно, что Н П L = 1 и в G \ Н найдется инволюция t. Пусть t ф tx для некоторого элемента х Є Н. Тогда D = {t,tx) — конечная группа диэдра и D П Н 1. По условиям предложения, D К G, где К — простая группа. Так как К ПН 1 и Я, получаем противоречие. Следовательно, Н Cc(t). Тогда для произвольного элемента b Є Н подгруппа В = (t, b) конечна и ввиду условий предложения В М G, где М — простая группа. Однако М Я и М 1. Противоречие с предположением, и, значит, G — простая группа. Предложение доказано. Предложение 24. Пусть бесконечная группа G с сильно вложе-ной подгруппой В и конечной инволюцией насыщена конечными простыми подгруппами и для некоторой инволюции г є G централизатор Сс(г) — 2-группа. Тогда G локально конечна и изоморфна одной из групп L2(Q), Sz(Q) над подходящим локально конечным полем Q характеристики [41]. Предложение 25. Пусть G — бесконечная периодическая группа, некоторая силовская 2-подгруппа из G является конечной группой диэдра и G насыщена простыми неабелевыми группами. Тогда G изоморфна L2(Q), где Q — локально конечное поле нечетной характеристики [52]. Предложение 26 (теорема Лысёнка [25]). Пусть п = 16k 8000 и т 2. /. Если непустое несократимое в свободной группе слово X равно 1 в группе В(т,п), то X содержит непустое подслово вида дп/2-ШО 2. Группа В(т,п) имеет показательный рост. 3. Группа В(т,п) не может быть задана конечной системой определяющих соотношений. 4. Любая конечная подгруппа группы В(т,п) изоморфно вкладывается в конечное прямое произведение Dn х Dn х ... х Dn, где Dr — диэдральная группа порядка 2г и п — наибольший делитель п вида 2к. Предложение 27 (теорема Иванова [62]). Пусть В(т,п) свободная т-порожденная группа Бернсайда экспоненты п, где т 1, п 248 и п либо нечетное, либо делится на 29. Тогда 1. Группа В(т,п) бесконечна. 2. В В(т, п) разрешима проблема сопряженности слое. 3. Предположим, что п = п\П2, где щ — нечетное, а П2 — степень 2. Если п нечетное, тогда каждая конечная подгруппа из В(т, п) циклическая.
Если п четное, тогда каждая конечная подгруппа из В(т, п) изоморфна подгруппе, являющейся прямым произведением двух групп, одна из которых группа диэдра порядка 2п\, а другая является прямым произведением нескольких копий групп диэдра порядка 2п2. В частности, если п = 2к, тогда каждая конечная подгруппа из В(т,п) изоморфна подгруппе, являющейся прямым произведением нескольких копий групп диэдра порядка In. 4. Центр группы В(т,п) тривиален. Группа G насыщена группами из множества !SK, если любая конечная подгруппа К из G содержится в подгруппе, изоморфной некоторой группе из 9\ [48]. Пусть группа G насыщена группами из множества 9 и для любой X Є SH в G найдется подгруппа L X. В этом случае будем называть 9\ насыщающим множеством групп для G. Напомним, что группа, порожденная двумя инволюциями, называется группой диэдра, или диэдром, если она к тому же конечна, то конечным диэдром. Будем называть группу локально конечным диэдром если она является объединением бесконечной возрастающей цепочки конечных диэдров. Группа, в которой любая пара сопряженных элементов простого порядка порождает конечную группу с сохранением этого свойства в сечениях по конечным подгруппам, называется группой Шункова. В этой главе доказаны следующие теоремы: Теорема 1. Периодическая группа Шункова, насыщенная группами диэдра, локально конечна.
Периодические группы, насыщенные группами диэдра и имеющие вид G = H\K
В этом параграфе G = НХК — периодическая группа, насыщенная группами диэдра, где 2 . 7г(Я), а К — четверная группа. Положим К = {ztv,t), A = CH(z), В = CH(v)f С = CH(t). Пусть х — инволюция из G. Обозначим через 1(х) множество строго вещественных относительно х элементов из Н. Лемма 23. Все силовские 2-подгруппы, из G сопряжены с К. Доказательство. В виду предложения 7 достаточно доказать, что К силовская 2-подгруппа группы G. Предположим обратное. Тогда в G найдется конечная 2-подгруппа К\ (предложение 9), что К С К\. Из строения G вытекает, что \К\ : Я П К\\ 4. Но Я П К\ — 1 и 4 \К\ : Я П К\\ = \К\\ 8. Противоречие. Лемма доказана. Лемма 24. Пусть х — инволюция из G. Тогда CQ{X) — локально конечный диэдр и Сд(х) = (Сн(х) х (х))\(у), где у — инволюция, Сн{х) — локально циклическая и для любого h Є Сн(х), hy = /І-1. Доказательство. По лемме 11 CG(X) = LX(y) — локально конечный диэдр и L = Сн(х) х (х). Лемма доказана. Лемма 25. Для любой инволюция х Є G, Я = 1{х)Сн(х). И для любого h Є Я представление в виде h = тс, где т Є 1(х), а с Є Сн(х) единственно. Доказательство. Возьмем 1 ф h Є Я. Группа (х, xh) является конечным диэдром и xxh = d Я, в силу нормальности последней в G. Тогда xh = xdm, h 1 = с Є С(х) uh = cdm, где с Є С{х), a dm Є 1{х). Докажем единственность. Пусть с\,С2 Є Сд(х) {с\ ф сг), ші,Ш2 Є Іо{х){тП\ ф m2) И ТП\С\ = ГП2С2. ТоГДЭ Ш\ = ТП2С2С{1 =Ф ГПі = 777 3 (с3 = C2CJ"1) = c rn 1 = m 1 = mf = (га2с3)х = тсз = т сз = с га l = r 2 хсз =Ф- ГП2С31т2 = сз- Заключительное равенство возможно только в случае 2 є 77(777,2), что невозможно.
Лемма доказана. В качестве следствия лемм 23, 24 получаем: Лемма 26. /. Л, Б, С — локально циклические группы. 2. CG(Z) = (АХ {Z))\(V) = (АХ {z))X(t) и для любого а Є А, а? = аь = а \ 3. CG(v) = (Вх (v))X(z) = (Вх (v))X(t) и для любого b Є В, bz = bv = ь-\ 4. CG(t) = (Cx (t))X(z) = (Cx (t))X{v) и для любого с є С, с2 = cv = с-\ Лемма 27. АпВ=АпС=СпВ=1 Доказательство. Предположим обратное и пусть 1 ф d Є А П В. Тогда Cc(d) содержит две различные инволюции z и v, что невозможно по лемме 8. Точно также показывается, что АпС = 1 и С П В = I. Лемма доказана. Лемма 28. I(z) = (ВСВ) = {bcb\b Є В, с Є С} и для любого h Є Н представление в виде h — bcba, где b Є В, с Є С, а є А единственно. Доказательство. Пусть g є I(z). По лемме 25 g = db, где d Є I(v), b Є В. Считаем: Таким образом, Пусть b\ = b. Тогда из предыдущего и Теперь Итак I(z) {ВСВ) . Докажем обратное включение. Пусть д Є {ВСВ) . Тогда д = ЪсЪ для некоторых b Є В и с Є С. Считаем д2 = (бсб)2 = Ьгс Ьг = Ь_1с_1Ь-1 = р-1. Итак д Є ф) и (ВСВ) I{z). Докажем единственность. Пусть 61,62 Є В(Ьі 62); сі,сг Є С(сі сг); а\,а2 Є Жаі т аг) и &ісі&іаі = b2c2b2a2. Из леммы 25 следует, аі = 02 и ЬіСіЬі = b2c2b2. Отсюда с\ = Ьї1Ь2с2Ь2Ьї1 == ( = b2b 1 = Ь3 Є В) с\ = b3c2b3 = а=с{ = (b3c2b3y = Ь 1с2Ьз1 = с\ = cici = 63с2Ь3Щ1с2Щ1 = бзСз з-1- Следовательно с? Є СЬз П С ф 1. Противоречие с утверждением леммы 27. Лемма доказана. Доказательство. Предположим обратное и пусть b Є CG{K) \ К ф 0. Группа К\ = (К,Ь) — конечна, абелева нециклическая и \К\\ 4. По условию насыщенности К\ D — конечный диэдр из С. Ввиду леммы 4 К\ — либо циклическая, либо элементарная абелева порядка 4. Противоречие со строением К\. Лемма доказана. Доказательство. Пусть h Є Я. Тогда h = тс, где т Є 1{і), а с Є С. По лемме 28 т2 = ab2a mm = abba = b la lm = bam l =Ф- {b la lm)b = (&_1) (a_1) m = bam"1 =Ф b la lm = C\ Є С = m — abc\ = h = mc = abc\c = abc2 Є ЛВС, где C2 = c\c Є С. Лемма доказана. Доказательство. Предположим обратное и пусть 1 ф N нормальная подгруппа группы Н и N ф Н. По лемме 15 N — не локально конечная группа. Покажем, что Nz Я. Действительно (Nz)h = Nzh = NhlZ = Nz. Итак, Nz G. Ясно, что Ni = Nz П N H. Кроме того, Nx = Nz П N Ф 1. Действительно, если JV П iV = 1, то для любого Ь Є N имеем конечную группу (Ь) х (bz) — которая по условию насыщенности должна вкладываться в конечную группу диэдра из G, а это невозможно.
Таким образом, Ni ф 1, а значит (лемма 15) Ni — не локально конечна. Из построения JVi вытекает, что Щ = iVi. Группу JV2 строим следующим образом N2 = NiC\ Nf. Нетрудно видеть, что 1 ф N2 Н, К NG(N2) и N2 — не локально конечна. Положим N = N2 и рассмотрим группу d = NXK. Введем обозначения: Л1 = CN(z) Bi = CN(v) Сі = Cnr(t). По Теореме Шункова (предложение 8) Аі,Ві,С\ — бесконечные группы, а по лемме 11 каждая из них является квазициклической р-группой. Иными словами, полной абелевой р-группой ранга 1. Но, точно таковыми являются и группы Л, В, С. Отсюда из очевидных включений Ai с A, Bi с В Сі С С получаем равенства Аг = A, Bi = В, Ci = С. Так как Я = ABC (лемма 30), то Я = ABC = AiBiCi С N. С другой
Группы, насыщенные конечным множеством групп
Пусть, как обычно в обозначениях конечных простых групп, q — степень простого числа, 5 = ±, fo — нечетная часть натурального числа к. Обозначим через t(k) число слагаемых в двоичном разложении числа к. Более точно, если к = 2П + 2Г2 + ... + 2Г , где ги ... ,г« — целые неотрицательные числа и 0 г\ ... rt, то t(k) = t. Обозначим через $ множество, состоящее из групп -Е б(д), где q нечетно и [зо-іі) 3, и групп L5n(q), где q нечетно и либо t(n) = 2, (q - 51)2 3, либо п 2, t(n) ф 2, 1 3. Теорема 6. Пусть периодическая группа G, насыщена конечными простыми неабелевыми группами из конечного множества 9\, имеющего пустое пересечение с . Тогда G конечна и изоморфна некоторой группе множества УК. Теорема 7. Группа Шункова, насыщенная группами из произвольного конечного множества УК конечных групп, обладает периодической частью, изоморфной одной из групп множества УК. Пусть бесконечная периодическая группа G насыщена произвольным конечным множеством УК конечных простых неабелевых групп. Рассмотрим некоторые ее свойства. Очевидна следующая Лемма 37. Все локально конечные подгруппы в G конечны, причем порядки их ограничены в совокупности. Каждая конечная подгруппа из G содержится в некоторой максимальной конечной подгруппе, которая проста и является УК-группой. В частности, порядки конечных подгрупп из G ограничены в совокупности. Ввиду теоремы Фейта-Томпсона группа G содержит инволюции. По известной теореме Шункова [56] периодическая группа с почти регулярной инволюцией локально конечна и почти разрешима. Поэтому имеет место Лемма 38. Централизатор каждой инволюции в G бесконечен. Максимальные р-подгруппы группы G будем называть силовски-ми р-подгруппами, а максимальные конечные р-подгруппы — конечными силовскими р-подгруппами. Лемма 39. Силовские 2-подгруппы в G конечны и сопряжены. Доказательство. Каждая 2-группа является группой Шункова, а группа Шункова с бесконечным числом элементов конечного порядка обладает бесконечной локально конечной подгруппой [52]. Учитывая это, приходим к выводу, что силовские 2-подгруппы в G конечны. Как доказал В.П. Шунков (предложение 7), в этом случае силовские 2-подгруппы группы G сопряжены, при этом понятно, что каждая 2-подгруппа из G содержится в некоторой силовской. Лемма доказана. Из леммы 39 следует Лемма 40. Группа G содержит конечное число классов сопряженных 2-подгрупп. В частности, множество J инволюций группы G распадается на конечное число классов Ji,..., Jn сопряженных инволюций. Лемма 41. Нормализатор каждой 2-подгруппы в G бесконечен. Доказательство. Пусть V — произвольная 2-подгруппа группы G. Ввиду леммы 39 подгруппа V конечна. В случае, когда \V\ = 2, утверждение следует из предложения 8. В случае V 2 можем считать, что для каждой подгруппы R индекса 2 из V подгруппа М = NG(R) бесконечна.
Поскольку V М и фактор-группа M/R не локально конечна, то в силу теоремы Шункова централизатор инволюции V/R в M/R бесконечен. Переходя к прообразам убеждаемся, что лемма верна. Напомним некоторые определения и утверждения из [14]. Множество X конечных подгрупп группы G с нетривиальным пересечением Т называется веером X с основанием Т. Веер X называется конечным или бесконечным в зависимости от конечности или бесконечности множества X. Произвольное подмножество Y С X называется под-веером веера X. Амальгамой Е(Х) веера X — теоретико-множественное объединение подгрупп этого веера. Полурешеткой Ь(Х) веера X называется нижняя полурешетка (относительно включения ) всех подгрупп, содержащихся в подгруппах веера X. Веер X называется ограниченным, если все цепи из полурешетки L{X) имеют конечную длину, и неограниченным в противном случае. Амальгама бесконечного неограниченого веера содержит бесконечную локально конечную подгруппу [14], поэтому в наших исследованиях будут возникать только ограниченные правильные вееры. Бесконечный веер X с сонованием Т называется правильным, если основание любого бесконечного подвеера из X совпадает с Т, Т X и для любой подгруппы V Т такой, что \NG{V) ПЕ(Х) оо, имеет место включение NG(V)n1E(X) T. Если X — ограниченный бесконечный веер произвольной группы G, то существует разбиение
